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Ejercicios de repaso

Ejercicios de repaso

¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

253.

Si el radio de convergencia de una serie de potencias ∑n=0∞anxn∑n=0∞anxn es 5,5, entonces el radio de convergencia de la serie ∑n=1∞nanxn–1∑n=1∞nanxn–1 también es 5.5.

254.

Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de exesex.exesex. (Pista: Recordemos que ex=∑n=0∞1n!xn.)ex=∑n=0∞1n!xn.)

255.

Para valores pequeños de x,senx≈x.x,senx≈x.

256.

El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de f(x)=3xf(x)=3x es 3.3.

En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas.

257.

∑ n = 0 ∞ n 2 ( x – 1 ) n ∑ n = 0 ∞ n 2 ( x – 1 ) n

258.

∑ n = 0 ∞ x n n n ∑ n = 0 ∞ x n n n

259.

∑ n = 0 ∞ 3 n x n 12 n ∑ n = 0 ∞ 3 n x n 12 n

260.

∑ n = 0 ∞ 2 n e n ( x − e ) n ∑ n = 0 ∞ 2 n e n ( x − e ) n

En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie.

261.

f ( x ) = x 2 x + 3 f ( x ) = x 2 x + 3

262.

f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 − 3 x + 1 f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 − 3 x + 1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración.

263.

f ( x ) = tan –1 ( 2 x ) f ( x ) = tan –1 ( 2 x )

264.

f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2 f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2

En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación?

265.

f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 4 , a = −3 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 4 , a = −3

266.

f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4 f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

267.

f(x)=cos(3x)f(x)=cos(3x) grandes.

268.

f ( x ) = ln ( x + 1 ) f ( x ) = ln ( x + 1 )

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado.

269.

f ( x ) = sen x , a = π 2 f ( x ) = sen x , a = π 2

270.

f ( x ) = 3 x , a = 1 f ( x ) = 3 x , a = 1

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada.

271.

f ( x ) = e – x 2 – 1 f ( x ) = e – x 2 – 1

272.

f ( x ) = cos x – x sen x f ( x ) = cos x – x sen x

En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=∫0xf(t)dt integrando la serie de Maclaurin de f(x)f(x) término por término.

273.

f ( x ) = sen x x f ( x ) = sen x x

274.

f ( x ) = 1 − e x f ( x ) = 1 − e x

275.

Utilice las series de potencias para demostrar la fórmula de Euler: eix=cosx+isenxeix=cosx+isenx

En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades.

276.

Para las anualidades con un valor actual de $1$1 millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante 2525 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.1 %,5 %,y10 %.

277.

Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $10$10 millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $250.000?$250.000?

278.

Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $15.000$15.000 que se entregan durante 2525 años asumiendo tasas de interés de 1 %,5 %,y10 %.1 %,5 %,y10 %.