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Conceptos clave

Conceptos clave

6.1 Series y funciones de potencia

  • Para una serie de potencias centrada en x=a,x=a, se cumple una de las tres propiedades siguientes:
    1. La serie de potencias solo converge en x=a.x=a. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=0.R=0.
    2. La serie de potencias converge para todos los números reales x. En este caso, decimos que el radio de convergencia es R=∞.R=∞.
    3. Existe un número real R tal que la serie converge para |x–a|<R|x–a|<R y diverge para |x–a|>R.|x–a|>R. En este caso, el radio de convergencia es R.
  • Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales.
  • El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia.
  • La serie geométrica ∑n=0∞xn=11−x∑n=0∞xn=11−x para |x|<1|x|<1 nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas.

6.2 Propiedades de las series de potencia

  • Dadas dos series de potencias ∑n=0∞cnxn∑n=0∞cnxn y ∑n=0∞dnxn∑n=0∞dnxn que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I, la suma y la diferencia de las dos series convergen a f±g,f±g, respectivamente, en I. Además, para cualquier número real b y entero m≥0,m≥0, la serie ∑n=0∞bxmcnxn∑n=0∞bxmcnxn converge a bxmf(x)bxmf(x) y la serie ∑n=0∞cn(bxm)n∑n=0∞cn(bxm)n converge a f(bxm)f(bxm) siempre que bxm esté en el intervalo I.
  • Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo (−R,R),(−R,R), el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo (−R,R).(−R,R).
  • Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo (−R,R),(−R,R), la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a f′f′ en (−R,R).(−R,R). La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a ∫f(x)dx∫f(x)dx en (−R,R).(−R,R).

6.3 Series de Taylor y Maclaurin

  • Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor x=a.x=a. Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en x=0.x=0.
  • Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función ff son las sumas parciales de las series de Taylor para f.f.
  • Si una función ff tiene una representación en serie de potencias en x=a,x=a, entonces está dada por su serie de Taylor en x=a.x=a.
  • Una serie de Taylor para ff converge a ff si y solo si límn→∞Rn(x)=0límn→∞Rn(x)=0 donde Rn(x)=f(x)−pn(x).Rn(x)=f(x)−pn(x).
  • La serie de Taylor, para ex, senx,senx, y cosxcosx a las funciones respectivas para todo x real.

6.4 Trabajar con la serie de Taylor

  • La serie binomial es la serie de Maclaurin para f(x)=(1+x)r.f(x)=(1+x)r. Converge para |x|<1.|x|<1.
  • Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida.
  • Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales.
  • Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios.