Serie infinita - Cálculo volumen 2

5.2 Serie infinita

Objetivos de aprendizaje

5.2.1 Explicar el significado de la suma de una serie infinita.
5.2.2 Calcular la suma de una serie geométrica.
5.2.3 Evaluar una serie telescópica.

Hemos visto que una secuencia es un conjunto ordenado de términos. Si se suman estos términos, se obtiene una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series están relacionadas con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Introducimos uno de los tipos más importantes de series: las series geométricas. En el próximo capítulo utilizaremos las series geométricas para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas utilizando polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no converge.

Sumas y series

Una serie infinita es una suma de infinitos términos y se escribe de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ .

¿Pero qué significa esto? No podemos sumar un número infinito de términos de la misma manera que podemos sumar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de las sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma

\sum_{n = 1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k} .

Para ver cómo utilizamos las sumas parciales para evaluar series infinitas, considere el siguiente ejemplo. Supongamos que el petróleo se filtra en un lago de tal manera que $1.000$ galones entran en el lago la primera semana. Durante la segunda semana, $500$ galones adicionales de petróleo entran en el lago. La tercera semana, $250$ más galones entra en el lago. Supongamos que este patrón se mantiene de forma que cada semana entra en el lago la mitad de petróleo que la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir de la cantidad de petróleo en el lago? ¿Seguirá aumentando la cantidad de petróleo de forma arbitraria o es posible que se acerque a una cantidad finita? Para responder esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de $k$ semanas. Suponiendo que $S_{k}$ denota la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) tras $k$ semanas, vemos que

\begin{array}{l} S_{1} = 1 \\ S_{2} = 1 + 0,5 = 1 + \frac{1}{2} \\ S_{3} = 1 + 0,5 + 0,25 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ S_{4} = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \\ S_{5} = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} . \end{array}

Observando este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) tras $k$ semanas es

S_{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ⋯ + \frac{1}{2^{k - 1}} = \sum_{n = 1}^{k} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} .

Nos interesa lo que ocurre a medida que $k \to \infty .$ Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago a medida que $k \to \infty$ está dada por la serie infinita

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ⋯ .

Al mismo tiempo, a medida que $k \to \infty,$ la cantidad de petróleo en el lago puede calcularse evaluando $\underset{k \to \infty}{lím} S_{k} .$ Por lo tanto, el comportamiento de la serie infinita se puede determinar observando el comportamiento de la secuencia de sumas parciales ${S_{k}} .$ Si la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma está dada por $\underset{k \to \infty}{lím} S_{k} .$ Si la secuencia ${S_{k}}$ diverge, decimos que la serie infinita diverge. Ahora nos centramos en determinar el límite de esta secuencia ${S_{k}} .$

En primer lugar, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que

\begin{array}{l} S_{1} = 1 \\ S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \\ S_{4} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8} \\ S_{5} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16} . \end{array}

Trazando algunos de estos valores en la Figura 5.10, parece que la secuencia ${S_{k}}$ podría acercarse a 2.

Este es un gráfico en el cuadrante 1 con los ejes x y y marcados como n y S_n, respectivamente. De 1 a 5, se trazan los puntos. Aumentan y parecen converger a 2 y n va al infinito.

Figura 5.10 El gráfico muestra la secuencia de sumas parciales

{S_{k}} .

Parece que la secuencia se acerca al valor

2 .

Busquemos pruebas más convincentes. En la siguiente tabla, enumeramos los valores de $S_{k}$ para varios valores de $k .$

$k$	$5$	$10$	$15$	$20$
$S_{k}$	$1,9375$	$1,998$	$1,999939$	$1,999998$

Estos datos aportan más pruebas que sugieren que la secuencia ${S_{k}}$ converge a $2 .$ Más adelante proporcionaremos un argumento analítico que puede utilizarse para demostrar que $\underset{k \to \infty}{lím} S_{k} = 2 .$ Por ahora, nos basamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la secuencia de sumas parciales converge realmente a $2 .$ Como esta secuencia de sumas parciales converge a $2,$ decimos que la serie infinita converge a $2$ y escribimos

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 2 .

Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, como esta serie infinita converge a $2,$ concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a $2000$ galones a medida que el tiempo es lo suficientemente grande.

Esta serie es un ejemplo de serie geométrica. Más adelante hablaremos de las series geométricas con más detalle. En primer lugar, resumimos lo que significa que una serie infinita converja.

Definición

Una serie infinita es una expresión de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ .

Para cada número entero positivo $k,$ la suma

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k}

se llama $k enésimo$ suma parcial de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuencia ${S_{k}} .$ Si la secuencia de sumas parciales converge a un número real $S,$ la serie infinita converge. Si podemos describir la convergencia de una serie a $S,$ llamamos $S$ la suma de la serie, y escribimos

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S .

Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie.

Tenga en cuenta que el índice de una serie no tiene por qué empezar por $n = 1$ sino que puede comenzar con cualquier valor. Por ejemplo, las series

{\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{n - 1}

también puede escribirse como

{\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{n} o {\sum_{n = 5}^{\infty} (\frac{1}{2})}^{n - 5} .

A menudo es conveniente que el índice comience en $1,$ por lo que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos cambiar el índice haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, consideremos la serie

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .

Introduciendo la variable $m = n - 1,$ por lo que $n = m + 1,$ podemos reescribir la serie como

\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{{(m + 1)}^{2}} .

Ejemplo 5.7

Evaluación de límites de secuencias de sumas parciales

Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 1}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$

Solución

La secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ satisface

$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{1}{2} \\ S_{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\ S_{3} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \\ S_{4} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} . \end{array}$

Observe que cada término añadido es mayor que $1 / 2 .$ Como resultado, vemos que

$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{1}{2} \\ S_{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 (\frac{1}{2}) \\ S_{3} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3 (\frac{1}{2}) \\ S_{4} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4 (\frac{1}{2}) . \end{array}$

De este patrón podemos ver que $S_{k} > k (\frac{1}{2})$ para cada número entero $k .$ Por lo tanto, ${S_{k}}$ no está delimitada y, en consecuencia, es divergente. Por lo tanto, la serie infinita $\sum_{n = 1}^{\infty} n / (n + 1)$ diverge.
La secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ satisface

$\begin{array}{l} S_{1} = −1 \\ S_{2} = −1 + 1 = 0 \\ S_{3} = −1 + 1 - 1 = −1 \\ S_{4} = −1 + 1 - 1 + 1 = 0 . \end{array}$

De este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es

${S_{k}} = {−1, 0, –1, 0,…} .$

Como esta secuencia diverge, la serie infinita $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n}$ diverge.
La secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ satisface

$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{2} \\ S_{2} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \\ S_{3} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \\ S_{4} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} = \frac{4}{5} \\ S_{5} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6} = \frac{5}{6} . \end{array}$

A partir de este patrón, podemos ver que la $k −ésimo$ suma parcial está dada por la fórmula explícita

$S_{k} = \frac{k}{k + 1} .$

Dado que $k / (k + 1) \to 1,$ concluimos que la secuencia de sumas parciales converge, y por tanto la serie infinita converge a $1 .$ Tenemos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} = 1 .$

Punto de control 5.7

Determine si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (n + 1) / n$ converge o diverge.

La serie armónica

Una serie útil de conocer es la serie armónica. La serie armónica se define como

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ .

(5.5)

Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos de la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ se acercan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Demostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el crecimiento lento de los términos de la secuencia ${S_{k}}$ en la siguiente tabla.

$k$	$10$	$100$	$1.000$	$10.000$	$100.000$	$1.000.000$
$S_{k}$	$2,92897$	$5,18738$	$7,48547$	$9,78761$	$12,09015$	$14,39273$

Incluso después de $1.000.000$ de términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla no se desprende que esta serie sea realmente divergente. Sin embargo, podemos demostrar analíticamente que la secuencia de sumas parciales diverge, y por tanto la serie diverge.

Para demostrar que la secuencia de sumas parciales diverge, mostramos que la secuencia de sumas parciales no es limitada. Comenzamos escribiendo las primeras sumas parciales:

\begin{array}{l} S_{1} = 1 \\ S_{2} = 1 + \frac{1}{2} \\ S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ S_{4} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} . \end{array}

Observe que para los dos últimos términos de $S_{4},$

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} .

Por lo tanto, concluimos que

S_{4} > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 2 (\frac{1}{2}) .

Utilizando la misma idea para $S_{8},$ vemos que

\begin{matrix} S_{8} & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) \\ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 3 (\frac{1}{2}) . \end{matrix}

A partir de este patrón, vemos que $S_{1} = 1,$ $S_{2} = 1 + 1 / 2,$ $S_{4} > 1 + 2 (1 / 2),$ y $S_{8} > 1 + 3 (1 / 2) .$ De forma más general, se puede demostrar que $S_{2^{j}} > 1 + j (1 / 2)$ para todo $j > 1 .$ Dado que $1 + j (1 / 2) \to \infty,$ concluimos que la secuencia ${S_{k}}$ no está delimitada y, por tanto, es divergente. En la sección anterior, afirmamos que las secuencias convergentes están delimitadas. Por lo tanto, dado que ${S_{k}}$ no está delimitada, es divergente. Así, la serie armónica diverge.

Propiedades algebraicas de las series convergentes

Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como límite de una secuencia, las propiedades algebraicas de las series que se enumeran a continuación se derivan directamente de las propiedades algebraicas de las secuencias.

Teorema 5.7

Propiedades algebraicas de las series convergentes

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ son series convergentes. Entonces se cumplen las siguientes propiedades algebraicas.

La serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ converge y $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ (Regla de la suma)
La serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n})$ converge y $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} .$ (Regla de la diferencia)
Para cualquier número real $c,$ la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} c a_{n}$ converge y $\sum_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$ (Regla del múltiplo constante)

Ejemplo 5.8

Uso de las propiedades algebraicas de las series convergentes

Evalúe

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{3}{n (n + 1)} + {(\frac{1}{2})}^{n - 2}] .

Solución

Ya hemos demostrado que

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} = 1

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 2 .

Como ambas series convergen, podemos aplicar las Propiedades algebraicas de las series convergentes para evaluar

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{3}{n (n + 1)} + {(\frac{1}{2})}^{n - 2}] .

Utilizando la regla de la suma, escriba

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{3}{n (n + 1)} + {(\frac{1}{2})}^{n - 2}] = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n (n + 1)} {+ \sum}_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 2} .

Entonces, utilizando la regla del múltiplo constante y las sumas anteriores, podemos concluir que

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3}{n (n + 1)} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 2} & = 3 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} + {(\frac{1}{2})}^{−1} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \\ = 3 (1) + {(\frac{1}{2})}^{−1} (2) = 3 + 2 (2) = 7. \end{array}

Punto de control 5.8

Evalúe $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5}{2^{n - 1}} .$

Serie geométrica

Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma

a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯ = \sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} .

(5.6)

Como el cociente entre cada término de esta serie y el término anterior es r, el número r se razón. Nos referimos a a como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, las series

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ⋯

es una serie geométrica con término inicial $a = 1$ y cociente $r = 1 / 2 .$

En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Consideremos la serie geométrica

\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}

cuando $a > 0 .$ Su secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ está dada por

S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + ⋯ + a r^{k - 1} .

Considere el caso cuando $r = 1 .$ En ese caso,

S_{k} = a + a (1) + a {(1)}^{2} + ⋯ + a {(1)}^{k - 1} = a k .

Dado que $a > 0,$ sabemos que $a k \to \infty$ como $k \to \infty .$ Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales no está delimitada y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge para $r = 1 .$ Para $r \neq 1,$ para hallar el límite de ${S_{k}},$ multiplique la Ecuación 5.6 por $1 - r .$ Haciendo esto, vemos que

\begin{matrix} (1 - r) S_{k} & = a (1 - r) (1 + r + r^{2} + r^{3} + ⋯ + r^{k - 1}) \\ = a [(1 + r + r^{2} + r^{3} + ⋯ + r^{k - 1}) - (r + r^{2} + r^{3} + ⋯ + r^{k})] \\ = a (1 - r^{k}) . \end{matrix}

Todos los demás términos se anulan.

Por lo tanto,

S_{k} = \frac{a (1 - r^{k})}{1 - r} para r \neq 1 .

De nuestra discusión en la sección anterior, sabemos que la secuencia geométrica $r^{k} \to 0$ si $| r | < 1$ y que $r^{k}$ diverge si $| r | > 1$ o $r = ± 1 .$ Por lo tanto, para $| r | < 1,$ $S_{k} \to a / (1 - r)$ y tenemos

\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r} si | r | < 1 .

Si $| r | \geq 1,$ $S_{k}$ diverge, y por lo tanto

\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} diverge si | r | \geq 1 .

Definición

Una serie geométrica es una serie de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯ .

Si $| r | < 1,$ la serie converge, y

\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = \frac{a}{1 - r} para | r | < 1 .

(5.7)

Si $| r | \geq 1,$ la serie diverge.

Las series geométricas aparecen a veces con formas un poco diferentes. Por ejemplo, a veces el índice comienza en un valor distinto de $n = 1$ o el exponente implica una expresión lineal para $n$ que no sea $n - 1 .$ Mientras podamos reescribir la serie en la forma dada por la Ecuación 5.5, es una serie geométrica. Por ejemplo, consideremos la serie

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n + 2} .

Para ver que se trata de una serie geométrica, escribimos los primeros términos:

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n + 2} & = {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + {(\frac{2}{3})}^{4} + ⋯ \\ = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} . (\frac{2}{3}) + \frac{4}{9} . {(\frac{2}{3})}^{2} + ⋯ . \end{matrix}

Vemos que el término inicial es $a = 4 / 9$ y la razón es $r = 2 / 3 .$ Por lo tanto, la serie se puede escribir como

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{9} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1} .

Dado que $r = 2 / 3 < 1,$ esta serie converge, y su suma está dada por

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{9} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = \frac{4 / 9}{1 - 2 / 3} = \frac{4}{3} .

Ejemplo 5.9

Determinación de la convergencia o divergencia de una serie geométrica

Determine si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, calcule su suma.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−3)}^{n + 1}}{4^{n - 1}}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} e^{2 n}$

Solución

Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos

$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(−3)}^{n + 1}}{4^{n - 1}} & = \frac{{(−3)}^{2}}{4^{0}} + \frac{{(−3)}^{3}}{4} + \frac{{(−3)}^{4}}{4^{2}} + ⋯ \\ = {(−3)}^{2} + {(−3)}^{2} . (\frac{−3}{4}) + {(−3)}^{2} . {(\frac{−3}{4})}^{2} + ⋯ \\ = 9 + 9 . (\frac{−3}{4}) + 9 . {(\frac{−3}{4})}^{2} + ⋯ . \end{matrix}$

El término inicial $a = −3$ y el cociente $r = −3 / 4 .$ Dado que $| r | = 3 / 4 < 1,$ la serie converge a

$\frac{9}{1 - (−3 / 4)} = \frac{9}{7 / 4} = \frac{36}{7} .$
Escribiendo esta serie como

$e^{2} \sum_{n = 1}^{\infty} {(e^{2})}^{n - 1}$

podemos ver que se trata de una serie geométrica donde $r = e^{2} > 1 .$ Por lo tanto, la serie diverge.

Punto de control 5.9

Determine si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{−2}{5})}^{n - 1}$ converge o diverge. Si converge, calcule su suma.

Ahora nos centramos en una bonita aplicación de las series geométricas. Mostramos cómo pueden utilizarse para escribir decimales repetidos como fracciones de enteros.

Ejemplo 5.10

Escribir decimales repetidos como fracciones de enteros

Utilice una serie geométrica para escribir $3, \overset{—}{26}$ como fracción de enteros.

Solución

Dado que $3, \overset{—}{26} = 3,262626 …,$ primero escribimos

\begin{matrix} 3,262626 … & = 3 + \frac{26}{100} + \frac{26}{10.000} + \frac{26}{1.000.000} + ⋯ \\ = 3 + \frac{26}{10^{2}} + \frac{26}{10^{4}} + \frac{26}{10^{6}} + ⋯ . \end{matrix}

Ignorando el término 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con término inicial $a = 26 / 10^{2}$ y cociente $r = 1 / 10^{2} .$ Por lo tanto, la suma de esta serie es

\frac{26 / 10^{2}}{1 - (1 / 10^{2})} = \frac{26 / 10^{2}}{99 / 10^{2}} = \frac{26}{99} .

Por lo tanto,

3,262626 … = 3 + \frac{26}{99} = \frac{323}{99} .

Punto de control 5.10

Escriba $5,2 \overset{−}{7}$ como fracción de enteros.

Ejemplo 5.11

Inicio del capítulo: Halle el área del copo de nieve Koch

Defina una secuencia de figuras ${F_{n}}$ de forma repetida de la siguiente forma (Figura 5.11). Supongamos que $F_{0}$ es un triángulo equilátero con lados de longitud $1 .$ Para $n \geq 1,$ supongamos que $F_{n}$ es la curva creada al eliminar el tercio medio de cada lado de $F_{n - 1}$ y sustituyéndolo por un triángulo equilátero apuntando hacia fuera. La figura delimitante a medida que $n \to \infty$ se conoce como el copo de nieve de Koch.

Este es un diagrama del copo de nieve de Koch, que se creó a través de iteraciones. El caso base es un triángulo equilátero. En cada iteración, el tercio medio de cada segmento de línea se sustituye por otro triángulo equilátero que apunta hacia afuera.

Figura 5.11 Las cuatro primeras figuras,

F_{0}, F_{1}, F_{2}, y F_{3},

en la construcción del copo de nieve de Koch.

Halle la longitud $L_{n}$ del perímetro de $F_{n} .$ Evalúe $\underset{n \to \infty}{lím} L_{n}$ para hallar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch.
Halle el área $A_{n}$ de la figura $F_{n} .$ Evalúe $\underset{n \to \infty}{lím} A_{n}$ para hallar el área del copo de nieve de Koch.

Solución

Supongamos que $N_{n}$ denota el número de lados de la figura $F_{n} .$ Dado que $F_{0}$ es un triángulo, $N_{0} = 3 .$ Supongamos que $l_{n}$ denota la longitud de cada lado de $F_{n} .$ Dado que $F_{0}$ es un triángulo equilátero con lados de longitud $l_{0} = 1,$ ahora tenemos que determinar $N_{1}$ y $l_{1} .$ Dado que $F_{1}$ se crea eliminando el tercio medio de cada lado y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea, para cada lado de $F_{0},$ obtenemos cuatro lados en $F_{1} .$ Por lo tanto, el número de lados para $F_{1}$ es

$N_{1} = 4.3 .$

Como la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es $1 / 3$ de la longitud de los segmentos de línea en $F_{0},$ la longitud de los segmentos de línea para $F_{1}$ está dada por

$l_{1} = \frac{1}{3} . 1 = \frac{1}{3} .$

Del mismo modo, para $F_{2},$ ya que el tercio medio de cada lado de $F_{1}$ se elimina y se sustituye por dos segmentos de línea, el número de lados en $F_{2}$ está dada por

$N_{2} = 4 N_{1} = 4 (4.3) = 4^{2} . 3 .$

Como la longitud de cada uno de estos lados es $1 / 3$ de la longitud de los lados de $F_{1},$ la longitud de cada lado de la figura $F_{2}$ está dada por

$l_{2} = \frac{1}{3} . l_{1} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{2} .$

En términos más generales, ya que $F_{n}$ se crea eliminando el tercio medio de cada lado de $F_{n - 1}$ y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea de longitud $\frac{1}{3} l_{n - 1}$ en forma de triángulo equilátero, sabemos que $N_{n} = 4 N_{n - 1}$ y $l_{n} = \frac{l_{n - 1}}{3} .$ Por lo tanto, el número de lados de la figura $F_{n}$ es

$N_{n} = 4^{n} . 3$

y la longitud de cada lado es

$l_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n} .$

Por lo tanto, para calcular el perímetro de $F_{n},$ multiplicamos el número de lados $N_{n}$ y la longitud de cada lado $l_{n} .$ Concluimos que el perímetro de $F_{n}$ está dada por

$L_{n} = N_{n} . l_{n} n = 3 . {(\frac{4}{3})}^{n} .$

Por lo tanto, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es

$L = \underset{n \to \infty}{lím} L_{n} = \infty .$
Supongamos que $T_{n}$ denota el área de cada nuevo triángulo creado al formar $F_{n} .$ Para $n = 0,$ $T_{0}$ es el área del triángulo equilátero original. Por lo tanto, $T_{0} = A_{0} = \sqrt{3} / 4 .$ Para $n \geq 1,$ ya que las longitudes de los lados del triángulo nuevo son $1 / 3$ de la longitud de los lados de $F_{n - 1},$ tenemos

$T_{n} = {(\frac{1}{3})}^{2} T_{n - 1} = \frac{1}{9} . T_{n - 1} .$

Por lo tanto, $T_{n} = {(\frac{1}{9})}^{n} . \frac{\sqrt{3}}{4} .$ Como se forma un triángulo nuevo en cada lado de $F_{n - 1},$

$\begin{matrix} A_{n} & = A_{n - 1} + N_{n - 1} . T_{n} \\ = A_{n - 1} + (3 . 4^{n - 1}) . {(\frac{1}{9})}^{n} . \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = A_{n - 1} + \frac{3}{4} . {(\frac{4}{9})}^{n} . \frac{\sqrt{3}}{4} . \end{matrix}$

Escribiendo los primeros términos $A_{0}, A_{1}, A_{2},$ vemos que

$\begin{array}{l} A_{0} = \frac{\sqrt{3}}{4} \\ A_{1} = A_{0} + \frac{3}{4} . (\frac{4}{9}) . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4} . (\frac{4}{9}) . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{3}{4} . (\frac{4}{9})] \\ A_{2} = A_{1} + \frac{3}{4} . {(\frac{4}{9})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{3}{4} . (\frac{4}{9})] + \frac{3}{4} . {(\frac{4}{9})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{3}{4} . (\frac{4}{9}) + \frac{3}{4} . {(\frac{4}{9})}^{2}] . \end{array}$

De manera más general,

$A_{n} n = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{3}{4} (\frac{4}{9} + {(\frac{4}{9})}^{2} + ⋯ + {(\frac{4}{9})}^{n})] .$

Factorizando $4 / 9$ de cada término dentro del paréntesis interior, reescribimos nuestra expresión como

$A_{n} n = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{1}{3} (1 + \frac{4}{9} + {(\frac{4}{9})}^{2} + ⋯ + {(\frac{4}{9})}^{n - 1})] .$

La expresión $1 + (\frac{4}{9}) + {(\frac{4}{9})}^{2} + ⋯ + {(\frac{4}{9})}^{n - 1}$ es una suma geométrica. Como se ha mostrado anteriormente, esta suma satisface

$1 + \frac{4}{9} + {(\frac{4}{9})}^{2} + ⋯ + {(\frac{4}{9})}^{n - 1} = \frac{1 - {(4 / 9)}^{n}}{1 - (4 / 9)} .$

Sustituyendo esta expresión en la expresión anterior y simplificando, concluimos que

$\begin{matrix} A_{n} & n = \frac{\sqrt{3}}{4} [1 + \frac{1}{3} (\frac{1 - {(4 / 9)}^{n}}{1 - (4 / 9)})] \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} [\frac{8}{5} - \frac{3}{5} {(\frac{4}{9})}^{n}] . \end{matrix}$

Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es

$A = \underset{n \to \infty}{lím} A_{n} = \frac{2 \sqrt{3}}{5} .$

Análisis

El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene un área finita, pero un perímetro infinito. Aunque al principio esto pueda parecer imposible, recuerde que hemos visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, consideremos la región delimitada por la curva $y = 1 / x^{2}$ y el eje $x$ en el intervalo $[1, \infty) .$ Dado que la integral impropia

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

converge, el área de esta región es finita, aunque el perímetro sea infinito.

Serie telescópica

Considere la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} .$ Discutimos esta serie en el Ejemplo 5.7, mostrando que la serie converge escribiendo las primeras sumas parciales $S_{1}, S_{2},…, S_{6}$ y observando que todas son de la forma $S_{k} = \frac{k}{k + 1} .$ Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Utilizando fracciones parciales, podemos escribir

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} .

Por lo tanto, la serie se puede escribir como

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}] = (1 + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ⋯ .

Escribiendo los primeros términos de la secuencia de sumas parciales ${S_{k}},$ vemos que

\begin{array}{l} S_{1} = 1 - \frac{1}{2} \\ S_{2} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} \\ S_{3} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} . \end{array}

En general,

S_{k} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ⋯ + (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{k + 1} .

Observamos que los términos intermedios se anulan entre sí, dejando solo los primeros y últimos términos. En cierto sentido, la serie se colapsa como un catalejo con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos serie telescópica a una serie que tiene esta propiedad. Para esta serie, dado que $S_{k} = 1 - 1 / (k + 1)$ y $1 / (k + 1) \to 0$ a medida que $k \to \infty,$ la secuencia de sumas parciales converge a $1,$ y por tanto la serie converge a $1 .$

Definición

Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando solo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos.

Por ejemplo, cualquier serie de la forma

\sum_{n = 1}^{\infty} [b_{n} - b_{n + 1}] = (b_{1} - b_{2}) + (b_{2} - b_{3}) + (b_{3} - b_{4}) + ⋯

es una serie telescópica. Podemos ver esto escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que

\begin{array}{l} S_{1} = b_{1} - b_{2} \\ S_{2} = (b_{1} - b_{2}) + (b_{2} - b_{3}) = b_{1} - b_{3} \\ S_{3} = (b_{1} - b_{2}) + (b_{2} - b_{3}) + (b_{3} - b_{4}) = b_{1} - b_{4} . \end{array}

En general, la k−ésima suma parcial de esta serie es

S_{k} = b_{1} - b_{k + 1} .

Como la k−ésima suma parcial puede simplificarse a la diferencia de estos dos términos, la secuencia de sumas parciales ${S_{k}}$ convergerá si y solo si la secuencia ${b_{k + 1}}$ converge. Además, si la secuencia $b_{k + 1}$ converge a algún número finito $B,$ entonces la secuencia de sumas parciales converge a $b_{1} - B,$ y por lo tanto

\sum_{n = 1}^{\infty} [b_{n} - b_{n + 1}] = b_{1} - B .

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma.

Ejemplo 5.12

Evaluación de una serie telescópica

Determine si la serie telescópica

\sum_{n = 1}^{\infty} [cos (\frac{1}{n}) - cos (\frac{1}{n + 1})]

converge o diverge. Si converge, calcule su suma.

Solución

Al escribir los términos de la secuencia de sumas parciales, podemos ver que

\begin{matrix} S_{1} & = & cos (1) - cos (\frac{1}{2}) \\ S_{2} & = & (cos (1) - cos (\frac{1}{2})) + (cos (\frac{1}{2}) - cos (\frac{1}{3})) = cos (1) - cos (\frac{1}{3}) \\ S_{3} & = & (cos (1) - cos (\frac{1}{2})) + (cos (\frac{1}{2}) - cos (\frac{1}{3})) + (cos (\frac{1}{3}) - cos (\frac{1}{4})) \\ = & cos (1) - cos (\frac{1}{4}) . \end{matrix}

En general,

S_{k} = cos (1) - cos (\frac{1}{k + 1}) .

Dado que $1 / (k + 1) \to 0$ a medida que $k \to \infty$ y $cos x$ es una función continua, $cos (1 / (k + 1)) \to cos (0) = 1 .$ Por lo tanto, concluimos que $S_{k} \to cos (1) - 1 .$ La serie telescópica converge y la suma está dada por

\sum_{n = 1}^{\infty} [cos (\frac{1}{n}) - cos (\frac{1}{n + 1})] = cos (1) - 1 .

Punto de control 5.11

Determine si $\sum_{n = 1}^{\infty} [e^{1 / n} - e^{1 / (n + 1)}]$ converge o diverge. Si converge, calcule su suma.

Proyecto de estudiante

Constante de Euler

Hemos demostrado que la serie armónica $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales $S_{k}$ como $k \to \infty .$ En particular, mostramos que se comportan como la función logarítmica natural demostrando que existe una constante $γ$ tal que

\sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} - ln k \to γ a medida que k \to \infty .

Esta constante $γ$ se conoce como la constante de Euler.

Supongamos que $T_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} - ln k .$ Evalúe $T_{k}$ para varios valores de $k .$
Para TkTk tal y como se define en la parte 1. demuestre que la secuencia {Tk}{Tk} converge mediante los siguientes pasos
1. Demuestre que la secuencia ${T_{k}}$ es monótona decreciente. (Pista: Demuestre que $ln (1 + 1 / k > 1 / (k + 1)))$
2. Demuestre que la secuencia ${T_{k}}$ está delimitada por debajo de cero. (Pista: Exprese $ln k$ como integral definida).
3. Utilice el teorema de convergencia monótona para concluir que la secuencia ${T_{k}}$ converge. El límite $γ$ es la constante de Euler.
Ahora cuán lejos está TkTk de γγ para un número entero dado k.k. Demuestre que para k≥1,k≥1, 0<Tk−γ≤1/k0<Tk−γ≤1/k mediante los siguientes pasos
1. Demuestre que $ln (k + 1) - ln k < 1 / k .$
2. Utilice el resultado de la parte a. para demostrar que para cualquier número entero $k,$
  
  $T_{k} - T_{k + 1} < \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} .$
3. Para cualquier número entero $k$ y $j$ tal que $j > k,$ exprese $T_{k} - T_{j}$ como una suma telescópica escribiendo
  
  $T_{k} - T_{j} = (T_{k} - T_{k + 1}) + (T_{k + 1} - T_{k + 2}) + (T_{k + 2} - T_{k + 3}) + ⋯ + (T_{j - 1} - T_{j}) .$
  
  Utilice el resultado de la parte b. combinado con esta suma telescópica para concluir que
  
  $T_{k} - T_{j} < \frac{1}{k} - \frac{1}{j} .$
4. Aplique el límite a ambos lados de la inecuación de la parte c. para concluir que
  
  $T_{k} - γ \leq \frac{1}{k} .$
5. Estime $γ$ con una exactitud de $0,001 .$

Sección 5.2 ejercicios

Utilizando la notación sigma, escriba las siguientes expresiones como series infinitas.

67.

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯$

68.

$1 - 1 + 1 - 1 + ⋯$

69.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$

70.

$sen 1 + sen 1 / 2 + sen 1 / 3 + sen 1 / 4 + ⋯$

Calcule las cuatro primeras sumas parciales $S_{1},…, S_{4}$ para la serie que tiene el $ené −ésimo$ término $a_{n}$ empezando por $n = 1$ de la siguiente forma.

71.

$a_{n} = n$

72.

$a_{n} = 1 / n$

73.

$a_{n} = sen (n π / 2)$ grandes.

74.

$a_{n} = {(–1)}^{n}$

En los siguientes ejercicios, calcule el término general $a_{n}$ de la serie con la suma parcial dada $S_{n} .$ Si la secuencia de sumas parciales converge, halle su límite $S .$

75.

$S_{n} = 1 - \frac{1}{n},$ $n \geq 2$

76.

$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2},$ $n \geq 1$

77.

$S_{n} = \sqrt{n}, n \geq 2$

78.

$S_{n} = 2 - (n + 2) / 2^{n}, n \geq 1$

Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

79.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 2}$

80.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - {(–1)}^{n}))$ grandes.

81.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ (Pista: Utilice una descomposición en fracciones parciales como la de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)} .)$ grandes.

82.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n + 1}$ (Pista: Siga el razonamiento de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} .)$

Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1,$ que $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = −1,$ que $a_{1} = 2,$ y $b_{1} = −3 .$ Calcule la suma de las series indicadas.

83.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ grandes.

84.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - 2 b_{n})$ grandes.

85.

$\sum_{n = 2}^{\infty} (a_{n} - b_{n})$ grandes.

86.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (3 a_{n + 1} - 4 b_{n + 1})$

Indique si la serie dada converge y explique por qué.

87.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1.000}$ (Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice).

88.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 10^{80}}$ (Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice).

89.

$1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1.000} + ⋯$

90.

$1 + \frac{e}{π} + \frac{e^{2}}{π^{2}} + \frac{e^{3}}{π^{3}} + ⋯$

91.

$1 + \frac{π}{e^{2}} + \frac{π^{2}}{e^{4}} + \frac{π^{3}}{e^{6}} + \frac{π^{4}}{e^{8}} + ⋯$

92.

$1 - \sqrt{\frac{π}{3}} + \sqrt{\frac{π^{2}}{9}} - \sqrt{\frac{π^{3}}{27}} + ⋯$

Para $a_{n}$ como sigue, escriba la suma como una serie geométrica de la forma $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n} .$ Indique si la serie converge y, si lo hace, halle el valor de $\sum a_{n} .$

93.

$a_{1} = –1$ y $a_{n} / a_{n + 1} = −5$ para $n \geq 1 .$

94.

$a_{1} = 2$ y $a_{n} / a_{n + 1} = 1 / 2$ para $n \geq 1 .$

95.

$a_{1} = 10$ y $a_{n} / a_{n + 1} = 10$ para $n \geq 1 .$

96.

$a_{1} = 1 / 10$ y $a_{n} / a_{n + 1} = −10$ para $n \geq 1 .$

Utilice la identidad $\frac{1}{1 - y} = \sum_{n = 0}^{\infty} y^{n}$ para expresar la función como una serie geométrica en el término indicado.

97.

$\frac{x}{1 + x}$ en $x$

98.

$\frac{\sqrt{x}}{1 - x^{3 / 2}}$ en $\sqrt{x}$

99.

$\frac{1}{1 + {sen}^{2} x}$ en $sen x$

100.

${sec}^{2} x$ en $sen x$

Evalúe la siguiente serie telescópica o indique si la serie diverge.

101.

$\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{1 / n} - 2^{1 / (n + 1)}$ grandes.

102.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{13}} - \frac{1}{{(n + 1)}^{13}}$

103.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n + 1})$ grandes.

104.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (sen n - sen (n + 1))$

Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y evalúe su enésima suma parcial.

105.

$\sum_{n = 1}^{\infty} ln (\frac{n}{n + 1})$ grandes.

106.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 n + 1}{{(n^{2} + n)}^{2}}$ (Pista: Factorice el denominador y utilice fracciones parciales).

107.

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{ln (1 +_{n}^{1})}{ln n ln (n + 1)}$ grandes.

108.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 2)}{n (n + 1) 2^{n + 1}}$ (Pista: Mire $1 / (n 2^{n}) .)$

Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se anulan tras sumar un número determinado de términos sucesivos.

109.

Supongamos que $a_{n} = f (n) - 2 f (n + 1) + f (n + 2),$ en la que $f (n) \to 0$ a medida que $n \to \infty .$ Calcule $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$

110.

$a_{n} = f (n) - f (n + 1) - f (n + 2) + f (n + 3),$ en la que $f (n) \to 0$ a medida que $n \to \infty .$ Calcule $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} .$

111.

Supongamos que $a_{n} = c_{0} f (n) + c_{1} f (n + 1) + c_{2} f (n + 2) + c_{3} f (n + 3) + c_{4} f (n + 4),$ donde $f (n) \to 0$ a medida que $n \to \infty .$ Halle una condición sobre los coeficientes $c_{0},…, c_{4}$ que la convierten en una serie telescópica general.

112.

Evalúe $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}$ (Pista: $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 (n + 2)})$

113.

Evalúe $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2}{n^{3} - n} .$

114.

Halle una fórmula para $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + N)}$ donde $N$ es un número entero positivo.

115.

[T] Defina una secuencia $t_{k} = \sum_{n = 1}^{k - 1} (1 / k) - ln k .$ Utilice el gráfico de $1 / x$ para verificar que $t_{k}$ es creciente. Grafique $t_{k}$ para $k = 1 … 100$ y afirme si parece que la secuencia converge.

116.

[T] Supongamos que $N$ bloques rectangulares iguales y uniformes se apilan uno encima de otro, dejando que sobresalga un poco. La ley de Arquímedes de la palanca implica que la pila de $N$ bloques es estable siempre que el centro de masa de los $(N - 1)$ bloques superiores se encuentre en el borde del bloque inferior. Supongamos que $x$ denota la posición del borde del bloque inferior, y piense en su posición como relativa al centro del bloque que le sigue. Esto implica que $(N - 1) x = (\frac{1}{2} - x)$ o $x = 1 / (2 N) .$ Utilice esta expresión para calcular el saliente máximo (la posición del borde del bloque superior sobre el borde del bloque inferior). Vea la siguiente figura.

Este es un diagrama del borde de una mesa con varios bloques apilados en el borde. Cada bloque se empuja ligeramente hacia la derecha, y por encima del borde de la mesa. Se dibuja una flecha con puntas de flecha en ambos extremos desde el borde de la mesa hasta una línea trazada hacia abajo desde el borde del bloque más alto.

Cada una de las siguientes series infinitas converge al múltiplo dado de $π$ o $1 / π .$

En cada caso, halle el valor mínimo de $N$ tal que la $N −ésima$ suma parcial de la serie se aproxime exactamente al lado izquierdo con el número de decimales dado, e indique el valor aproximado deseado. Hasta $15$ decimales, $π = 3,141592653589793... .$

117.

[T] $π = −3 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n 2^{n} n!^{2}}{(2 n)!},$ error $< 0,0001$

118.

[T] $\frac{π}{2} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k!}{(2 k + 1)!!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k} k!^{2}}{(2 k + 1)!},$ error $< 10^{−4}$

119.

[T] $\frac{9.801}{2 π} = \frac{4}{9801} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4 k)! (1.103 + 26.390 k)}{{(k!)}^{4} 396^{4 k}},$ error $< 10^{−12}$

120.

[T] $\frac{1}{12 π} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{k} (6 k)! (13591409 + 545140134 k)}{(3 k)! {(k!)}^{3} 640320^{3 k + 3 / 2}},$ error $< 10^{−15}$

121.

[T] Una moneda justa es aquella que tiene probabilidad $1 / 2$ de salir cara cuando se lanza.

¿Cuál es la probabilidad de que una moneda justa salga cruz? $n$ veces seguidas?
Calcule la probabilidad de que una moneda salga cara por primera vez en el último lanzamiento de un número par de lanzamientos.

122.

[T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa se lance un múltiplo de tres veces antes de salir cara.

123.

[T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez después de un número par de lanzamientos.

124.

[T] Calcule una serie que exprese la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez en un múltiplo de tres lanzamientos.

125.

[T] El número esperado de veces que una moneda justa saldrá cara se define como la suma sobre $n = 1, 2,…$ de $n$ veces la probabilidad de que la moneda salga cara exactamente $n$ veces seguidas, o $n / 2^{n + 1} .$ Calcule el número esperado de veces consecutivas que una moneda justa saldrá cara.

126.

[T] Una persona deposita $$ 10$ dólares al principio de cada trimestre en una cuenta bancaria que gana $4 %$ de interés anual compuesto trimestralmente (cuatro veces al año).

Demuestre que los intereses acumulados después de $n$ trimestres son $$ 10 (\frac{{1,01}^{n + 1} - 1}{0,01} - n) .$
Halle los ocho primeros términos de la secuencia.
¿Cuántos intereses se han acumulado después de $2$ años?

127.

[T] Supongamos que la cantidad de un medicamento en el sistema de un paciente disminuye en un factor multiplicativo $r < 1$ cada hora. Supongamos que se administra una nueva dosis cada $N$ horas. Halle una expresión que indique la cantidad $A (n)$ en el sistema del paciente después de $n$ horas para cada $n$ en cuanto a la dosis $d$ y el cociente $r .$ (Pista: Escriba $n = m N + k,$ donde $0 \leq k < N,$ y sume los valores de las diferentes dosis administradas).

128.

[T] Un determinado fármaco es eficaz para un paciente promedio solo si hay al menos $1$ mg por kg en el sistema del paciente, mientras que solo es seguro si hay como máximo $2$ mg por kg en el sistema de un paciente promedio. Supongamos que la cantidad en el sistema del paciente disminuye en un factor multiplicativo de $0,9$ cada hora después de la administración de una dosis. Halle el intervalo máximo $N$ de horas entre dosis, y el rango de dosis correspondiente $d$ (en mg/kg) para este $N$ que permitirá que el uso del medicamento sea seguro y eficaz a largo plazo.

129.

Supongamos que $a_{n} \geq 0$ es una secuencia de números. Explique por qué la secuencia de sumas parciales de $a_{n}$ es creciente.

130.

[T] Supongamos que $a_{n}$ es una secuencia de números positivos y la secuencia $S_{n}$ de sumas parciales de $a_{n}$ está delimitada por encima. Explique por qué $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge. ¿Sigue siendo cierta la conclusión si eliminamos la hipótesis $a_{n} \geq 0 ?$

131.

[T] Supongamos que $a_{1} = S_{1} = 1$ y que, para números dados $S > 1$ y $0 < k < 1,$ se define $a_{n + 1} = k (S - S_{n})$ y $S_{n + 1} = a_{n + 1} + S_{n} .$ ¿ $S_{n}$ converge? Si es así, ¿a qué? (Pista: Primero argumente que $S_{n} < S$ para todo $n$ y $S_{n}$ es creciente).

132.

[T] Una versión del crecimiento de von Bertalanffy puede utilizarse para estimar la edad de un individuo en una especie homogénea a partir de su longitud si el incremento anual en el año $n + 1$ satisface $a_{n + 1} = k (S - S_{n}),$ con $S_{n}$ como la longitud en el año $n,$ $S$ como longitud límite, y $k$ como constante de crecimiento relativo. Si $S_{1} = 3,$ $S = 9,$ y $k = 1 / 2,$ estime numéricamente el valor más pequeño de $n$ tal que $S_{n} \geq 8 .$ Observe que $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1} .$ Calcule el $n$ correspondiente cuando $k = 1 / 4 .$

133.

[T] Supongamos que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es una serie convergente de términos positivos. Explique por qué $\underset{N \to \infty}{lím} \sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} = 0 .$

134.

[T] Calcule la longitud de la trayectoria en zigzag de la siguiente figura.

135.

[T] Calcule la longitud total de la trayectoria discontinua en la siguiente figura

Se trata de un triángulo dibujado en el cuadrante 1 con vértices en (1, 1), (0, 0) y (1, 0). La línea en zigzag se dibuja comenzando en (0,5, 0) y va a la mitad de la hipotenusa, al punto medio entre ese punto y el cateto vertical, al punto medio de la mitad superior de la hipotenusa, al punto medio entre ese punto y el cateto vertical, y así sucesivamente hasta que converge en el vértice superior.

136.

[T] El triángulo de Sierpinski se obtiene a partir de un triángulo suprimiendo el cuarto triángulo central como se indica en el primer paso, suprimiendo los cuartos triángulos centrales de los tres triángulos congruentes restantes en el segundo paso, y en general suprimiendo los cuartos triángulo centrales de los triángulos restantes en cada paso sucesivo. Suponiendo que el triángulo original se muestra en la figura, halle las áreas de las partes restantes del triángulo original después de $N$ pasos y calcule la longitud total de todos los triángulos limítrofes después de $N$ pasos.

137.

[T] La alfombra de Sierpinski se obtiene dividiendo el cuadrado unitario en nueve subcuadrados iguales, eliminando el cuadrado del medio y haciendo lo mismo en cada etapa con los subcuadrados restantes. La figura muestra el conjunto restante después de cuatro iteraciones. Calcule el área total eliminada después de $N$ etapas y calcule la longitud el perímetro total del conjunto restante después de $N$ etapas.

Se trata de un cuadrado negro al que se le han quitado muchos cuadrados más pequeños, dejando espacios en blanco en un patrón de cuadrados. Hay cuatro iteraciones del proceso de eliminación. En la primera, se elimina el área central de 1/9 cuadrados. Cada lado es 1/3 del siguiente cuadrado más grande. A continuación, se eliminan ocho cuadrados más pequeños alrededor de este. Alrededor de cada uno de ellos se eliminan ocho cuadrados más pequeños: 64 en total. Alrededor de cada uno de esos 64 se retiran ocho más pequeños.