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Integrales impropias

3.7 Integrales impropias

Objetivos de aprendizaje

  • 3.7.1 Evaluar una integral en un intervalo infinito.
  • 3.7.2 Evaluar una integral en un intervalo cerrado con una discontinuidad infinita dentro del intervalo.
  • 3.7.3 Utilizar el teorema de comparación para determinar si una integral definida es convergente.

El área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+∞)[1,+∞) ¿es finita o infinita? Si esta misma región se hace girar alrededor del eje x, ¿el volumen es finito o infinito? Sorprendentemente, el área de la región descrita es infinita, pero el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor del eje x es finito.

En esta sección, definimos las integrales en un intervalo infinito, así como las integrales de funciones que contienen una discontinuidad en el intervalo. Las integrales de este tipo se llaman integrales impropias. Examinamos varias técnicas para evaluar integrales impropias, todas las cuales implican tomar límites.

Integración en un intervalo infinito

¿Cómo podemos definir una integral del tipo ∫a+∞f(x)dx?∫a+∞f(x)dx? Podemos integrar ∫atf(x)dx∫atf(x)dx para cualquier valor de t,t, por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de t.t. La Figura 3.17 muestra que ∫atf(x)dx∫atf(x)dx puede interpretarse como área para varios valores de t.t. En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite.

Esta figura tiene tres gráficos. Todos los gráficos tienen la misma curva, que es f(x). La curva es no negativa, solo en el primer cuadrante, y decreciente. Debajo de las tres curvas hay una región sombreada delimitada por a en el eje x y t en el eje x. La región de la primera curva es pequeña, y se amplía progresivamente bajo el segundo y tercer gráfico a medida que t se aleja más a la derecha de a en el eje x.
Figura 3.17 Para integrar una función en un intervalo infinito, consideramos el límite de la integral a medida que el límite superior aumenta sin límite.

Definición

  1. Supongamos que f(x)f(x) es continua en un intervalo de la forma [a,+∞).[a,+∞). Entonces
    ∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx,∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx,
    (3.16)

    siempre que exista este límite.
  2. Supongamos que f(x)f(x) es continua en un intervalo de la forma (−∞,b].(−∞,b]. Entonces
    ∫−∞bf(x)dx=límt→−∞∫tbf(x)dx,∫−∞bf(x)dx=límt→−∞∫tbf(x)dx,
    (3.17)

    siempre que exista este límite.
     En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.
  3. Supongamos que f(x)f(x) es continua en (−∞,+∞).(−∞,+∞). Entonces
    ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx,∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx,
    (3.18)

    siempre que ∫−∞0f(x)dx∫−∞0f(x)dx y ∫0+∞f(x)dx∫0+∞f(x)dx ambas convergen. Si cualquiera de estas dos o ambas integrales divergen, entonces ∫−∞+∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx diverge. (Se puede demostrar que, de hecho, ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx para cualquier valor de a.)a.)

En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al principio de esta sección: El área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje xx en el intervalo [1,+∞)[1,+∞) ¿es finita o infinita?

Ejemplo 3.47

Hallar un área

Determine si el área entre el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+∞)[1,+∞) es finita o infinita.

Solución

En primer lugar, hacemos un dibujo rápido de la región en cuestión, como se muestra en el siguiente gráfico.

Esta figura es el gráfico de la función y = 1/x. Es una función decreciente con una asíntota vertical en el eje y. En el primer cuadrante hay una región sombreada bajo la curva delimitada por x = 1 y x = 4.
Figura 3.18 Podemos hallar el área entre la curva f(x)=1/xf(x)=1/x y el eje x en un intervalo infinito.

Podemos ver que el área de esta región está dada por A=∫1∞1xdx.A=∫1∞1xdx. Entonces tenemos

A = ∫ 1 ∞ 1 x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x d x Reescriba la integral impropia como un límite. = lím t → + ∞ ln | x | | 1 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ln | t | − ln 1 ) Evalúe la antiderivada. = + ∞ . Evalúe el límite. A = ∫ 1 ∞ 1 x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x d x Reescriba la integral impropia como un límite. = lím t → + ∞ ln | x | | 1 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ln | t | − ln 1 ) Evalúe la antiderivada. = + ∞ . Evalúe el límite.

Como la integral impropia diverge a +∞,+∞, el área de la región es infinita.

Ejemplo 3.48

Calcular un volumen

Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de f(x)=1xf(x)=1x y el eje x en el intervalo [1,+∞)[1,+∞) alrededor del eje xx.

Solución

El sólido se muestra en la Figura 3.19. Utilizando el método del disco, vemos que el volumen V es

V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x . V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x .
Esta figura es el gráfico de la función y = 1/x. Es una función decreciente con una asíntota vertical en el eje y. El gráfico muestra un sólido que se ha generado girando la curva en el primer cuadrante alrededor del eje x.
Figura 3.19 El sólido de revolución puede generarse girando un área infinita alrededor del eje x.

Entonces tenemos

V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x = π lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x 2 d x Reescriba como un límite. = π lím t → + ∞ − 1 x | 1 t Calcule la antiderivada. = π lím t → + ∞ ( − 1 t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = π . V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x = π lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x 2 d x Reescriba como un límite. = π lím t → + ∞ − 1 x | 1 t Calcule la antiderivada. = π lím t → + ∞ ( − 1 t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = π .

La integral impropia converge a π.π. Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es π.π.

En conclusión, aunque el área de la región entre el eje x y el gráfico de f(x)=1/xf(x)=1/x en el intervalo [1,+∞)[1,+∞) es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje x es finito. El sólido generado se conoce como el cuerno de Gabriel.

Medios

Visite este sitio web para leer más sobre el cuerno de Gabriel.

Ejemplo 3.49

Inicio del capítulo: Accidentes de tráfico en una ciudad

Esta es una imagen de una calle de la ciudad con una señal de tráfico. La imagen tiene carriles muy transitados de tráfico en ambas direcciones
Figura 3.20 (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr).

En el inicio del capítulo, planteamos el siguiente problema: supongamos que en una intersección muy concurrida se producen accidentes de tráfico a una tasa promedio de uno cada tres meses. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de 8 meses sin accidentes es fruto de la casualidad?

La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos es k,k, la probabilidad de que X,X, el tiempo entre eventos, esté entre aa y bb está dada por

P(a≤x≤b)=∫abf(x)dxdondef(x)={0six<0ke−kxsix≥0.P(a≤x≤b)=∫abf(x)dxdondef(x)={0six<0ke−kxsix≥0.

Por lo tanto, si los accidentes se producen a una tasa de uno cada 3 meses, la probabilidad de que X,X, el tiempo entre accidentes, esté entre aa y bb está dada por

P(a≤x≤b)=∫abf(x)dxdondef(x)={0six<03e−3xsix≥0.P(a≤x≤b)=∫abf(x)dxdondef(x)={0six<03e−3xsix≥0.

Para responder la pregunta, debemos calcular P(X≥8)=∫8+∞3e−3xdxP(X≥8)=∫8+∞3e−3xdx y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin que se produzca un accidente si no hubiera mejorado la situación del tráfico.

Solución

Tenemos que calcular la probabilidad como una integral impropia:

P ( X ≥ 8 ) = ∫ 8 + ∞ 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ ∫ 8 t 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ − e −3 x | 8 t = lím t → + ∞ ( − e −3 t + e −24 ) ≈ 3,8 × 10 −11 . P ( X ≥ 8 ) = ∫ 8 + ∞ 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ ∫ 8 t 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ − e −3 x | 8 t = lím t → + ∞ ( − e −3 t + e −24 ) ≈ 3,8 × 10 −11 .

El valor 3,8×10−113,8×10−11 representa la probabilidad de que no haya accidentes en 8 meses en las condiciones iniciales. Como este valor es muy, muy pequeño, es razonable concluir que los cambios fueron efectivos.

Ejemplo 3.50

Evaluación de una integral impropia en un intervalo infinito

Evalúe ∫−∞01x2 +4dx.∫−∞01x2 +4dx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución

Comience por reescribir ∫−∞01x2 +4dx∫−∞01x2 +4dx como límite utilizando la Ecuación 3.17 de la definición. Por lo tanto,

∫ − ∞ 0 1 x 2 + 4 d x = lím x → − ∞ ∫ t 0 1 x 2 + 4 d x Reescriba como un límite. =límt→−∞12 tan−1x2 |t0Calcule la antiderivada. =12 límt→−∞(tan−10−tan−1t2 )Evalúe la antiderivada. =π4.Evalúe el límite y simplifique. ∫ − ∞ 0 1 x 2 + 4 d x = lím x → − ∞ ∫ t 0 1 x 2 + 4 d x Reescriba como un límite. =límt→−∞12 tan−1x2 |t0Calcule la antiderivada. =12 límt→−∞(tan−10−tan−1t2 )Evalúe la antiderivada. =π4.Evalúe el límite y simplifique.

La integral impropia converge a π4.π4.

Ejemplo 3.51

Evaluación de una integral impropia en (−∞,+∞)(−∞,+∞)

Evalúe ∫−∞+∞xexdx.∫−∞+∞xexdx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución

Empiece por dividir la integral:

∫ − ∞ + ∞ x e x d x = ∫ − ∞ 0 x e x d x + ∫ 0 + ∞ x e x d x . ∫ − ∞ + ∞ x e x d x = ∫ − ∞ 0 x e x d x + ∫ 0 + ∞ x e x d x .

Si cualquiera de ∫−∞0xexdx∫−∞0xexdx o ∫0+∞xexdx∫0+∞xexdx diverge, entonces ∫−∞+∞xexdx∫−∞+∞xexdx diverge. Calcule cada integral por separado. Para la primera integral,

∫ − ∞ 0 x e x d x = lím t → − ∞ ∫ t 0 x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → − ∞ ( x e x − e x ) | t 0 Utilice la integración por partes para hallar la antiderivada. (Aquí u = x y d v = e x dx . ) = lím t → − ∞ ( −1 − t e t + e t ) Evalúe la antiderivada. = −1 . Evalúe el límite. Nota: lím t → − ∞ t e t es indeterminado de la forma 0 . ∞ . Por lo tanto, lím t → − ∞ t e t = lím t → − ∞ t e − t = lím t → − ∞ −1 e − t = lím t → − ∞ − e t = 0 por La regla de L'Hôpital. ∫ − ∞ 0 x e x d x = lím t → − ∞ ∫ t 0 x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → − ∞ ( x e x − e x ) | t 0 Utilice la integración por partes para hallar la antiderivada. (Aquí u = x y d v = e x dx . ) = lím t → − ∞ ( −1 − t e t + e t ) Evalúe la antiderivada. = −1 . Evalúe el límite. Nota: lím t → − ∞ t e t es indeterminado de la forma 0 . ∞ . Por lo tanto, lím t → − ∞ t e t = lím t → − ∞ t e − t = lím t → − ∞ −1 e − t = lím t → − ∞ − e t = 0 por La regla de L'Hôpital.

La primera integral impropia converge. Para la segunda integral,

∫ 0 + ∞ x e x d x = lím t → + ∞ ∫ 0 t x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → + ∞ ( x e x − e x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( t e t − e t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ( t − 1 ) e t + 1 ) Reescriba. ( t e t − e t es indeterminado). = + ∞ . Evalúe el límite. ∫ 0 + ∞ x e x d x = lím t → + ∞ ∫ 0 t x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → + ∞ ( x e x − e x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( t e t − e t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ( t − 1 ) e t + 1 ) Reescriba. ( t e t − e t es indeterminado). = + ∞ . Evalúe el límite.

Por lo tanto, ∫0+∞xexdx∫0+∞xexdx diverge. Dado que esta integral diverge, ∫−∞+∞xexdx∫−∞+∞xexdx también diverge.

Punto de control 3.27

Evalúe ∫−3+∞e–xdx.∫−3+∞e–xdx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Integración de un integrando discontinuo

Ahora vamos a examinar las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el que se produce la integración. Consideremos una integral de la forma ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx, donde f(x)f(x) es continua en [a,b)[a,b) y discontinua en b.b. Dado que la función f(x)f(x) es continua en [a,t][a,t] para todos los valores de tt que satisface a<t<b,a<t<b, la integral ∫atf(x)dx∫atf(x)dx se define para todos esos valores de t.t. Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de ∫atf(x)dx∫atf(x)dx a medida que tt se acerca a bb para a<t<b.a<t<b. Es decir, definimos ∫abf(x)dx=límt→b−∫atf(x)dx,∫abf(x)dx=límt→b−∫atf(x)dx, siempre que exista este límite. La Figura 3.21 ilustra ∫atf(x)dx∫atf(x)dx como áreas de regiones para valores de tt que se acercan a b.b.

Esta figura tiene tres gráficos. Todos los gráficos tienen la misma curva, que es f(x). La curva es no negativa, solo en el primer cuadrante, y creciente. Debajo de las tres curvas hay una región sombreada delimitada por a en el eje x y t en el eje x. También hay una asíntota vertical en x = b. La región de la primera curva es pequeña, y se amplía progresivamente bajo el segundo y tercer gráfico a medida que t se aleja de a, y se acerca a b en el eje x.
Figura 3.21 A medida que t se acerca a b por la izquierda, el valor del área de a a t se acerca al área de a a b.

Utilizamos un enfoque similar para definir ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx, donde f(x)f(x) es continua en (a,b](a,b] y discontinua en a.a. Procedemos ahora a una definición formal.

Definición

  1. Supongamos que f(x)f(x) es continua en [a,b).[a,b). Entonces,
    ∫abf(x)dx=límt→b−∫atf(x)dx.∫abf(x)dx=límt→b−∫atf(x)dx.
    (3.19)
  2. Supongamos que f(x)f(x) es continua en (a,b].(a,b]. Entonces,
    ∫abf(x)dx=límt→a+∫tbf(x)dx.∫abf(x)dx=límt→a+∫tbf(x)dx.
    (3.20)

    En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.
  3. Si los valores de f(x)f(x) es continua en [a,b][a,b] excepto en un punto cc en (a,b),(a,b), entonces
    ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,
    (3.21)

    siempre que ambas ∫acf(x)dx∫acf(x)dx y ∫cbf(x)dx∫cbf(x)dx converjan. Si cualquiera de estas integrales diverge, entonces ∫abf(x)dx∫abf(x)dx diverge.

Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición.

Ejemplo 3.52

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe ∫0414−xdx,∫0414−xdx, si es posible. Indique si la integral converge o diverge.

Solución

La función f(x)=14−xf(x)=14−x es continua en [0,4)[0,4) y discontinua en 4. Utilizando la Ecuación 3.19 de la definición, reescriba ∫0414−xdx∫0414−xdx como límite:

∫ 0 4 1 4 − x d x = lím t → 4 − ∫ 0 t 1 4 − x d x Reescriba como un límite. = lím t → 4 − ( −2 4 − x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → 4 − ( −2 4 − t + 4 ) Evalúe la antiderivada. = 4 . Evalúe el límite. ∫ 0 4 1 4 − x d x = lím t → 4 − ∫ 0 t 1 4 − x d x Reescriba como un límite. = lím t → 4 − ( −2 4 − x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → 4 − ( −2 4 − t + 4 ) Evalúe la antiderivada. = 4 . Evalúe el límite.

La integral impropia converge.

Ejemplo 3.53

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe ∫02 xlnxdx.∫02 xlnxdx. Indique si la integral converge o diverge.

Solución

Dado que f(x)=xlnxf(x)=xlnx es continua en (0,2 ](0,2 ] y es discontinua en cero, podemos reescribir la integral en forma de límite utilizando la Ecuación 3.20:

∫ 0 2 x ln x d x = lím t → 0 + ∫ t 2 x ln x d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 + ( 1 2 x 2 ln x – 1 4 x 2 ) | t 2 Evalúe ∫ ​ x ln x d x utilizando la integración por partes con u = ln x y d v = x dx . = lím t → 0 + ( 2 ln 2 – 1 − 1 2 t 2 ln t + 1 4 t 2 ) . Evalúe la antiderivada. = 2 ln 2 – 1 . Evalúe el límite. lím t → 0 + t 2 ln t es indeterminada. Para evaluarla, reescríbala como un cociente y aplique la regla de L'Hôpital. ∫ 0 2 x ln x d x = lím t → 0 + ∫ t 2 x ln x d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 + ( 1 2 x 2 ln x – 1 4 x 2 ) | t 2 Evalúe ∫ ​ x ln x d x utilizando la integración por partes con u = ln x y d v = x dx . = lím t → 0 + ( 2 ln 2 – 1 − 1 2 t 2 ln t + 1 4 t 2 ) . Evalúe la antiderivada. = 2 ln 2 – 1 . Evalúe el límite. lím t → 0 + t 2 ln t es indeterminada. Para evaluarla, reescríbala como un cociente y aplique la regla de L'Hôpital.

La integral impropia converge.

Ejemplo 3.54

Integración de un integrando discontinuo

Evalúe ∫–111x3dx.∫–111x3dx. Indique si la integral impropia converge o diverge.

Solución

Dado que f(x)=1/x3f(x)=1/x3 es discontinua en cero, utilizando la Ecuación 3.21, podemos escribir

∫ –1 1 1 x 3 d x = ∫ −1 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 1 x 3 d x . ∫ –1 1 1 x 3 d x = ∫ −1 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 1 x 3 d x .

Si cualquiera de las dos integrales diverge, entonces la integral original diverge. Comience con ∫−101x3dx:∫−101x3dx:

∫ −1 0 1 x 3 d x = lím t → 0 − ∫ −1 t 1 x 3 d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 − ( − 1 2 x 2 ) | −1 t Calcule la antiderivada. = lím t → 0 − ( − 1 2 t 2 + 1 2 ) Evalúe la antiderivada. = + −∞ . Evalúe el límite. ∫ −1 0 1 x 3 d x = lím t → 0 − ∫ −1 t 1 x 3 d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 − ( − 1 2 x 2 ) | −1 t Calcule la antiderivada. = lím t → 0 − ( − 1 2 t 2 + 1 2 ) Evalúe la antiderivada. = + −∞ . Evalúe el límite.

Por lo tanto, ∫−101x3dx∫−101x3dx diverge. Dado que ∫−101x3dx∫−101x3dx diverge, ∫–111x3dx∫–111x3dx diverge.

Punto de control 3.28

Evalúe ∫02 1xdx.∫02 1xdx. Indique si la integral converge o diverge.

Un teorema de comparación

No siempre es fácil, o incluso posible, evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, comparándola con otra integral elegida cuidadosamente, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas f(x)f(x) y g(x)g(x) que satisface 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) para x≥ax≥a (Figura 3.22). En este caso, podemos ver integrales de estas funciones en intervalos de la forma [a,t][a,t] como áreas, por lo que tenemos la relación

0≤∫atf(x)dx≤∫atg(x)dxparat≥a.0≤∫atf(x)dx≤∫atg(x)dxparat≥a.
Esta figura tiene dos gráficos. Los gráficos son f(x) y g(x). El primer gráfico f(x) es una función decreciente y no negativa con una asíntota horizontal en el eje x. Tiene una curva más pronunciada en comparación con g(x). El gráfico de g(x) es una función decreciente y no negativa con una asíntota horizontal en el eje x.
Figura 3.22 Si los valores de 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) para x≥a,x≥a, entonces para t≥a,t≥a, ∫atf(x)dx≤∫atg(x)dx.∫atf(x)dx≤∫atg(x)dx.

Por lo tanto, si

∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=+∞,∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=+∞,

entonces

∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=+∞∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=+∞ también. Es decir, si el área de la región entre el gráfico de f(x)f(x) y el eje x en [a,+∞)[a,+∞) es infinita, entonces el área de la región entre el gráfico de g(x)g(x) y el eje x en [a,+∞)[a,+∞) también es infinita.

Por otro lado, si

∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=L∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=L para algún número real L,L, entonces

∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx debe converger a algún valor menor o igual a L,L, dado que ∫atf(x)dx∫atf(x)dx aumenta a medida que tt aumenta y ∫atf(x)dx≤L∫atf(x)dx≤L para todo t≥a.t≥a.

Si el área de la región entre el gráfico de g(x)g(x) y el eje x en [a,+∞)[a,+∞) es finita, entonces el área de la región entre el gráfico de f(x)f(x) y el eje x en [a,+∞)[a,+∞) también es finita.

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 3.7

Un teorema de comparación

Supongamos que f(x)f(x) y g(x)g(x) es continua en [a,+∞).[a,+∞). Supongamos que 0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x) para x≥a.x≥a.

  1. Si los valores de ∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=+∞,∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=+∞, entonces ∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=+∞.∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=+∞.
  2. Si los valores de ∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=L,∫a+∞g(x)dx=límt→+∞∫atg(x)dx=L, donde LL es un número real, entonces ∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=M∫a+∞f(x)dx=límt→+∞∫atf(x)dx=M para algún número real M≤L.M≤L.

Ejemplo 3.55

Aplicación del teorema de comparación

Utilice una comparación para demostrar que ∫1+∞1xexdx∫1+∞1xexdx converge.

Solución

Podemos ver que

0 ≤ 1 x e x ≤ 1 e x = e – x , 0 ≤ 1 x e x ≤ 1 e x = e – x ,

por lo que si ∫1+∞e–xdx∫1+∞e–xdx converge, entonces también lo hace ∫1+∞1xexdx.∫1+∞1xexdx. Para evaluar ∫1+∞e–xdx,∫1+∞e–xdx, reescríbala primero como un límite:

∫ 1 + ∞ e – x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t e – x d x = lím t → + ∞ ( − e – x ) | t 1 = lím t → + ∞ ( − e − t + e −1 ) = e −1 . ∫ 1 + ∞ e – x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t e – x d x = lím t → + ∞ ( − e – x ) | t 1 = lím t → + ∞ ( − e − t + e −1 ) = e −1 .

Dado que ∫1+∞e–xdx∫1+∞e–xdx converge, también lo hace ∫1+∞1xexdx.∫1+∞1xexdx.

Ejemplo 3.56

Aplicación del teorema de comparación

Utilice el teorema de la comparación para demostrar que ∫1+∞1xpdx∫1+∞1xpdx diverge para todo p<1.p<1.

Solución

Para p<1,p<1, 1/x≤1/(xp)1/x≤1/(xp) en [1,+∞).[1,+∞). En el Ejemplo 3.47, demostramos que ∫1+∞1xdx=+∞.∫1+∞1xdx=+∞. Por lo tanto, ∫1+∞1xpdx∫1+∞1xpdx diverge para todo p<1.p<1.

Punto de control 3.29

Utilice una comparación para demostrar que ∫e+∞lnxxdx∫e+∞lnxxdx diverge.

Proyecto de estudiante

Transformadas de Laplace

En los últimos capítulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformada de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el ámbito de la frecuencia son mucho más sencillos que los requeridos en el ámbito del tiempo.

La transformada de Laplace se define en términos de una integral como

L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t)dt.L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t)dt.

Tenga en cuenta que la entrada de una transformada de Laplace es una función del tiempo, f(t),f(t), y la salida es una función de la frecuencia, F(s).F(s). Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (que implican el número imaginario i=−1),i=−1), en este proyecto nos limitamos a funciones de números reales.

Empecemos con un ejemplo sencillo. Aquí calculamos la transformada de Laplace de f(t)=tf(t)=t. Tenemos

L{t}=∫0∞te−stdt.L{t}=∫0∞te−stdt.

Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, lo que da

L{t}=∫0∞te−stdt=límz→∞∫0zte−stdt.L{t}=∫0∞te−stdt=límz→∞∫0zte−stdt.

Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Observe que estamos integrando con respecto a t, por lo que tratamos la variable s como una constante. Tenemos

u=tdv=e−stdtdu=dtv=−1se−st.u=tdv=e−stdtdu=dtv=−1se−st.

Entonces obtenemos

límz→∞∫0zte−stdt=límz→∞[[−tse−st]|0z+1s∫0ze−stdt]=límz→∞[[−zse−sz+0se−0s]+1s∫0ze−stdt]=límz→∞[[−zse−sz+0]−1s[e−sts]|0z]=límz→∞[[−zse−sz]−1s2 [e−sz–1]]=límz→∞[−zsesz]−límz→∞[1s2 esz]+límz→∞1s2 =0−0+1s2 =1s2 .límz→∞∫0zte−stdt=límz→∞[[−tse−st]|0z+1s∫0ze−stdt]=límz→∞[[−zse−sz+0se−0s]+1s∫0ze−stdt]=límz→∞[[−zse−sz+0]−1s[e−sts]|0z]=límz→∞[[−zse−sz]−1s2 [e−sz–1]]=límz→∞[−zsesz]−límz→∞[1s2 esz]+límz→∞1s2 =0−0+1s2 =1s2 .
  1. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=1.f(t)=1.
  2. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=e−3t.f(t)=e−3t.
  3. Calcule la transformada de Laplace de f(t)=t2 .f(t)=t2 . (Observe que tendrá que integrar por partes dos veces).
     Las transformadas de Laplace se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales no se tratan en detalle hasta más adelante en este libro; pero, por ahora, veamos la relación entre la transformada de Laplace de una función y la transformada de Laplace de su derivada.
     Comencemos con la definición de la transformada de Laplace. Tenemos
    L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=límz→∞∫0ze−stf(t)dt.L{f(t)}=∫0∞e−stf(t)dt=límz→∞∫0ze−stf(t)dt.
  4. Utilice la integración por partes para evaluar límz→∞∫0ze−stf(t)dt.límz→∞∫0ze−stf(t)dt. (Supongamos que u=f(t)u=f(t) y dv=e−stdt.)dv=e−stdt.)
     Después de integrar por partes y evaluar el límite, debería ver que
    L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f′(t)}].L{f(t)}=f(0)s+1s[L{f′(t)}].

     Entonces,
    L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0).L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0).

     Por lo tanto, la diferenciación en el ámbito del tiempo se simplifica a la multiplicación por s en el ámbito de la frecuencia.
     Lo último que vemos en este proyecto es cómo las transformadas de Laplace de f(t)f(t) y su antiderivada están relacionadas. Supongamos que g(t)=∫0tf(u)du.g(t)=∫0tf(u)du. Entonces,
    L{g(t)}=∫0∞e−stg(t)dt=límz→∞∫0ze−stg(t)dt.L{g(t)}=∫0∞e−stg(t)dt=límz→∞∫0ze−stg(t)dt.
  5. Utilice la integración por partes para evaluar límz→∞∫0ze−stg(t)dt.límz→∞∫0ze−stg(t)dt. (Supongamos que u=g(t)u=g(t) y dv=e−stdt.dv=e−stdt. Por cierto, observe que hemos definido g(t),g(t), du=f(t)dt.)du=f(t)dt.)
     Como es de esperar, debería ver que
    L{g(t)}=1s.L{f(t)}.L{g(t)}=1s.L{f(t)}.

     La integración en el ámbito del tiempo se simplifica a la división por s en el ámbito de la frecuencia.

Sección 3.7 ejercicios

Evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, responda "divergente"

347.

∫ 2 4 d x ( x − 3 ) 2 ∫ 2 4 d x ( x − 3 ) 2

348.

∫ 0 ∞ 1 4 + x 2 d x ∫ 0 ∞ 1 4 + x 2 d x

349.

∫ 0 2 1 4 − x 2 d x ∫ 0 2 1 4 − x 2 d x

350.

∫ 1 ∞ 1 x ln x d x ∫ 1 ∞ 1 x ln x d x

351.

∫ 1 ∞ x e – x d x ∫ 1 ∞ x e – x d x

352.

∫ − ∞ ∞ x x 2 + 1 d x ∫ − ∞ ∞ x x 2 + 1 d x

353.

Sin integrar, determine si la integral ∫1∞1x3+1dx∫1∞1x3+1dx converge o diverge comparando la función f(x)=1x3+1f(x)=1x3+1 con g(x)=1x3.g(x)=1x3.

354.

Sin integrar, determine si la integral ∫1∞1x+1dx∫1∞1x+1dx converge o diverge.

Determine si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determine el valor de las integrales que convergen.

355.

∫ 0 ∞ e – x cos x d x ∫ 0 ∞ e – x cos x d x

356.

∫ 1 ∞ ln x x d x ∫ 1 ∞ ln x x d x

357.

∫ 0 1 ln x x d x ∫ 0 1 ln x x d x

358.

∫ 0 1 ln x d x ∫ 0 1 ln x d x

359.

∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x ∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x

360.

∫ 1 5 d x x – 1 ∫ 1 5 d x x – 1

361.

∫ −2 2 d x ( 1 + x ) 2 ∫ −2 2 d x ( 1 + x ) 2

362.

∫ 0 ∞ e – x d x ∫ 0 ∞ e – x d x

363.

∫ 0 ∞ sen x d x ∫ 0 ∞ sen x d x

364.

∫ − ∞ ∞ e x 1 + e 2 x d x ∫ − ∞ ∞ e x 1 + e 2 x d x

365.

∫ 0 1 d x x 3 ∫ 0 1 d x x 3

366.

∫ 0 2 d x x 3 ∫ 0 2 d x x 3

367.

∫ −1 2 d x x 3 ∫ −1 2 d x x 3

368.

∫ 0 1 d x 1 − x 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 2

369.

∫ 0 3 1 x – 1 d x ∫ 0 3 1 x – 1 d x

370.

∫ 1 ∞ 5 x 3 d x ∫ 1 ∞ 5 x 3 d x

371.

∫ 3 5 5 ( x − 4 ) 2 d x ∫ 3 5 5 ( x − 4 ) 2 d x

Determine la convergencia de cada una de las siguientes integrales por comparación con la integral dada. Si la integral converge, halle el número al que converge.

372.

∫1∞dxx2 +4x;∫1∞dxx2 +4x; compare con ∫1∞dxx2 .∫1∞dxx2 .

373.

∫1∞dxx+1;∫1∞dxx+1; compare con ∫1∞dx2 x.∫1∞dx2 x.

Evalúe las integrales. Si la integral diverge, responda "diverge".

374.

∫ 1 ∞ d x x e ∫ 1 ∞ d x x e

375.

∫ 0 1 d x x π ∫ 0 1 d x x π

376.

∫ 0 1 d x 1 − x ∫ 0 1 d x 1 − x

377.

∫ 0 1 d x 1 − x ∫ 0 1 d x 1 − x

378.

∫ − ∞ 0 d x x 2 + 1 ∫ − ∞ 0 d x x 2 + 1

379.

∫ –1 1 d x 1 − x 2 ∫ –1 1 d x 1 − x 2

380.

∫ 0 1 ln x x d x ∫ 0 1 ln x x d x

381.

∫ 0 e ln ( x ) d x ∫ 0 e ln ( x ) d x

382.

∫ 0 ∞ x e – x d x ∫ 0 ∞ x e – x d x

383.

∫ − ∞ ∞ x ( x 2 + 1 ) 2 d x ∫ − ∞ ∞ x ( x 2 + 1 ) 2 d x

384.

∫ 0 ∞ e x d x ∫ 0 ∞ e x d x

Evalúe las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita, ya sea en un punto final o en un punto interior del intervalo.

385.

∫ 0 9 d x 9 − x ∫ 0 9 d x 9 − x

386.

∫ −27 1 d x x 2 / 3 ∫ −27 1 d x x 2 / 3

387.

∫ 0 3 d x 9 − x 2 ∫ 0 3 d x 9 − x 2

388.

∫ 6 24 d t t t 2 − 36 ∫ 6 24 d t t t 2 − 36

389.

∫ 0 4 x ln ( 4 x ) d x ∫ 0 4 x ln ( 4 x ) d x

390.

∫ 0 3 x 9 − x 2 d x ∫ 0 3 x 9 − x 2 d x

391.

Evalúe ∫0,51dx1−x2 .∫0,51dx1−x2 . (¡Cuidado!) (Exprese su respuesta con tres decimales).

392.

Evalúe ∫14dxx2 –1.∫14dxx2 –1. (Exprese la respuesta en forma exacta).

393.

Evalúe ∫2 ∞dx(x2 –1)3/2 .∫2 ∞dx(x2 –1)3/2 .

394.

Halla el área de la región en el primer cuadrante entre la curva y=e−6xy=e−6x y el eje x.

395.

Halle el área de la región delimitada por la curva y=7x2 ,y=7x2 , el eje x, y a la izquierda por x=1.x=1.

396.

Halle el área bajo la curva y=1(x+1)3/2 ,y=1(x+1)3/2 , delimitada a la izquierda por x=3.x=3.

397.

Halle el área bajo y=51+x2 y=51+x2 en el primer cuadrante.

398.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo la curva y=3xy=3x de x=1x=1 a x=∞.x=∞.

399.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la región bajo la curva y=6e−2xy=6e−2x en el primer cuadrante.

400.

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x el área bajo la curva y=3e–xy=3e–x en el primer cuadrante.

La transformada de Laplace de una función continua en el intervalo [0,∞)[0,∞) se define por F(s)=∫0∞e−sxf(x)dxF(s)=∫0∞e−sxf(x)dx (vea el proyecto estudiantil). Esta definición se utiliza para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se verá más adelante. El dominio de F es el conjunto de todos los números reales s tales que la integral impropia converge. Calcule la transformada de Laplace F de cada una de las siguientes funciones e indique el dominio de F.

401.

f ( x ) = 1 f ( x ) = 1

402.

f ( x ) = x f ( x ) = x

403.

f(x)=cos(2 x)f(x)=cos(2 x) grandes.

404.

f ( x ) = e a x f ( x ) = e a x

405.

Utilice la fórmula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo x2 +y2 =1x2 +y2 =1 es 2 π.2 π.

Una función no negativa es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición ∫−∞∞f(t)dt=1.∫−∞∞f(t)dt=1. La probabilidad de que una variable aleatoria x se encuentre entre a y b está dada por P(a≤x≤b)=∫abf(t)dt.P(a≤x≤b)=∫abf(t)dt.

406.

Demuestre que f(x)={0six<07e−7xsix≥0f(x)={0six<07e−7xsix≥0 es una función de densidad de probabilidad.

407.

Calcule la probabilidad de que x esté entre 0 y 0,3. (Utilice la función definida en el problema anterior). Utilice una exactitud de cuatro decimales.