Ecuaciones separables - Cálculo volumen 2

4.3 Ecuaciones separables

Objetivos de aprendizaje

4.3.1 Utilizar la separación de variables para resolver una ecuación diferencial.
4.3.2 Resolver aplicaciones utilizando la separación de variables.

A continuación examinamos una técnica de solución para hallar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una gran variedad de disciplinas, como la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones.

Separación de variables

Comenzamos con una definición y algunos ejemplos.

Definición

Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma

y' = f (x) g (y) .

(4.3)

El término "separable" se refiere al hecho de que el lado derecho de la ecuación puede separarse en una función de $x$ veces una función de $y .$ Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales separables son

\begin{matrix} y' = (x^{2} - 4) (3 y + 2) \\ y' = 6 x^{2} + 4 x \\ y' = sec y + tan y \\ y' = x y + 3 x - 2 y - 6. \end{matrix}

La segunda ecuación es separable con $f (x) = 6 x^{2} + 4 x$ y $g (y) = 1,$ la tercera ecuación es separable con $f (x) = 1$ y $g (y) = sec y + tan y,$ y el lado derecho de la cuarta ecuación se puede factorizar como $(x - 2) (y + 3),$ por lo que también es separable. La tercera ecuación también se llama ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de $y$ sola. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Separación de variables

Compruebe si hay valores de $y$ que hacen $g (y) = 0 .$ Estos corresponden a soluciones constantes.
Reescriba la ecuación diferencial en la forma $\frac{d y}{g (y)} = f (x) d x .$
Integre ambos lados de la ecuación.
Resuelva la ecuación resultante para $y$ si es posible.
Si existe una condición inicial, sustituya los valores adecuados por $x$ como $y$ en la ecuación y resuelva la constante.

Observe que el paso 4 indica "Resolver la ecuación resultante para $y$ si es posible" No siempre es posible obtener $y$ como función explícita de $x .$ Muy a menudo tenemos que conformarnos con hallar $y$ como función implícita de $x .$

Ejemplo 4.10

Uso de la separación de variables

Halle una solución general a la ecuación diferencial $y' = (x^{2} - 4) (3 y + 2)$ utilizando el método de separación de variables.

Solución

Siga el método de separación de variables en cinco pasos.

En este ejemplo, $f (x) = x^{2} - 4$ y $g (y) = 3 y + 2 .$ Si establecemos que $g (y) = 0$ da como resultado $y = - \frac{2}{3}$ como solución constante.
Reescriba la ecuación diferencial en la forma

$\frac{d y}{3 y + 2} = (x^{2} - 4) d x .$
Integre ambos lados de la ecuación:

$\int \frac{d y}{3 y + 2} = \int (x^{2} - 4) d x .$

Supongamos que $u = 3 y + 2 .$ Entonces $d u = 3 \frac{d y}{d x} d x,$ por lo que la ecuación se convierte en

$\begin{matrix} \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u & = & \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C \\ \frac{1}{3} ln | u | & = & \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C \\ \frac{1}{3} ln | 3 y + 2 | & = & \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C . \end{matrix}$
Para resolver esta ecuación para $y,$ multiplique primero ambos lados de la ecuación por $3 .$

$ln | 3 y + 2 | = x^{3} - 12 x + 3 C$

Ahora utilizamos algo de lógica cuando tratamos con la constante $C .$ Dado que $C$ representa una constante arbitraria, $3 C$ también representa una constante arbitraria. Si llamamos a la segunda constante arbitraria $C_{1},$ la ecuación se convierte en

$ln | 3 y + 2 | = x^{3} - 12 x + C_{1} .$

Ahora potencie ambos lados de la ecuación (es decir, haga de cada lado de la ecuación el exponente de la base $e) .$

$\begin{matrix} e^{ln | 3 y + 2 |} & = & e^{x^{3} - 12 x + C_{1}} \\ | 3 y + 2 | & = & e^{C_{1}} e^{x^{3} - 12 x} \end{matrix}$

De nuevo, defina una constante nueva $C_{2} = e^{c_{1}}$ (observe que $C_{2} > 0) :$

$| 3 y + 2 | = C_{2} e^{x^{3} - 12 x} .$

Esto corresponde a dos ecuaciones distintas: $3 y + 2 = C_{2} e^{x^{3} - 12 x}$ y $3 y + 2 = − C_{2} e^{x^{3} - 12 x} .$
La solución de cualquiera de las dos ecuaciones puede escribirse en la forma $y = \frac{−2 \pm C_{2} e^{x^{3} - 12 x}}{3} .$
Dado que $C_{2} > 0,$ no importa si usamos el más o el menos, por lo que la constante puede tener cualquiera de los dos signos. Además, el subíndice de la constante $C$ es totalmente arbitrario y se puede omitir. Por lo tanto, la solución puede escribirse como

$y = \frac{−2 + C e^{x^{3} - 12 x}}{3} .$
No se impone ninguna condición inicial, por lo que hemos terminado.

Punto de control 4.10

Utilice el método de separación de variables para hallar una solución general a la ecuación diferencial $y' = 2 x y + 3 y - 4 x - 6 .$

Ejemplo 4.11

Resolución de un problema de valor inicial

Utilizando el método de separación de variables, resuelva el problema de valor inicial

y' = (2 x + 3) (y^{2} - 4), y (0) = −1 .

Solución

Siga el método de separación de variables en cinco pasos.

En este ejemplo, $f (x) = 2 x + 3$ y $g (y) = y^{2} - 4 .$ Si establecemos que $g (y) = 0$ da como resultado $y = \pm 2$ como soluciones constantes.
Divida ambos lados de la ecuación entre $y^{2} - 4$ y multiplique por $d x .$ Esto da la ecuación

$\frac{d y}{y^{2} - 4} = (2 x + 3) d x .$
A continuación, integre ambos lados:

$\int \frac{1}{y^{2} - 4} d y = \int (2 x + 3) d x .$
(4.4)

Para evaluar el lado izquierdo, utilice el método de descomposición en fracciones parciales. Esto nos lleva a la identidad

$\frac{1}{y^{2} - 4} = \frac{1}{4} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2}) .$

Entonces la Ecuación 4.4 se convierte en

$\begin{matrix} \frac{1}{4} \int (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2}) d y & = & \int (2 x + 3) d x \\ \frac{1}{4} (ln | y - 2 | - ln | y + 2 |) & = & x^{2} + 3 x + C . \end{matrix}$

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $4$ y sustituyendo $4 C$ con $C_{1}$ da

$\begin{matrix} ln | y - 2 | - ln | y + 2 | & = & 4 x^{2} + 12 x + C_{1} \\ ln | \frac{y - 2}{y + 2} | & = & 4 x^{2} + 12 x + C_{1} . \end{matrix}$
Es posible resolver esta ecuación para y. Primero potencie ambos lados de la ecuación y defina $C_{2} = e^{C_{1}} :$

$| \frac{y - 2}{y + 2} | = C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x} .$

A continuación podemos eliminar el valor absoluto y suponer que $C_{2}$ es positivo o negativo. A continuación, multiplique ambos lados por $y + 2 .$

$\begin{matrix} y - 2 = C_{2} (y + 2) e^{4 x^{2} + 12 x} \\ y - 2 = C_{2} y e^{^{4 x^{2} + 12 x}} + 2 C_{2} e^{^{4 x^{2} + 12 x}} . \end{matrix}$

Ahora reúna todos los términos que involucren a y en un lado de la ecuación y resuelva para $y :$

$\begin{matrix} y - C_{2} y e^{4 x^{2} + 12 x} & = & 2 + 2 C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x} \\ y (1 - C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x}) & = & 2 + 2 C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x} \\ y & = & \frac{2 + 2 C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x}}{1 - C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x}} . \end{matrix}$
Para determinar el valor de $C_{2},$ sustituya $x = 0$ y $y = −1$ en la solución general. Alternativamente, podemos poner los mismos valores en una ecuación anterior, es decir, la ecuación $\frac{y - 2}{y + 2} = C_{2} e^{4 x^{2} + 12} .$ Esto es mucho más fácil de resolver para $C_{2} :$

$\begin{matrix} \frac{y - 2}{y + 2} & = & C_{2} e^{4 x^{2} + 12 x} \\ \frac{−1 - 2}{−1 + 2} & = & C_{2} e^{4 {(0)}^{2} + 12 (0)} \\ C_{2} & = & −3 . \end{matrix}$

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

$y = \frac{2 - 6 e^{4 x^{2} + 12 x}}{1 + 3 e^{4 x^{2} + 12 x}} .$

Un gráfico de esta solución aparece en la Figura 4.15.

Figura 4.15 Gráfico de la solución del problema de valor inicial $y' = (2 x + 3) (y^{2} - 4), y (0) = −1 .$

Punto de control 4.11

Halle la solución del problema de valor inicial

6 y' = (2 x + 1) (y^{2} - 2 y - 8), y (0) = −3

utilizando el método de separación de variables.

Aplicaciones de la separación de variables

Muchos problemas interesantes pueden describirse mediante ecuaciones separables. Ilustramos dos tipos de problemas: las concentraciones de soluciones y la ley de Newton del enfriamiento.

Concentraciones de soluciones

Considere un tanque que se llena con una solución salina. Queremos determinar la cantidad de sal presente en el tanque en función del tiempo. Podemos aplicar el proceso de separación de variables para resolver este problema y otros similares que impliquen concentraciones de soluciones.

Ejemplo 4.12

Determinación de la concentración de sal en el tiempo

Un tanque que contiene $100 L$ de una solución de salmuera tiene inicialmente $4 kg$ de sal disuelta en la solución. En el tiempo $t = 0,$ otra solución de salmuera fluye hacia el tanque a una tasa de $2 L/min .$ Esta solución de salmuera contiene una concentración de $0,5 kg/L$ de sal. Al mismo tiempo, se abre una llave de paso en el fondo del tanque, lo que permite que la solución combinada salga a una tasa de $2 L/min,$ para que el nivel de líquido en el depósito se mantenga constante (Figura 4.16). Calcule la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo (medido en minutos) y la cantidad límite de sal en el tanque, suponiendo que la solución en el tanque está bien mezclada en todo momento.

Un diagrama de un cilindro lleno de agua con entrada y salida. Se trata de un depósito de 100 litros que contiene inicialmente 4 kg de sal. La entrada es de 0,5 kg de sal/litro y 2 litros/minuto. La salida es de 2 litros/minuto.

Figura 4.16 Un tanque de salmuera con una cantidad inicial de solución salina admite un flujo de entrada y emite un flujo de salida. ¿Cómo cambia la cantidad de sal con el tiempo?

Solución

Primero definimos una función $u (t)$ que representa la cantidad de sal en kilogramos en el tanque en función del tiempo. Entonces $\frac{d u}{d t}$ representa la tasa a la que cambia la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo. También, $u (0)$ representa la cantidad de sal en el tanque en el tiempo $t = 0,$ que es $4$ kilogramos.

El planteamiento general de la ecuación diferencial que vamos a resolver es de la forma

\frac{d u}{d t} = TASA DE FLUJO DE ENTRADA - TASA DE FLUJO DE SALIDA .

(4.5)

La TASA DE FLUJO DE ENTRADA representa la tasa a la que la sal entra en el tanque y la TASA DE FLUJO DE SALIDA representa la tasa a la que la sal sale del tanque. Debido a que la solución entra en el tanque a una tasa de $2$ L/min, y cada litro de solución contiene $0,5$ kilo de sal, cada minuto $2 (0,5) = 1 kilo$ de sal entra en el tanque. Por lo tanto, la TASA DE FLUJO DE ENTRADA = $1 .$

Para calcular la tasa a la que la sal sale del tanque, necesitamos la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo. Dado que la cantidad real de sal varía con el tiempo, también lo hace la concentración de sal. Sin embargo, el volumen de la solución se mantiene fijo en 100 litros. El número de kilogramos de sal en el tanque en el tiempo $t$ es igual a $u (t) .$ Así, la concentración de sal es $\frac{u (t)}{100}$ kg/L, y la solución sale del tanque a una tasa de $2$ L/min. Por lo tanto, la sal sale del tanque a una tasa de $\frac{u (t)}{100} . 2 = \frac{u (t)}{50}$ kg/min, y la TASA DE FLUJO DE SALIDA es igual a $\frac{u (t)}{50} .$ Por lo tanto, la ecuación diferencial se convierte en $\frac{d u}{d t} = 1 - \frac{u}{50},$ y la condición inicial es $u (0) = 4 .$ El problema de valor inicial a resolver es

\frac{d u}{d t} = 1 - \frac{u}{50}, u (0) = 4 .

La ecuación diferencial es una ecuación separable, por lo que podemos aplicar la estrategia de cinco pasos para la solución.

Paso 1. Si establecemos que $1 - \frac{u}{50} = 0$ da como resultado $u = 50$ como solución constante. Dado que la cantidad inicial de sal en el tanque es $4$ kilogramos, esta solución no se aplica.

Paso 2. Reescriba la ecuación como

\frac{d u}{d t} = \frac{50 - u}{50} .

A continuación, multiplique ambos lados por $d t$ y divida ambos lados entre $50 - u :$

\frac{d u}{50 - u} = \frac{d t}{50} .

Paso 3. Integre ambos lados:

\begin{matrix} \int \frac{d u}{50 - u} & = & \int \frac{d t}{50} \\ - ln | 50 - u | & = & \frac{t}{50} + C . \end{matrix}

Paso 4. Resuelva para $u (t) :$

\begin{matrix} ln | 50 - u | & = & - \frac{t}{50} - C \\ e^{ln | 50 - u |} & = & e^{− (t / 50) - C} \\ | 50 - u | & = & C_{1} e^{− t / 50} . \end{matrix}

Elimine el valor absoluto permitiendo que la constante sea positiva o negativa:

50 - u = C_{1} e^{− t / 50} .

Por último, resuelva para $u (t) :$

u (t) = 50 - C_{1} e^{− t / 50} .

Paso 5. Resuelva para $C_{1} :$

\begin{matrix} u (0) & = & 50 - C_{1} e^{−0 / 50} \\ 4 & = & 50 - C_{1} \\ C_{1} & = & 46 . \end{matrix}

La solución del problema de valor inicial es $u (t) = 50 - 46 e^{− t / 50} .$ Para calcular la cantidad límite de sal en el tanque, tome el límite como $t$ se acerca al infinito:

\begin{matrix} \underset{t \to \infty}{lím} u (t) & = 50 - 46 e^{− t / 50} \\ = 50 - 46 (0) \\ = 50 . \end{matrix}

Observe que esta era la solución constante de la ecuación diferencial. Si la cantidad inicial de sal en el tanque es $50$ kilogramos, entonces se mantiene constante. Si comienza con menos de 50 kilogramos, con el tiempo se acerca a los 50 kilogramos.

Punto de control 4.12

Un tanque contiene $3$ kilogramos de sal disuelta en $75$ litros de agua. Una solución salina de $0,4 kg de sal/L$ se bombea al tanque a una tasa de $6 L/min$ y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo $t .$ Suponga que el tanque está bien mezclado en todo momento.

Ley del enfriamiento de Newton

La ley del enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura ambiente (es decir, la temperatura de su entorno). Supongamos que $T (t)$ representa la temperatura de un objeto en función del tiempo, entonces $\frac{d T}{d t}$ representa la tasa a la que cambia esa temperatura. La temperatura del entorno del objeto puede representarse mediante $T_{s} .$ Entonces la ley del enfriamiento de Newton se puede escribir en la forma

\frac{d T}{d t} = k (T (t) - T_{s})

o simplemente

\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s}) .

(4.6)

La temperatura del objeto al comienzo de cualquier experimento es el valor inicial del problema de valor inicial. Llamamos a esta temperatura $T_{0} .$ Por tanto, el problema de valor inicial que hay que resolver tiene la forma

\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s}), T (0) = T_{0},

(4.7)

donde $k$ es una constante que debe se debe dar o determinar en el contexto del problema. Utilizamos estas ecuaciones en el Ejemplo 4.13.

Ejemplo 4.13

Esperar a que se enfríe una pizza

Se saca una pizza del horno después de hornearla bien y su temperatura al salir del horno es $350 ° F .$ La temperatura de la cocina es $75 ° F,$ y después de $5$ minutos la temperatura de la pizza es $340 ° F .$ Nos gustaría esperar hasta que la temperatura de la pizza alcance $300 ° F$ antes de cortarla y servirla (Figura 4.17). ¿Cuánto tiempo más tendremos que esperar?

Un diagrama de una pizza. La temperatura ambiente es de 75 grados y la temperatura de la pizza es de 350 grados.

Figura 4.17 Por la ley del enfriamiento de Newton, si la pizza se enfría

10 ° F

5

minutos, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se enfríe a

300 ° F?

Solución

La temperatura ambiente (temperatura del entorno) es $75 ° F,$ así que $T_{s} = 75 .$ La temperatura de la pizza al salir del horno es $350 ° F,$ la cual es la temperatura inicial (es decir, el valor inicial), por lo que $T_{0} = 350 .$ Por lo tanto, la Ecuación 4.4 se convierte en

\frac{d T}{d t} = k (T - 75), T (0) = 350 .

Para resolver la ecuación diferencial, utilizamos la técnica de cinco pasos para resolver ecuaciones separables.

Si el lado derecho es igual a cero, se obtiene $T = 75$ como solución constante. Como la pizza empieza en $350 ° F,$ esta no es la solución que buscamos.
Reescriba la ecuación diferencial multiplicando ambos lados por $d t$ y dividiendo ambos lados entre $T - 75 :$

$\frac{d T}{T - 75} = k d t .$
Integre ambos lados:

$\begin{matrix} \int \frac{d T}{T - 75} & = & \int k d t \\ ln | T - 75 | & = & k t + C . \end{matrix}$
Resuelva para $T$ potenciando primero ambos lados:

$\begin{matrix} e^{ln | T - 75 |} & = & e^{k t + C} \\ | T - 75 | & = & C_{1} e^{k t} \\ T - 75 & = & C_{1} e^{k t} \\ T (t) & = & 75 + C_{1} e^{k t} . \end{matrix}$
Resuelva para $C_{1}$ utilizando la condición inicial $T (0) = 350 :$

$\begin{matrix} T (t) & = & 75 + C_{1} e^{k t} \\ T (0) & = & 75 + C_{1} e^{k (0)} \\ 350 & = & 75 + C_{1} \\ C_{1} & = & 275 . \end{matrix}$

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

$T (t) = 75 + 275 e^{k t} .$

Para determinar el valor de $k,$ tenemos que utilizar el hecho de que después de $5$ minutos la temperatura de la pizza es $340 ° F .$ Por lo tanto $T (5) = 340 .$ Sustituyendo esta información en la solución del problema de valor inicial, tenemos

$\begin{matrix} T (t) & = & 75 + 275 e^{k t} \\ T (5) & = & 340 = 75 + 275 e^{5 k} \\ 265 & = & 275 e^{5 k} \\ e^{5 k} & = & \frac{53}{55} \\ ln e^{5 k} & = & ln (\frac{53}{55}) \\ 5 k & = & ln (\frac{53}{55}) \\ k & = & \frac{1}{5} ln (\frac{53}{55}) \approx - 0,007408. \\ 0,007408 t \end{matrix}$

Así que ahora tenemos $T (t) = 75 + 275 e .$ ¿Cuándo es la temperatura $300 ° F?$ Si resolvemos para $t,$ tenemos

$\begin{matrix} T (t) & = & 75 + 275 e^{- 0.007408 t} \\ 300 & = & 75 + 275 e^{- 0.007408 t} \\ 225 & = & 275 e^{- 0.007408 t} \\ e^{- 0.007408 t} & = & \frac{9}{11} \\ ln e^{- 0.007408 t} & = & ln \frac{9}{11} \\ - 0.007408 t & = & ln \frac{9}{11} \\ t & = & - \frac{1}{0.007408} ln \frac{9}{11} \approx 27.1 . \end{matrix}$

Por lo tanto, tenemos que esperar $22,1$ minutos adicionales (después de que la temperatura de la pizza alcance $340 ° F) .$ Eso debería ser el tiempo suficiente para terminar este cálculo.

Punto de control 4.13

Se retira un pastel del horno después de hornearlo completamente y la temperatura del pastel cuando sale del horno es $450 ° F .$ La temperatura de la cocina es $70 ° F,$ y después de $10$ minutos la temperatura del pastel es $330 ° F .$

Escriba el problema de valor inicial correspondiente para describir esta situación.
Resuelva el problema de valor inicial para $T (t) .$
¿Cuánto tiempo pasará hasta que la temperatura del pastel tenga una diferencia menor que $5 ° F$ de la temperatura ambiente?

Sección 4.3 ejercicios

Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial $y_{0} = 0$ y grafique la solución.

119.

$\frac{d y}{d t} = y + 1$

120.

$\frac{d y}{d t} = y - 1$

121.

$\frac{d y}{d t} = y + 1$

122.

$\frac{d y}{d t} = − y - 1$

Halle la solución general de la ecuación diferencial.

123.

$x^{2} y' = (x + 1) y$

124.

$y' = tan (y) x$

125.

$y' = 2 x y^{2}$

126.

$\frac{d y}{d t} = y cos (3 t + 2)$ grandes.

127.

$2 x \frac{d y}{d x} = y^{2}$

128.

$y' = e^{y} x^{2}$

129.

$(1 + x) y' = (x + 2) (y - 1)$ grandes.

130.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x^{2} + 4)$ grandes.

131.

$t \frac{d y}{d t} = \sqrt{1 - y^{2}}$

132.

$y' = e^{x} e^{y}$

Halle la solución del problema de valor inicial.

133.

$y' = e^{y - x}, y (0) = 0$

134.

$y' = y^{2} (x + 1), y (0) = 2$

135.

$\frac{d y}{d x} = y^{3} x e^{x^{2}}, y (0) = 1$

136.

$\frac{d y}{d t} = y^{2} e^{x} sen (3 x), y (0) = 1$

137.

$y' = \frac{x}{{sech}^{2} y}, y (0) = 0$

138.

$y' = 2 x y (1 + 2 y), y (0) = –1$

139.

$\frac{d x}{d t} = ln (t) \sqrt{1 - x^{2}}, x (1) = 0$

140.

$y' = 3 x^{2} (y^{2} + 4), y (0) = 0$

141.

$y' = e^{y} 5^{x}, y (0) = ln (ln (5))$ grandes.

142.

$y' = –2 x tan (y), y (0) = \frac{π}{2}$

Para los siguientes problemas, utilice un programa de computadora o su calculadora para generar los campos de direcciones. Resuelva de manera explícita y dibuje las curvas de solución para varias condiciones iniciales. ¿Existen algunas condiciones iniciales críticas que cambien el comportamiento de la solución?

143.

[T] $y' = 1 - 2 y$

144.

[T] $y' = y^{2} x^{3}$

145.

[T] $y' = y^{3} e^{x}$

146.

[T] $y' = e^{y}$

147.

[T] $y' = y ln (x)$ grandes.

148.

La mayoría de los fármacos en el torrente sanguíneo se descomponen según la ecuación $y' = c y,$ donde $y$ es la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo. Si la vida media de un fármaco es de $2$ horas, ¿qué fracción de la dosis inicial queda después de $6$ ¿horas?

149.

Un medicamento se administra por vía intravenosa a un paciente a una tasa de $r$ mg/h y se elimina del organismo a una tasa proporcional a la cantidad de fármaco aún presente en el cuerpo, $d$ Plantee y resuelva la ecuación diferencial, suponiendo que no hay ningún fármaco inicialmente presente en el cuerpo.

150.

[T] ¿Con qué frecuencia debe tomarse un medicamento si su dosis es $3$ mg, se elimina a una tasa de $c = 0,1$ mg/h y $1$ mg es necesario que esté en el torrente sanguíneo en todo momento?

151.

Un tanque contiene $1$ kilogramo de sal disuelta en $100$ litros de agua. Una solución salina de $0,1$ kg de sal/L se bombea en el tanque a una tasa de $2$ L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo $t .$ Supongamos que el tanque está bien mezclado.

152.

Un tanque que contiene $10$ kilogramos de sal disuelta en $1.000$ litros de agua se le bombean dos soluciones salinas. La primera solución de $0,2$ kg de sal/L se bombea a una tasa de $20$ L/min y la segunda solución de $0,05$ kg de sal/L se bombea a una tasa de $5$ L/min. El tanque drena a $25$ L/min. Supongamos que el tanque está bien mezclado. Calcule la concentración de sal en el tiempo $t .$

153.

[T] Para el problema anterior, calcule la cantidad de sal que hay en el tanque $1$ hora después del inicio del proceso.

154.

La ley de Torricelli establece que para un tanque de agua con un agujero en el fondo que tiene una sección transversal de $A$ y con una altura de agua $h$ por encima del fondo del tanque, la tasa de cambio del volumen de agua que fluye del tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua, según $\frac{d V}{d t} = − A \sqrt{2 g h},$ donde $g$ es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que $\frac{d V}{d t} = A \frac{d h}{d t} .$ Resuelva el problema de valor inicial resultante para la altura del agua, suponiendo que el tanque tiene un agujero de radio $2$ pies. La altura inicial del agua es $100$ pies.

155.

Para el problema anterior, determine el tiempo que tarda el tanque en vaciarse.

Para los siguientes problemas, utilice la ley del enfriamiento de Newton.

156.

La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de $200 ° F$ antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de $0 ° F .$ Después de $1$ hora, la temperatura de la base del helado ha disminuido a $140 ° F .$ Formule y resuelva el problema de valor inicial para determinar la temperatura del helado.

157.

[T] La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de $210 ° F$ antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de $20 ° F .$ Después de $2$ horas, la temperatura de la base del helado ha disminuido a $170 ° F .$ ¿A qué hora estará listo el helado para comerlo? (Supongamos que $30 ° F$ es la temperatura óptima para comerlo).

158.

[T] Está organizando una fiesta de helados. La temperatura exterior es $80 ° F$ y el helado está a $10 ° F .$ Después de $10$ minutos, la temperatura del helado ha aumentado $10 ° F .$ ¿Cuánto tiempo más puede esperar antes de que el helado se derrita a $40 ° F?$

159.

Tiene una taza de café a una temperatura de $70 ° C$ y la temperatura ambiente en la habitación es $20 ° C .$ Si suponemos una tasa de enfriamiento $k de 0,125,$ escriba y resuelva la ecuación diferencial para describir la temperatura del café con respecto al tiempo.

160.

[T] Tiene una taza de café a una temperatura de $70 ° C$ que coloca en el exterior, donde la temperatura ambiente es $0 ° C .$ Después de $5$ minutos, ¿cuánto se ha enfriado el café?

161.

Tiene una taza de café a una temperatura de $70 ° C$ y vierte inmediatamente $1$ porción de leche por $5$ porciones de café. La leche está inicialmente a una temperatura de $1 ° C .$ Escriba y resuelva la ecuación diferencial que determina la temperatura de este café.

162.

Tiene una taza de café a una temperatura de $70 ° C,$ que deja enfriar $10$ minutos antes de verter la misma cantidad de leche a $1 ° C$ como en el problema anterior. ¿Cómo se compara la temperatura con la taza anterior después de $10$ minutos?

163.

Resuelva el problema genérico $y' = a y + b$ con condición inicial $y (0) = c .$

164.

Demuestre la ecuación básica de interés compuesto continuo. Si suponemos un depósito inicial de $P_{0}$ y una tasa de interés de $r,$ plantee y resuelva una ecuación para el interés compuesto continuo.

165.

Supongamos una cantidad inicial de nutrientes de $I$ kilogramos en un tanque con $L$ litros. Supongamos una concentración de $c$ kg/L que se bombea a una tasa de $r$ L/min. El tanque está bien mezclado y se vacía a una tasa de $r$ L/min. Halle la ecuación que describe la cantidad de nutrientes en el tanque.

166.

Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de $2$ g/cm²/año y también se descomponen a una tasa de $90 %$ por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal, suponiendo que en el tiempo $0$ no hay hojarasca en el suelo. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor?

167.

Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de $4$ g/cm²/año. Estas hojas se descomponen a una tasa de $10 %$ por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor?