Capítulo 1

a. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. b. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. c. Son iguales sustituyendo $j = i - 1 .$ d. Son iguales; la primera suma factoriza los términos de la segunda.

$385 - 30 = 355$

$15 - (−12) = 27$

$5 (15) + 4 (−12) = 27$

$\sum_{j = 1}^{50} j^{2} - 2 \sum_{j = 1}^{50} j = \frac{(50) (51) (101)}{6} - \frac{2 (50) (51)}{2} = 40, 375$

11.

$4 \sum_{k = 1}^{25} k^{2} - 100 \sum_{k = 1}^{25} k = \frac{4 (25) (26) (51)}{6} - 50 (25) (26) = −10, 400$

13.

$R_{4} = −0,25$

15.

$R_{6} = 0,372$

17.

$L_{4} = 2,20$

19.

$L_{8} = 0,6875$

21.

$L_{6} = 9,000 = R_{6} .$ El gráfico de f es un triángulo de área 9.

23.

$L_{6} = 13,12899 = R_{6} .$ Son iguales.

25.

$L_{10} = \frac{4}{10} \sum_{i = 1}^{10} \sqrt{4 - (−2 + 4 \frac{(i - 1)}{10})^{2}}$

27.

$R_{100} = \frac{e - 1}{100} \sum_{i = 1}^{100} ln (1 + (e - 1) \frac{i}{100})$

29.

Gráfico de la función dada en el intervalo [0, 1]. Se establece para una aproximación del extremo izquierdo y es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual, pero este comportamiento persiste para más rectángulos.

$R_{100} = 0,33835, L_{100} = 0,32835 .$ El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos.

31.

Gráfico de la función dada sobre [-1,1] que se establece para una aproximación del extremo izquierdo. Es una subestimación ya que la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual, pero este comportamiento persiste para más rectángulos.

$L_{100} = −0,02, R_{100} = 0,02 .$ La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, una aproximación al extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones de los puntos finales izquierdo y derecho.

33.

Gráfico de la función dada sobre el intervalo de -1 a 1 establecida para una aproximación del extremo izquierdo. Es una subestimación ya que la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual, pero este comportamiento persiste para más rectángulos.

$L_{100} = 3,555, R_{100} = 3,670 .$ El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos.

35.

La suma representa las precipitaciones acumuladas en enero de 2009.

37.

El kilometraje total es $7 \times \sum_{i = 1}^{25} (1 + \frac{(i - 1)}{10}) = 7 \times 25 + \frac{7}{10} \times 12 \times 25 = 385 mi .$

39.

Sume los números para obtener un aumento neto de 8,1 in.

41.

309.389.957

43.

$L_{8} = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24$

45.

$L_{8} = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44$

47.

$L_{10} \approx 1,7604, L_{30} \approx 1,7625, L_{50} \approx 1,76265$

49.

$R_{1} = −1, L_{1} = 1, R_{10} = −0,1, L_{10} = 0,1, L_{100} = 0,01,$ y $R_{100} = −0,1 .$ Por simetría del gráfico, el área exacta es cero.

51.

$R_{1} = 0, L_{1} = 0, R_{10} = 2,4499, L_{10} = 2,4499, R_{100} = 2,1365, L_{100} = 2,1365$

53.

Si $[c, d]$ es un subintervalo de $[a, b]$ bajo uno de los rectángulos de la suma del punto del extremo izquierdo, entonces el área del rectángulo que contribuye a la estimación del punto del extremo izquierdo es $f (c) (d - c) .$ Pero, $f (c) \leq f (x)$ por $c \leq x \leq d,$ por lo que el área bajo el gráfico de f entre c y d es $f (c) (d - c)$ más el área por debajo del gráfico de f pero por encima del segmento de línea horizontal a la altura $f (c),$ que es positivo. Como esto se cumple en cada intervalo de suma del extremo izquierdo, se deduce que la suma de Riemann izquierda es menor o igual que el área bajo el gráfico de f en $[a, b] .$

55.

$L_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i - 1}{N}) = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} f (a + (b - a) \frac{i}{N})$ y $R_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i}{N}) .$ La suma de la izquierda tiene un término correspondiente a $i = 0$ y la suma de la derecha tiene un término correspondiente a $i = N .$ En $R_{N} - L_{N},$ cualquier término correspondiente a $i = 1, 2,…, N - 1$ aparece una vez con el signo más y otra con el signo menos, por lo que cada uno de estos términos se anula y uno queda $R_{N} - L_{N} = \frac{b - a}{N} (f (a + (b - a)) \frac{N}{N}) - (f (a) + (b - a) \frac{0}{N}) = \frac{b - a}{N} (f (b) - f (a)) .$

57.

Gráfico 1: a. $L (A) = 0, B (A) = 20;$ b. $U (A) = 20 .$ Gráfico 2: a. $L (A) = 9;$ b. $B (A) = 11, U (A) = 20 .$ Gráfico 3: a. $L (A) = 11,0;$ b. $B (A) = 4,5, U (A) = 15,5 .$

59.

Supongamos que A es el área del círculo unitario. El círculo encierra n triángulos congruentes de área $\frac{sen (\frac{2 π}{n})}{2},$ por lo que $\frac{n}{2} sen (\frac{2 π}{n}) \leq A .$ De la misma manera, el círculo está contenido en n triángulos congruentes de área $\frac{B H}{2} = \frac{1}{2} (cos (\frac{π}{n}) + sen (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n})) sen (\frac{2 π}{n}),$ por lo que $A \leq \frac{n}{2} sen (\frac{2 π}{n}) (cos (\frac{π}{n})) + sen (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n}) .$ A medida que $n \to \infty, \frac{n}{2} sen (\frac{2 π}{n}) = \frac{π sen (\frac{2 π}{n})}{(\frac{2 π}{n})} \to π,$ por lo que concluimos $π \leq A .$ Además, como $n \to \infty, cos (\frac{π}{n}) + sen (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n}) \to 1,$ por lo que también tenemos $A \leq π .$ Por el teorema del emparedado para los límites, concluimos que $A = π .$

Sección 1.2 ejercicios

61.

$\int_{0}^{2} (5 x^{2} - 3 x^{3}) d x$

63.

$\int_{0}^{1} {cos}^{2} (2 π x) d x$

65.

$\int_{0}^{1} x d x$

67.

$\int_{3}^{6} x d x$

69.

$\int_{1}^{2} x log (x^{2}) d x$

71.

$1 + 2.2 + 3.3 = 14$

73.

$1 - 4 + 9 = 6$

75.

$1 - 2 π + 9 = 10 - 2 π$

77.

La integral es el área del triángulo, $\frac{1}{2}$

79.

La integral es el área del triángulo, 9.

81.

La integral es el área $\frac{1}{2} π r^{2} = 2 π .$

83.

La integral es el área del triángulo "grande" menos el triángulo "perdido", $9 - \frac{1}{2} .$

85.

$L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21, R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22, \frac{L + R}{2} = 21,5$

87.

$L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10, R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10, \frac{L + R}{2} = 10$

89.

$\int_{2}^{4} f (x) d x + \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 - 3 = 5$

91.

$\int_{2}^{4} f (x) d x - \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 + 3 = 11$

93.

$4 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x = 32 + 9 = 41$

95.

El integrando es impar; la integral es cero.

97.

El integrando es antisimétrico con respecto a $x = 3 .$ La integral es cero.

99.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

101.

$\int_{0}^{1} (1 - 6 x + 12 x^{2} - 8 x^{3}) d x = (x - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{4}) = (1 - 3 + 4 - 2) (0 - 0 + 0 - 0) = 0$

103.

$7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}$

105.

El integrando es negativo sobre $[−2, 3] .$

107.

$x \leq x^{2}$ en $[1, 2],$ así que $\sqrt{1 + x} \leq \sqrt{1 + x^{2}}$ en $[1, 2] .$

109.

$cos (t) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad.

111.

$f_{ave} = 0; c = 0$

113.

$\frac{3}{2}$ cuando $c = \pm \frac{3}{2}$

115.

$f_{ave} = 0; c = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

117.

$L_{100} = 1,294, R_{100} = 1,301;$ el promedio exacto está entre estos valores.

119.

$L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0,5178, R_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0,5294$

121.

$L_{1} = 0, L_{10} \times (\frac{1}{2}) = 8,743493, L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 12,861728 .$ La respuesta exacta $\approx 26,799,$ por lo que L₁₀₀ no es exacta.

123.

$L_{1} \times (\frac{1}{π}) = 1,352, L_{10} \times (\frac{1}{π}) = −0,1837, L_{100} \times (\frac{1}{π}) = −0,2956 .$ La respuesta exacta $\approx - 0,303,$ por lo que L₁₀₀ no es exacto en el primer decimal.

125.

Utilice la sustitución en ${tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .$ Entonces, $B - A = \int_{− π / 4}^{π / 4} 1 d x = \frac{π}{2} .$

127.

$\int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t = π,$ así que divida por la longitud 2π del intervalo. ${cos}^{2} t$ tiene periodo π, así que es cierto.

129.

La integral se maximiza cuando se utiliza el mayor intervalo en el que p es no negativo. Así, $A = \frac{− b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ y $B = \frac{− b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

131.

Si los valores de $f (t_{0}) > g (t_{0})$ para algunos $t_{0} \in [a, b],$ entonces ya que $f - g$ es continua, existe un intervalo que contiene t₀ tal que $f (t) > g (t)$ en el intervalo $[c, d],$ y luego $\int_{d}^{d} f (t) d t > \int_{c}^{d} g (t) d t$ en este intervalo.

133.

La integral de f sobre un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Así, $\begin{matrix} \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} f (t) d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} f (t) d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} 1 d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} 1 d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} 1 d t \\ = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + ⋯ + (a_{N} - a_{N - 1}) = a_{N} - a_{0} = b - a . \end{matrix}$ Al dividir entre $b - a$ resulta la identidad deseada.

135.

$\int_{0}^{N} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} \int_{i - 1}^{i} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6}$

137.

$L_{10} = 1,815, R_{10} = 1,515, \frac{L_{10} + R_{10}}{2} = 1,665,$ para que la estimación sea precisa con dos decimales.

139.

El promedio es $1 / 2,$ que en este caso es igual a la integral.

141.

a. El gráfico es antisimétrico con respecto a $t = \frac{1}{2}$ en $[0, 1],$ para que el valor promedio sea cero. b. Para cualquier valor de a, el gráfico entre $[a, a + 1]$ es un desplazamiento del gráfico sobre $[0, 1],$ para que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambien y el promedio siga siendo cero.

143.

Sí, la integral sobre cualquier intervalo de longitud 1 es la misma.

Sección 1.3 ejercicios

145.

Sí. Está implícito en el teorema del valor medio de las integrales.

147.

$F^{'} (2) = −1;$ valor promedio de $F^{′}$ en $[1, 2]$ ¿es $−1 / 2 .$

149.

$e^{cos x}$

151.

$\frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

153.

$\sqrt{x} \frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2}$

155.

$− \sqrt{1 - {cos}^{2} x} \frac{d}{d x} cos x = | sen x | sen x$

157.

$2 x \frac{| x |}{1 + x^{2}}$

159.

$ln (e^{2 x}) \frac{d}{d x} e^{x} = 2 x e^{x}$

161.

a. f es positiva en $(1, 2)$ y $(5, 6),$ negativo en $(0, 1)$ y $(3, 4),$ y cero en $(2, 3)$ y $(4, 5) .$ b. El valor máximo es 2 y el mínimo es -3. c. El valor medio es 0.

163.

a. ℓ es positivo en $(0, 1)$ y $(3, 6),$ y negativo en $(1, 3) .$ b. Aumenta en $(0, 1)$ y $(3, 5),$ y es constante a lo largo de $(1, 3)$ y $(5, 6) .$ c. Su valor medio es $\frac{1}{3} .$

165.

$T_{10} = 49,08, \int_{−4}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + x - 5) d x = 48$

167.

$T_{10} = 260,836, \int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x^{2}) d x = 260$

169.

$T_{10} = 3,058, \int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x = 3$

171.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x, F (3) - F (−2) = - \frac{35}{6}$

173.

$F (x) = - \frac{t^{5}}{5} + \frac{13 t^{3}}{3} - 36 t, F (3) - F (2) = \frac{62}{15}$

175.

$F (x) = \frac{x^{100}}{100}, F (1) - F (0) = \frac{1}{100}$

177.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}, F (4) - F (\frac{1}{4}) = \frac{1125}{64}$

179.

$F (x) = \sqrt{x}, F (4) - F (1) = 1$

181.

$F (x) = \frac{4}{3} t^{3 / 4}, F (16) - F (1) = \frac{28}{3}$

183.

$F (x) = − cos x, F (\frac{π}{2}) - F (0) = 1$

185.

$F (x) = sec x, F (\frac{π}{4}) - F (0) = \sqrt{2} - 1$

187.

$F (x) = − cot (x), F (\frac{π}{2}) - F (\frac{π}{4}) = 1$

189.

$F (x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x^{2}}, F (–1) - F (−2) = \frac{7}{8}$

191.

$F (x) = e^{x} - e$

193.

$F (x) = 0$

195.

$\int_{−2}^{−1} (t^{2} - 2 t - 3) d t - \int_{–1}^{3} (t^{2} - 2 t - 3) d t + \int_{3}^{4} (t^{2} - 2 t - 3) d t = \frac{46}{3}$

197.

$− \int_{− π / 2}^{0} sen t d t + \int_{0}^{π / 2} sen t d t = 2$

199.

a. El promedio es $11,21 \times 10^{9}$ dado que $cos (\frac{π t}{6})$ tiene periodo 12 e integral 0 en cualquier periodo. El consumo es igual al promedio cuando $cos (\frac{π t}{6}) = 0,$ cuando $t = 3,$ y cuando $t = 9 .$ b. El consumo total es la tasa promedio por la duración: $11,21 \times 12 \times 10^{9} = 1,35 \times 10^{11}$ c. $10^{9} (11,21 - \frac{1}{6} \int_{3}^{9} cos (\frac{π t}{6}) d t) = 10^{9} (11,21 + \frac{2}{π}) = 11,84 x 10^{9}$

201.

Si f no es constante, su promedio es estrictamente menor que el máximo y mayor que el mínimo, que se alcanzan sobre $[a, b]$ según el teorema del valor extremo.

203.

a. $d^{2} θ = {(a cos θ + c)}^{2} + b^{2} {sen}^{2} θ = a^{2} + c^{2} {cos}^{2} θ + 2 a c cos θ = {(a + c cos θ)}^{2};$ b. $\bar{d} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (a + 2 c cos θ) d θ = a$

205.

Fuerza gravitacional media = $\frac{G m M}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(a + 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} cos θ)}^{2}} d θ .$

Sección 1.4 ejercicios

207.

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x = \int x^{1 / 2} d x - \int x^{−1 / 2} d x = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C_{1} - 2 x^{1 / 2} + C_{2} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} - 2 x^{1 / 2} + C$

209.

$\int \frac{d x}{2 x} = \frac{1}{2} ln | x | + C$

211.

$\int_{0}^{π} sen x d x - \int_{0}^{π} cos x d x = − cos x |_{0}^{π} - (sen x) |_{0}^{π} = (− (–1) + 1) - (0 - 0) = 2$

213.

$P (s) = 4 s,$ así que $\frac{d P}{d s} = 4$ y $\int_{2}^{4} 4 d s = 8 .$

215.

$\int_{1}^{2} N d s = N$

217.

Con p como en el ejercicio anterior, cada uno de los 12 pentágonos aumenta su área de 2p unidades a 4p unidades por lo que el aumento neto del área del dodecaedro es de 36p unidades.

219.

$18 s^{2} = 6 \int_{s}^{2 s} 2 x d x$

221.

$12 π R^{2} = 8 π \int_{R}^{2 R} r d r$

223.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s = 4 t - t^{2} .$ La distancia total es $d (2) = 4 m .$

225.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s .$ Para $t < 3, d (t) = \int_{0}^{t} (6 - 2 t) d t = 6 t - t^{2} .$ Para $t > 3, d (t) = d (3) + \int_{3}^{t} (2 t - 6) d t = 9 + (t^{2} - 6 t) |_{3}^{6} .$ La distancia total es $d (6) = 18 m .$

227.

$v (t) = 40 - 9,8 t m/s; h (t) = 1,5 + 40 t - 4,9 t^{2}$ m/s

229.

El aumento neto es de 1 unidad.

231.

A $t = 5,$ la altura del agua es $x = {(\frac{15}{π})}^{1 / 3} m . .$ El cambio neto de altura desde $t = 5$ al $t = 10$ ¿es ${(\frac{30}{π})}^{1 / 3} - {(\frac{15}{π})}^{1 / 3}$ m.

233.

El consumo total de energía diario se estima como la suma de las tasas de energía horaria, o sea 911 gW-h.

235.

17 kJ

237.

a. 54,3 %; b. 27,00 %; c. La curva del siguiente gráfico es $2,35 (t + 3) e^{−0,15 (t + 3)} .$

Un gráfico de los datos y una función que aproxima los datos. La función es una aproximación muy cercana.

239.

En condiciones secas, con una velocidad inicial $v_{0} = 30$ m/s, $D = 64,3$ y, si $v_{0} = 25, D = 44,64 .$ En condiciones de humedad, si $v_{0} = 30,$ y $D = 180$ y si $v_{0} = 25, D = 125 .$

241.

225 cal

243.

$E (150) = 28, E (300) = 22, E (450) = 16$

245.

Gráfico de los datos dados, que disminuye de forma más o menos cóncava hacia abajo de 600 a 2.200.

b. Entre 600 y 1.000 la disminución promedio de vehículos por hora por carril es de -0,0075. Entre 1.000 y 1.500 es de -0,006 por vehículos por hora y carril, y entre 1.500 y 2.100 es de -0,04 vehículos por hora y carril. c.

Gráfico de los datos dados, que muestra que los minutos por milla aumentan drásticamente a medida que los vehículos por hora llegan a 2.000.

El gráfico no es lineal, ya que los minutos por milla aumentan drásticamente a medida que los vehículos por hora por carril alcanzan los 2.000.

247.

$\frac{1}{37} \int_{0}^{37} p (t) d t = \frac{0,07 {(37)}^{3}}{4} + \frac{2,42 {(37)}^{2}}{3} - \frac{25,63 (37)}{2} + 521,23 \approx 2037$

249.

La aceleración media es $A = \frac{1}{5} \int_{0}^{5} a (t) d t = - \frac{0,7 (5^{2})}{3} + \frac{1,44 (5)}{2} + 10,44 \approx 8,2$ mph/s

251.

$d (t) = \int_{0}^{1} | v (t) | d t = \int_{0}^{t} (\frac{7}{30} t^{3} - 0,72 t^{2} - 10,44 t + 41,033) d t = \frac{7}{120} t^{4} - 0,24 t^{3} - 5,22 t^{3} + 41,033 t .$ Entonces, $d (5) \approx 81,12$ mph $\times sec \approx 119$ pies.

253.

$\frac{1}{40} \int_{0}^{40} (−0,068 t + 5,14) d t = - \frac{0,068 (40)}{2} + 5,14 = 3,78 m/seg$

Sección 1.5 ejercicios

255.

$u = h (x)$

257.

$f (u) = \frac{{(u + 1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

259.

$d u = 8 x d x; f (u) = \frac{1}{8 \sqrt{u}}$

261.

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

263.

$- \frac{1}{12 {(2 x - 3)}^{6}} + C$

265.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

267.

$\frac{1}{8} {(x^{2} - 2 x)}^{4} + C$

269.

$sen θ - \frac{{sen}^{3} θ}{3} + C$

271.

$\frac{{(1 - x)}^{101}}{101} - \frac{{(1 - x)}^{100}}{100} + C$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{−2} dx = - \frac{1}{22 {(11 x - 7)}^{2}} + C$

275.

$- \frac{{cos}^{4} θ}{4} + C$

277.

$- \frac{{cos}^{3} (π t)}{3 π} + C$

279.

$- \frac{1}{4} {cos}^{2} (t^{2}) + C$

281.

$- \frac{1}{3 (x^{3} - 3)} + C$

283.

$- \frac{2 (y^{3} - 2)}{3 \sqrt{1 - y^{3}}}$

285.

$\frac{1}{33} {(1 - {cos}^{3} θ)}^{11} + C$

287.

$\frac{1}{12} {({sen}^{3} θ - 3 {sen}^{2} θ)}^{4} + C$

289.

$L_{50} = −8,5779 .$ El área exacta es $\frac{−81}{8}$

291.

$L_{50} = −0,006399$ ... El área exacta es 0.

293.

$u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x, \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \sqrt{2} - 1$

295.

$u = 1 + t^{3}, d u = 3 t^{2} d t, \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1)$ grandes.

297.

$u = cos θ, d u = − sen θ d θ, \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} u^{−4} d u = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

299.

Dos gráficos. El primero muestra la función f(x) = cos(ln(2x)) / x, que aumenta bruscamente en el intervalo aproximado (0, 0,25) y luego disminuye gradualmente hacia el eje x. El segundo muestra la función f(x) = sen(ln(2x)), que disminuye bruscamente en el intervalo aproximado (0, 0,25) y luego aumenta en una curva suave hacia el primer cuadrante.

La antiderivada es $y = sen (ln (2 x)) .$ Como la antiderivada no es continua en $x = 0,$ no se puede encontrar un valor de C que logre que $y = sen (ln (2 x)) - C$ trabajen como una integral definitiva.

301.

Dos gráficos. La primera es la función f(x) = sen(x) / cos(x)^3 sobre [–5pi/16, 5pi/16]. Es una función cóncava creciente hacia abajo para los valores inferiores a cero y una función cóncava creciente hacia arriba para los valores superiores a cero. La segunda es la función f(x) = ½ sec(x)^2 sobre el mismo intervalo. Se trata de una curva amplia y cóncava hacia arriba que disminuye para los valores inferiores a cero y aumenta para los valores superiores a cero.

La antiderivada es $y = \frac{1}{2} {sec}^{2} x .$ Debe tomar $C = −2$ por lo que $F (- \frac{π}{3}) = 0 .$

303.

Dos gráficos. El primero muestra la función f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). Es una curva cóncava hacia arriba que comienza en el origen. El segundo muestra la función f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). Se trata de una curva cóncava hacia arriba que comienza en torno a 0,3.

La antiderivada es $y = \frac{1}{3} {(2 x^{3} + 1)}^{3 / 2} .$ Hay que tomar $C = - \frac{1}{3} .$

305.

No, porque el integrando es discontinuo en $x = 1 .$

307.

$u = sen (t^{2});$ la integral se convierte en $\frac{1}{2} \int_{0}^{0} u d u .$

309.

$u = (1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2});$ la integral se convierte en $− \int_{5 / 4}^{5 / 4} \frac{1}{u} d u .$

311.

$u = 1 - t;$ la integral se convierte en
$\begin{array}{l} \int_{1}^{−1} u cos (π (1 - u)) d u \\ = \int_{1}^{−1} u [cos π cos π u - sen π sen π u] d u \\ = − \int_{1}^{−1} u cos π u d u \\ = \int_{–1}^{1} u cos π u d u = 0 \end{array}$
ya que el integrando es impar.

313.

Si establecemos que $u = c x$ y $d u = c d x$ da como resultado $\frac{1}{\frac{b}{c} - \frac{a}{c}} \int_{a / c}^{b / c} f (c x) d x = \frac{c}{b - a} \int_{u = a}^{u = b} f (u) \frac{d u}{c} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (u) d u .$

315.

$\int_{0}^{x} g (t) d t = \frac{1}{2} \int_{u = 1 - x^{2}}^{1} \frac{d u}{u^{a}} = \frac{1}{2 (1 - a)} u^{1 - a} |_{u = 1 - x^{2}}^{1} = \frac{1}{2 (1 - a)} (1 - {(1 - x^{2})}^{1 - a}) .$ Dado que $x \to 1$ el límite es $\frac{1}{2 (1 - a)}$ si $a < 1,$ y el límite diverge a +∞ si $a > 1 .$

317.

$\int_{t = π}^{0} b \sqrt{1 - {cos}^{2} t} \times (− a sen t) d t = \int_{t = 0}^{π} a b {sen}^{2} t d t$

319.

$f (t) = 2 cos (3 t) - cos (2 t); \int_{0}^{π / 2} (2 cos (3 t) - cos (2 t)) = - \frac{2}{3}$

Sección 1.6 ejercicios

321.

$\frac{−1}{3} e^{−3 x} + C$

323.

$- \frac{3^{− x}}{ln 3} + C$

325.

$ln (x^{2}) + C$

327.

$2 \sqrt{x} + C$

329.

$- \frac{1}{ln x} + C$

331.

$ln (ln (ln x)) + C$

333.

$ln (x cos x) + C$

335.

$- \frac{1}{2} {(ln (cos (x)))}^{2} + C$

337.

$\frac{− e^{– x^{3}}}{3} + C$

339.

$e^{tan x} + C$

341.

$t + C$

343.

$\frac{2}{9} x^{3} (ln (x^{3}) - 1) + C$

345.

$2 \sqrt{x} (ln x - 2) + C$

347.

$\int_{0}^{ln x} e^{t} d t = e^{t} |_{0}^{ln x} = e^{ln x} - e^{0} = x - 1$

349.

$- \frac{1}{3} ln |sen (3 x) + cos (3 x)| +C$

351.

$- \frac{1}{2} ln | csc (x^{2}) + cot (x^{2}) | + C$

353.

$- \frac{1}{2} {(ln (csc x))}^{2} + C$

355.

$\frac{1}{3} ln (\frac{26}{7})$ grandes.

357.

$ln (\sqrt{3} - 1)$ grandes.

359.

$\frac{1}{2} ln \frac{3}{2}$

361.

$y - 2 ln | y + 1 | + C$

363.

$ln | sen x - cos x | + C$

365.

$- \frac{1}{3} {(1 - (ln {x)}^{2})}^{3 / 2} + C$

367.

Solución exacta: $\frac{e - 1}{e}, R_{50} = 0,6258 .$ Como f es decreciente, la estimación del punto extremo derecho subestima el área.

369.

Solución exacta: $\frac{2 ln (3) - ln (6)}{2}, R_{50} = 0,2033 .$ Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área.

371.

Solución exacta: $- \frac{1}{ln (4)}, R_{50} = −0,7164 .$ Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor).

373.

$\frac{11}{2} ln 2$

375.

$\frac{1}{ln (65, 536)}$

377.

$\int_{N}^{N + 1} x e^{– x^{2}} d x = \frac{1}{2} (e^{− N^{2}} - e^{− {(N + 1)}^{2}}) .$ La cantidad es inferior a 0,01 cuando $N = 2 .$

379.

$\int_{a}^{b} \frac{d x}{x} = ln (b) - ln (a) = ln (\frac{1}{a}) - ln (\frac{1}{b}) = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d x}{x}$

381.

383.

Podemos suponer que $x > 1, por lo que \frac{1}{x} < 1 .$ Entonces, $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} .$ Ahora haga la sustitución $u = \frac{1}{t},$ así que $d u = - \frac{d t}{t^{2}}$ y $\frac{d u}{u} = - \frac{d t}{t},$ y cambie los puntos finales: $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} = − \int_{1}^{x} \frac{d u}{u} = − ln x .$

385.

Las respuestas variarán.

387.

$x = E (ln (x)) .$ Entonces, $1 = \frac{E' (ln x)}{x} o x = E' (ln x) .$ Dado que cualquier número t se puede escribir $t = ln x$ para alguna x, y para tal t tenemos $x = E (t),$ luego se deduce que para cualquier $t, E' (t) = E (t) .$

389.

$R_{10} = 0,6811, R_{100} = 0,6827$

Gráfico de la función f(x) = 0,5 * (sqrt(2)*e^(–0,5x^2)) / sqrt(pi). Se trata de una curva de apertura descendente que es simétrica a lo largo del eje y, que se cruza aproximadamente en (0, 0,4). Se aproxima a 0 a medida que x llega al infinito positivo y negativo. Entre 1 y -1, se dibujan diez rectángulos para una estimación del punto extremo derecho del área bajo la curva.

Sección 1.7 ejercicios

391.

${sen}^{−1} x |_{0}^{\sqrt{3} / 2} = \frac{π}{3}$

393.

${tan}^{−1} x |_{\sqrt{3}}^{1} = - \frac{π}{12}$

395.

${sec}^{−1} x |_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{π}{4}$

397.

${sen}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {tan}^{–1} (\frac{x}{3}) + C$

401.

$\frac{1}{3} {sec}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

403.

$cos (\frac{π}{2} - θ) = sen θ .$ Así que, ${sen}^{−1} t = \frac{π}{2} - {cos}^{−1} t .$ Se diferencian por una constante.

405.

$\sqrt{1 - t^{2}}$ no se define como un número real cuando $t > 1 .$

407.

Dos gráficos. El primero muestra la función f(x) = 1 / sqrt(9 - x^2). Es una curva de apertura ascendente simétrica respecto al eje y, que se cruza en (0, 1/3). El segundo muestra la función F(x) = arcsen(1/3 x). Es una curva creciente que pasa por el origen.

La antiderivada es ${sen}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .$ Si tomamos $C = \frac{π}{2}$ recupera la integral definida.

409.

Dos gráficos. El primero muestra la función f(x) = cos(x) / (4 + sen(x)^2). Es una función oscilante en [-6, 6] con puntos de inflexión en aproximadamente (-3, -2,5), (0, 0,25) y (3, -2,5), donde (0, 0,25) es un máximo local y los otros son mínimos locales. El segundo muestra la función F(x) = 0,5 * arctan(0.5*sen(x)), que también oscila en [–6,6]. Tiene puntos de inflexión aproximadamente en (-4,5, 0,25), (-1,5, -,25), (1,5, 0,25) y (4,5, -,25).

La antiderivada es $\frac{1}{2} {tan}^{–1} (\frac{sen x}{2}) + C .$ Si tomamos $C = \frac{1}{2} {tan}^{–1} (\frac{sen (6)}{2})$ recupera la integral definida.

411.

$\frac{1}{2} {({sen}^{−1} t)}^{2} + C$

413.

$\frac{1}{4} {({tan}^{–1} (2 t))}^{2}$

415.

$\frac{1}{4} ({sec}^{−1} {(\frac{t}{2})}^{2}) + C$

417.

Gráfico de la función f(x) = -0.5 * arctan(2 / ( sqrt(x^2 - 4) ) en el cuadrante cuatro. Es una curva cóncava creciente hacia abajo con una asíntota vertical en x=2.

La antiderivada es $\frac{1}{2} {sec}^{−1} (\frac{x}{2}) + C .$ Si tomamos $C = 0$ se recupera la integral definida en $[2, 6] .$

419.

Gráfico de f(x) = arctan(x sen(x)) sobre [–6,6]. Tiene cinco puntos de inflexión aproximadamente en (-5, -1,5), (-2,1), (0,0), (2,1) y (5,-1,5).

La antiderivada general es ${tan}^{–1} (x sen x) + C .$ Si tomamos $C = − {tan}^{–1} (6 sen (6))$ recupera la integral definida.

421.

Gráfico de la función f(x) = arctan(ln(x)) sobre (0, 2]. Es una curva creciente con intersección x en (1,0).

La antiderivada general es ${tan}^{–1} (ln x) + C .$ Si tomamos $C = \frac{π}{2} = {tan}^{−1} \infty$ recupera la integral definida.

423.

${sen}^{−1} (e^{t}) + C$

425.

${sen}^{−1} (ln t) + C$

427.

$- \frac{1}{4} {({cos}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

429.

$\frac{1}{2} ln (\frac{4}{3})$ grandes.

431.

$1 - \frac{2}{\sqrt{5}}$

433.

$2 {tan}^{–1} (A) \to π$ cuando $A \to \infty$

435.

Usando la pista, el uno tiene $\int \frac{{csc}^{2} x}{{csc}^{2} x + {cot}^{2} x} d x = \int \frac{{csc}^{2} x}{1 + 2 {cot}^{2} x} d x .$ Establezca $u = \sqrt{2} cot x .$ Entonces, $d u = − \sqrt{2} {csc}^{2} x$ y la integral es $- \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{–1} (\sqrt{2} cot x) + C .$ Si el uno utiliza la identidad ${tan}^{−1} s + {tan}^{–1} (\frac{1}{s}) = \frac{π}{2},$ entonces esto también se puede escribir $\frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{–1} (\frac{tan x}{\sqrt{2}}) + C .$