Propiedades de las series de potencia

6.2 Propiedades de las series de potencia

Objetivos de aprendizaje

6.2.1 Combinar series de potencias por adición o sustracción.
6.2.2 Crear una nueva serie de potencias mediante la multiplicación por una potencia de la variable o una constante, o por sustitución.
6.2.3 Multiplicar dos series de potencias entre sí.
6.2.4 Diferenciar e integrar series de potencias término a término.

En la sección anterior sobre las series de potencias y las funciones mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias. En esta sección discutimos cómo las series de potencias pueden combinarse, diferenciarse o integrarse para crear nuevas series de potencias. Esta capacidad es especialmente útil por un par de razones. En primer lugar, nos permite hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones elementales, escribiendo esas funciones en términos de funciones con series de potencias conocidas. Por ejemplo, dada la representación en serie de potencias para $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ podemos hallar una representación en serie de potencias para $f^{'} (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$ En segundo lugar, poder crear series de potencias nos permite definir nuevas funciones que no pueden escribirse en términos de funciones elementales. Esta capacidad es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales para las que no hay solución en términos de funciones elementales.

Combinación de series de potencias

Si tenemos dos series de potencias con el mismo intervalo de convergencia, podemos sumar o restar las dos series para crear una nueva serie de potencias, también con el mismo intervalo de convergencia. Del mismo modo, podemos multiplicar una serie de potencias por una potencia de x o evaluar una serie de potencias en $x^{m}$ para un número entero positivo m para crear una nueva serie de potencias. Esto nos permite hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones utilizando representaciones en series de potencias de otras funciones. Por ejemplo, dado que conocemos la representación en series de potencias para $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ podemos hallar representaciones en series de potencias para funciones relacionadas, como

y = \frac{3 x}{1 - x^{2}} y y = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)} .

En Combinación de series de potencias exponemos los resultados relativos a la adición o sustracción de series de potencias, la composición de una serie de potencias y la multiplicación de una serie de potencias por una potencia de la variable. Para simplificar, enunciamos el teorema para las series de potencias centradas en $x = 0 .$ Resultados similares son válidos para las series de potencia centradas en $x = a .$

Teorema 6.2

Combinación de series de potencias

Supongamos que las dos series de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ convergen a las funciones f y g, respectivamente, en un intervalo común I.

La serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} \pm d_{n} x^{n})$ converge a $f \pm g$ en I.
Para cualquier número entero $m \geq 0$ y cualquier número real b, la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} b x^{m} c_{n} x^{n}$ converge a $b x^{m} f (x)$ en I.
Para cualquier número entero $m \geq 0$ y cualquier número real b, la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(b x^{m})}^{n}$ converge a $f (b x^{m})$ para todo x tal que $b x^{m}$ está en I.

Prueba

Demostramos i. en el caso de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n}) .$ Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ convergen a las funciones f y g, respectivamente, en el intervalo I. Supongamos que x es un punto en I y que $S_{N} (x)$ y $T_{N} (x)$ denotan las enésimas sumas parciales de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n},$ respectivamente. Entonces la secuencia ${S_{N} (x)}$ converge a $f (x)$ y la secuencia ${T_{N} (x)}$ converge a $g (x) .$ Además, la enésima suma parcial de $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n})$ es

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{N} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n}) & = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n} + \sum_{n = 0}^{N} d_{n} x^{n} \\ = S_{N} (x) + T_{N} (x) . \end{matrix}

Dado que

\begin{matrix} \underset{N \to \infty}{lím} (S_{N} (x) + T_{N} (x)) & = \underset{N \to \infty}{lím} S_{N} (x) + \underset{N \to \infty}{lím} T_{N} (x) \\ = f (x) + g (x), \end{matrix}

concluimos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (c_{n} x^{n} + d_{n} x^{n})$ converge a $f (x) + g (x) .$

□

Examinaremos los productos de las series de potencias en un teorema posterior. Primero, mostramos varias aplicaciones de Combinación de series de potencias y cómo hallar el intervalo de convergencia de una serie de potencias dado el intervalo de convergencia de una serie de potencias relacionada.

Ejemplo 6.4

Combinación de series de potencias

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es $(–1, 1),$ y supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es $(–2, 2) .$

Halle el intervalo de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n} + b_{n} x^{n}) .$
Halle el intervalo de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 3^{n} x^{n} .$

Solución

Dado que el intervalo $(–1, 1)$ es un intervalo común de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n},$ el intervalo de convergencia de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} x^{n} + b_{n} x^{n})$ es $(–1, 1) .$
Dado que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ es una serie de potencias centrada en cero con radio de convergencia 1, converge para todo x en el intervalo $(–1, 1) .$ Por Combinación de series de potencias, la serie

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 3^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(3 x)}^{n}$

converge si 3x está en el intervalo $(–1, 1) .$ Por tanto, la serie converge para todo x en el intervalo $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) .$

Punto de control 6.4

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ tiene un intervalo de convergencia de $(–1, 1) .$ Halle el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(\frac{x}{2})}^{n} .$

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar Combinación de series de potencias y la serie de potencias de una función f para construir series de potencias de funciones relacionadas con f. En concreto, consideramos las funciones relacionadas con la función $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ y utilizamos el hecho de que

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯

para $| x | < 1 .$

Ejemplo 6.5

Construcción de series de potencias a partir de series de potencia conocidas

Utilice la representación en series de potencias para $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ combinada con Combinación de series de potencias para construir una serie de potencias para cada una de las siguientes funciones. Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

$f (x) = \frac{3 x}{1 + x^{2}}$
$f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)}$

Solución

Primero escriba $f (x)$ como

$f (x) = 3 x (\frac{1}{1 - (− x^{2})}) .$

Utilizando la representación en serie de potencias para $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ y las partes ii. y iii. de Combinación de series de potencias, hallamos que una representación en serie de potencias para f está dada por

$\sum_{n = 0}^{\infty} 3 x {(− x^{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 3 {(–1)}^{n} x^{2 n + 1} .$

Dado que el intervalo de convergencia de la serie para $\frac{1}{1 - x}$ es $(–1, 1),$ el intervalo de convergencia de esta nueva serie es el conjunto de números reales x tales que $| x^{2} | < 1 .$ Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $(–1, 1) .$
Para hallar la representación en serie de potencias, utilice fracciones parciales para escribir $f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 3)}$ como la suma de dos fracciones. Tenemos

$\begin{matrix} \frac{1}{(x - 1) (x - 3)} & = \frac{− 1 / 2}{x - 1} + \frac{1 / 2}{x - 3} \\ = \frac{1 / 2}{1 - x} - \frac{1 / 2}{3 - x} \\ = \frac{1 / 2}{1 - x} - \frac{1 / 6}{1 - \frac{x}{3}} . \end{matrix}$

En primer lugar, utilizando la parte ii. de Combinación de series de potencias, obtenemos

$\frac{1 / 2}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2} x^{n} para | x | < 1 .$

Entonces, utilizando las partes ii. y iii. de Combinación de series de potencias, tenemos

$\frac{1 / 6}{1 - x / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6} {(\frac{x}{3})}^{n} para | x | < 3 .$

Como estamos combinando estas dos series de potencias, el intervalo de convergencia de la diferencia debe ser el menor de estos dos intervalos. Utilizando este hecho y la parte i. de Combinación de series de potencias, tenemos

$\frac{1}{(x - 1) (x - 3)} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{6 . 3^{n}}) x^{n}$

donde el intervalo de convergencia es $(–1, 1) .$

Punto de control 6.5

Utilice la serie para $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ en $| x | < 1$ para construir una serie para $\frac{1}{(1 - x) (x - 2)} .$ Determine el intervalo de convergencia.

En el Ejemplo 6.5, mostramos cómo calcular series de potencias para ciertas funciones. En el Ejemplo 6.6 mostramos cómo hacer lo contrario: dada una serie de potencias, determinar qué función representa.

Ejemplo 6.6

Hallar la función representada por una serie de potencias dada

Consideremos la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} .$ Halle la función f representada por esta serie. Determine el intervalo de convergencia de la serie.

Solución

Escribiendo la serie dada como

\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(2 x)}^{n},

podemos reconocer esta serie como la serie de potencias para

f (x) = \frac{1}{1 - 2 x} .

Como se trata de una serie geométrica, la serie converge si y solo si $| 2 x | < 1 .$ Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .$

Punto de control 6.6

Halle la función representada por la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} x^{n} .$ Determine su intervalo de convergencia.

Recordemos las preguntas planteadas en el inicio del capítulo sobre cuál es la mejor forma de recibir los pagos de los premios de la lotería. A continuación, retomamos estas preguntas y mostramos cómo utilizar las series para comparar los valores de los pagos a lo largo del tiempo con el pago de una suma global en la actualidad. Calcularemos cuánto valen los pagos futuros en términos de dólares de hoy, suponiendo que tenemos la capacidad de invertir las ganancias y ganar intereses. El valor de los pagos futuros en términos de dólares de hoy se conoce como el valor actual de esos pagos.

Ejemplo 6.7

Inicio del capítulo: Valor actual de las ganancias futuras

Esta es una imagen de una pila de dinero. Hay billetes de 100 dólares envueltos en grupos de 10.000 dólares

Figura 6.4 (créditos: modificación del trabajo de Robert Huffstutter, Flickr).

Supongamos que gana la lotería y le dan las tres opciones siguientes: (1) Recibir 20 millones de dólares hoy; (2) recibir 1,5 millones de dólares al año durante los próximos 20 años; o (3) recibir 1 millón de dólares al año de forma indefinida (pasando a sus herederos). ¿Cuál es la mejor oferta, suponiendo que el tipo de interés anual es del 5 %? Respondemos a esto mediante la siguiente secuencia de preguntas.

¿Cuánto valen los 1,5 millones de dólares recibidos anualmente a lo largo de 20 años en términos de dólares actuales, suponiendo un tipo de interés anual del 5 %?
Utilice la respuesta de la parte a. para hallar una fórmula general para el valor actual de los pagos de C dólares recibidos cada año durante los próximos n años, suponiendo un tipo de interés anual promedio r.
Halle una fórmula para el valor actual si los pagos anuales de C dólares continúan indefinidamente, asumiendo una tasa de interés anual promedio r.
Utilice la respuesta de la parte c. para determinar el valor actual de 1 millón de dólares pagados anualmente de forma indefinida.
Utilice sus respuestas de las partes a. y d. para determinar cuál de las tres opciones es la mejor.

Solución

Considere el pago de 1,5 millones de dólares realizado al final del primer año. Si pudiera recibir ese pago hoy en vez de dentro de un año, podría invertir ese dinero y ganar un 5 % de interés. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero P₁ satisface $P_{1} (1 + 0,05) = 1,5 millones de dólares .$ Concluimos que

$P_{1} = \frac{1,5}{1,05} = $ 1,429 millones de dólares .$

Del mismo modo, considere el pago de 1,5 millones de dólares realizado al final del segundo año. Si pudiera recibir ese pago hoy, podría invertir ese dinero durante dos años, ganando un 5 % de interés, compuesto anualmente. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero P₂ satisface $P_{2} {(1 + 0,05)}^{2} = 1,5 millones de dólares .$ Concluimos que

$P_{2} = \frac{1,5}{{(1,05)}^{2}} = $ 1,361 millones de dólares .$

El valor de los pagos futuros hoy es la suma de los valores actuales $P_{1}, P_{2}, …, P_{20}$ de cada uno de esos pagos anuales. El valor actual P_k satisface

$P_{k} = \frac{1,5}{{(1,05)}^{k}} .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} P & = \frac{1,5}{1,05} + \frac{1,5}{{(1,05)}^{2}} + ⋯ + \frac{1,5}{{(1,05)}^{20}} \\ = $ 18,693 millones de dólares . \end{matrix}$
Utilizando el resultado de la parte a. vemos que el valor actual P de C dólares pagados anualmente en el transcurso de n años, suponiendo un tipo de interés anual r, está dado por

$P = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{{(1 + r)}^{2}} + ⋯ + \frac{C}{{(1 + r)}^{n}} dólares .$
Utilizando el resultado de la parte b. vemos que el valor actual de una anualidad que continúa indefinidamente está dado por la serie infinita

$P = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{C}{{(1 + r)}^{n + 1}} .$

Podemos ver el valor actual como una serie de potencias en r, que converge siempre que $| \frac{1}{1 + r} | < 1 .$ Dado que $r > 0,$ esta serie converge. Reescribiendo la serie como

$P = \frac{C}{(1 + r)} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{1 + r})}^{n},$

reconocemos esta serie como la serie de potencias para

$f (r) = \frac{1}{1 - (\frac{1}{1 + r})} = \frac{1}{(\frac{r}{1 + r})} = \frac{1 + r}{r} .$

Concluimos que el valor actual de esta anualidad es

$P = \frac{C}{1 + r} . \frac{1 + r}{r} = \frac{C}{r} .$
Del resultado de la parte c. concluimos que el valor actual P de $C = 1 millón de dólares$ pagado cada año indefinidamente, suponiendo un tipo de interés anual $r = 0,05,$ está dada por

$P = \frac{1}{0,05} = 20 millones de dólares .$
De la parte a. vemos que recibir 1,5 millones de dólares en el transcurso de 20 años tiene un valor de 18,693 millones de dólares en dólares de hoy. De la parte d. vemos que recibir 1 millón de dólares al año de forma indefinida tiene un valor de 20 millones de dólares en dólares de hoy. Por lo tanto, tanto recibir un pago único de 20 millones de dólares hoy como recibir 1 millón de dólares indefinidamente tienen el mismo valor actual.

Multiplicación de series de potencias

También podemos crear nuevas series de potencias multiplicando series de potencias. La posibilidad de multiplicar dos series de potencias proporciona otra forma de hallar representaciones en series de potencias para las funciones.

La forma de multiplicarlas es similar a la de multiplicar polinomios. Por ejemplo, supongamos que queremos multiplicar

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯

\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n} = d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯ .

Parece que el producto debería satisfacer

\begin{matrix} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}) (\sum_{n = −0}^{\infty} d_{n} x^{n}) & = (c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯) . (d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯) \\ = c_{0} d_{0} + (c_{1} d_{0} + c_{0} d_{1}) x + (c_{2} d_{0} + c_{1} d_{1} + c_{0} d_{2}) x^{2} + ⋯ . \end{matrix}

En Multiplicación de series de potencias exponemos el resultado principal sobre la multiplicación de series de potencias, mostrando que si $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ convergen en un intervalo común I, entonces podemos multiplicar las series de esta manera, y la serie resultante también converge en el intervalo I.

Teorema 6.3

Multiplicación de series de potencias

Supongamos que la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ convergen a f y g, respectivamente, en un intervalo común I. Supongamos que

\begin{matrix} e_{n} & = c_{0} d_{n} + c_{1} d_{n - 1} + c_{2} d_{n - 2} + ⋯ + c_{n - 1} d_{1} + c_{n} d_{0} \\ = \sum_{k = 0}^{n} c_{k} d_{n - k} . \end{matrix}

Entonces

(\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} e_{n} x^{n}

\sum_{n = 0}^{\infty} e_{n} x^{n} converge a f (x) . g (x) en I .

La serie $\sum_{n = 0}^{\infty} e_{n} x^{n}$ se conoce como el producto Cauchy de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n} .$

Omitimos la demostración de este teorema, ya que va más allá del nivel de este texto y suele tratarse en un curso más avanzado. A continuación, ofrecemos un ejemplo de este teorema encontrando la representación en serie de potencias para

f (x) = \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})}

utilizando las representaciones en series de potencias para

y = \frac{1}{1 - x} y y = \frac{1}{1 - x^{2}} .

Ejemplo 6.8

Multiplicación de series de potencias

Multiplique la representación en serie de potencias

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x} & = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \\ = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ \end{matrix}

para $| x | < 1$ con la representación en serie de potencias

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(x^{2})}^{n} \\ = 1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯ \end{matrix}

para $| x | < 1$ para construir una serie de potencias para $f (x) = \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})}$ en el intervalo $(–1, 1) .$

Solución

Tenemos que multiplicar

(1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯) (1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯) .

Escribiendo los primeros términos, vemos que el producto está dado por

\begin{matrix} (1 + x^{2} + x^{4} + x^{6} + ⋯) + (x + x^{3} + x^{5} + x^{7} + ⋯) + (x^{2} + x^{4} + x^{6} + x^{8} + ⋯) + (x^{3} + x^{5} + x^{7} + x^{9} + ⋯) \\ = 1 + x + (1 + 1) x^{2} + (1 + 1) x^{3} + (1 + 1 + 1) x^{4} + (1 + 1 + 1) x^{5} + ⋯ \\ = 1 + x + 2 x^{2} + 2 x^{3} + 3 x^{4} + 3 x^{5} + ⋯ . \end{matrix}

Dado que las series para $y = \frac{1}{1 - x}$ como $y = \frac{1}{1 - x^{2}}$ convergen ambas en el intervalo $(–1, 1),$ la serie del producto también converge en el intervalo $(–1, 1) .$

Punto de control 6.7

Multiplique la serie $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ por sí misma para construir una serie para $\frac{1}{(1 - x) (1 - x)} .$

Diferenciación e integración de series de potencias

Consideremos una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯$ que converge en algún intervalo I, y supongamos que $f$ es la función definida por esta serie. Aquí abordamos dos preguntas sobre $f .$

¿Es $f$ diferenciable, y si es así, cómo determinamos la derivada $f^{'} ?$
¿Cómo evaluamos la integral indefinida $\int f (x) d x ?$

Sabemos que, para un polinomio con un número finito de términos, podemos evaluar la derivada diferenciando cada término por separado. Del mismo modo, podemos evaluar la integral indefinida integrando cada término por separado. Aquí mostramos que podemos hacer lo mismo para las series de potencias convergentes. Es decir, si

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯

converge en algún intervalo I, entonces

f^{'} (x) = c_{1} + 2 c_{2} x + 3 c_{3} x^{2} + ⋯

\int f (x) d x = C + c_{0} x + c_{1} \frac{x^{2}}{2} + c_{2} \frac{x^{3}}{3} + ⋯

converge en I

La evaluación de la derivada y la integral indefinida de este modo se denomina diferenciación término a término de una serie de potencias e integración término a término de una serie de potencias, respectivamente. La capacidad de diferenciar e integrar las series de potencias término a término también nos permite utilizar representaciones en series de potencias conocidas para hallar representaciones en series de potencias para otras funciones. Por ejemplo, dada la serie de potencias para $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ podemos diferenciar término a término para calcular la serie de potencias para $f^{'} (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$ Del mismo modo, utilizando la serie de potencias para $g (x) = \frac{1}{1 + x},$ podemos integrar término a término para calcular la serie de potencias para $G (x) = ln (1 + x),$ una antiderivada de g. Le mostramos cómo hacerlo en el Ejemplo 6.9 y el Ejemplo 6.10. En primer lugar, enunciamos la Diferenciación e integración término a término de las series de potencias, que proporciona el principal resultado concerniente a la diferenciación e integración de series de potencias.

Teorema 6.4

Diferenciación e integración término a término de las series de potencias

Supongamos que la serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ converge en el intervalo $(a - R, a + R)$ para algunos $R > 0 .$ Supongamos que f es la función definida por la serie

\begin{matrix} f (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} \\ = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + c_{3} {(x - a)}^{3} + ⋯ \end{matrix}

para $| x - a | < R .$ Entonces f es diferenciable en el intervalo $(a - R, a + R)$ y podemos hallar $f^{'}$ diferenciando la serie término a término:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x - a)}^{n - 1} \\ = c_{1} + 2 c_{2} (x - a) + 3 c_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯ \end{matrix}

para $| x - a | < R .$ Además, para hallar $\int f (x) d x,$ podemos integrar la serie término a término. La serie resultante converge en $(a - R, a + R),$ y tenemos

\begin{matrix} \int f (x) d x & = C + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \frac{{(x - a)}^{n + 1}}{n + 1} \\ = C + c_{0} (x - a) + c_{1} \frac{{(x - a)}^{2}}{2} + c_{2} \frac{{(x - a)}^{3}}{3} + ⋯ \end{matrix}

para $| x - a | < R .$

La demostración de este resultado está fuera del alcance del texto y se omite. Obsérvese que aunque la Diferenciación e integración término a término de las series de potencias garantiza el mismo radio de convergencia cuando una serie de potencias se diferencia o integra término a término, no dice nada sobre lo que ocurre en los puntos finales. Es posible que las series de potencias diferenciadas e integradas tengan un comportamiento diferente en los puntos finales que la serie original. Vemos este comportamiento en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6.9

Diferenciación de series de potencias

Utilice la representación en serie de potencias

$\begin{matrix} f (x) & = \frac{1}{1 - x} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \\ = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ \end{matrix}$

para $| x | < 1$ para hallar una representación en serie de potencias para

$g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

en el intervalo $(–1, 1) .$ Determine si la serie resultante converge en los puntos finales.
Utilice el resultado de la parte a. para evaluar la suma de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{4^{n}} .$

Solución

Dado que $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ es la derivada de $f (x) = \frac{1}{1 - x},$ podemos hallar una representación en serie de potencias para g diferenciando la serie de potencias para f término a término. El resultado es

$\begin{matrix} g (x) & = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \\ = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{d x} (x^{n}) \\ = \frac{d}{d x} (1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯) \\ = 0 + 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} \end{matrix}$

para $| x | < 1 .$ La Diferenciación e integración término a término de las series de potencias no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie en los puntos finales. Comprobando los puntos finales mediante la prueba de divergencia, encontramos que la serie diverge en ambos puntos finales $x = ± 1 .$ Observe que este es el mismo resultado que se halló en el Ejemplo 6.8.
De la parte a. sabemos que

$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{4^{n}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) {(\frac{1}{4})}^{n} \\ = \frac{1}{{(1 - \frac{1}{4})}^{2}} \\ = \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2}} \\ = \frac{16}{9} . \end{matrix}$

Punto de control 6.8

Diferencie las series $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}$ término a término para hallar una representación en serie de potencias para $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ en el intervalo $(–1, 1) .$

Ejemplo 6.10

Integración de series de potencias

Para cada una de las siguientes funciones f, halle una representación en serie de potencias para f integrando la serie de potencias para $f^{'}$ y halle su intervalo de convergencia.

$f (x) = ln (1 + x)$ grandes.
$f (x) = {tan}^{−1} x$

Solución

Para $f (x) = ln (1 + x),$ la derivada es $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} .$ Sabemos que

$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x} & = \frac{1}{1 - (− x)} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x)}^{n} \\ = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯ \end{matrix}$

para $| x | < 1 .$ Para hallar la fórmula de una serie de potencias para $f (x) = ln (1 + x),$ integramos la serie término a término

$\begin{matrix} \int f^{'} (x) d x & = \int (1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ \end{matrix}$

Dado que $f (x) = ln (1 + x)$ es una antiderivada de $\frac{1}{1 + x},$ queda por resolver la constante C. Ya que $ln (1 + 0) = 0,$ tenemos $C = 0 .$ Por lo tanto, una representación en serie de potencias para $f (x) = ln (1 + x)$ es

$\begin{matrix} ln (1 + x) & = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + ⋯ \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n} \end{matrix}$

para $| x | < 1 .$ La Diferenciación e integración término a término de las series de potencias no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie de potencias en los puntos finales. Sin embargo, al comprobar los puntos finales, hallamos que en $x = 1$ la serie es la serie armónica alternada, que converge. Además, en $x = −1,$ la serie es la serie armónica, que diverge. Es importante señalar que, aunque esta serie converge en $x = 1,$ la Diferenciación e integración término a término de las series de potencias no garantiza que la serie converja realmente a $ln (2) .$ De hecho, la serie converge a $ln (2),$ pero demostrar este hecho requiere técnicas más avanzadas. (El teorema de Abel, tratado en textos más avanzados, se ocupa de este punto más técnico). El intervalo de convergencia es $(–1, 1] .$
La derivada de $f (x) = {tan}^{−1} x$ es $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$ Sabemos que

$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x^{2}} & = \frac{1}{1 - (− x^{2})} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x^{2})}^{n} \\ = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + ⋯ \end{matrix}$

para $| x | < 1 .$ Para hallar la fórmula de una serie de potencias para $f (x) = {tan}^{−1} x,$ integramos esta serie término a término.

$\begin{matrix} \int f^{'} (x) d x & = \int (1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + ⋯) d x \\ = C + x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + ⋯ \end{matrix}$

Dado que ${tan}^{–1} (0) = 0,$ tenemos $C = 0 .$ Por lo tanto, una representación en serie de potencias para $f (x) = {tan}^{−1} x$ es

$\begin{matrix} {tan}^{−1} x & = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + ⋯ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \end{matrix}$

para $| x | < 1 .$ De nuevo, la Diferenciación e integración término a término de las series de potencias no garantiza nada sobre la convergencia de esta serie en los puntos finales. Sin embargo, comprobando los puntos finales y utilizando la prueba de series alternadas, hallamos que la serie converge en $x = 1$ y $x = −1 .$ Como se discutió en la parte a., utilizando el teorema de Abel, se puede demostrar que la serie realmente converge a ${tan}^{–1} (1)$ y ${tan}^{–1} (–1)$ en $x = 1$ y $x = −1,$ respectivamente. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $[−1, 1] .$

Punto de control 6.9

Integre la serie de potencias $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n}$ término a término para evaluar $\int ln (1 + x) d x .$

Hasta ahora, hemos mostrado varias técnicas para hallar representaciones en series de potencias para funciones. Sin embargo, ¿cómo sabemos que estas series de potencias son únicas? Es decir, dada una función f y una serie de potencias para f en a, ¿es posible que exista una serie de potencias diferente para f en a que podríamos haber hallado si hubiéramos utilizado una técnica diferente? La respuesta a esta pregunta es no. Este hecho no debería parecer sorprendente si pensamos en las series de potencias como polinomios con un número infinito de términos. Intuitivamente, si

c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯ = d_{0} + d_{1} x + d_{2} x^{2} + ⋯

para todos los valores x en algún intervalo abierto I alrededor de cero, entonces los coeficientes c_n deben ser iguales a d_n para $n \geq 0 .$ Ahora exponemos este resultado formalmente en la Singularidad de las series de potencias.

Teorema 6.5

Singularidad de las series de potencias

Supongamos que $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} {(x - a)}^{n}$ sean dos series de potencias convergentes tales que

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} {(x - a)}^{n}

para todo x en un intervalo abierto que contiene a. Entonces $c_{n} = d_{n}$ para todo $n \geq 0 .$

Prueba

Supongamos que

\begin{matrix} f (x) & = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + c_{3} {(x - a)}^{3} + ⋯ \\ = d_{0} + d_{1} (x - a) + d_{2} {(x - a)}^{2} + d_{3} {(x - a)}^{3} + ⋯ . \end{matrix}

Entonces $f (a) = c_{0} = d_{0} .$ Mediante la Diferenciación e integración término a término de las series de potencias, podemos diferenciar ambas series término a término. Por lo tanto,

\begin{matrix} f^{'} (x) & = c_{1} + 2 c_{2} (x - a) + 3 c_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯ \\ = d_{1} + 2 d_{2} (x - a) + 3 d_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯, \end{matrix}

y así, $f^{'} (a) = c_{1} = d_{1} .$ De la misma manera,

\begin{matrix} f ″ (x) & = 2 c_{2} + 3.2 c_{3} (x - a) + ⋯ \\ = 2 d_{2} + 3.2 d_{3} (x - a) + ⋯ \end{matrix}

implica que $f ″ (a) = 2 c_{2} = 2 d_{2},$ y por lo tanto, $c_{2} = d_{2} .$ Más generalmente, para cualquier número entero $n \geq 0, f^{(n)} (a) = n! c_{n} = n! d_{n},$ y en consecuencia, $c_{n} = d_{n}$ para todo $n \geq 0 .$

□

En esta sección hemos mostrado cómo hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones usando diversas operaciones algebraicas, diferenciación o integración. Sin embargo, en este punto todavía estamos limitados en cuanto a las funciones para las que podemos hallar representaciones en series de potencias. A continuación, mostramos cómo hallar representaciones en series de potencias para muchas más funciones introduciendo series de Taylor.

Sección 6.2 ejercicios

63.

Si $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ y $g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{n!},$ halle la fórmula de la serie de potencias de $\frac{1}{2} (f (x) + g (x))$ y de $\frac{1}{2} (f (x) - g (x)) .$

64.

Si $C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ y $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!},$ halle la fórmula de la serie de potencias de $C (x) + S (x)$ y de $C (x) - S (x) .$

En los siguientes ejercicios, utilice fracciones parciales para calcular la serie de potencias de cada función.

65.

$\frac{4}{(x - 3) (x + 1)}$ grandes.

66.

$\frac{3}{(x + 2) (x - 1)}$ grandes.

67.

$\frac{5}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 1)}$ grandes.

68.

$\frac{30}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 9)}$

En los siguientes ejercicios, exprese cada serie como una función racional.

69.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{n}}$

70.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{2 n}}$

71.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{2 n - 1}}$

72.

$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{{(x - 3)}^{2 n - 1}} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2 n - 1}})$

Los siguientes ejercicios exploran las aplicaciones de las anualidades.

73.

Calcule los valores actuales P de una anualidad en la que se van a pagar 10.000 dólares anuales durante un periodo de 20 años, suponiendo unas tasas de interés de $r = 0,03, r = 0,05,$ y $r = 0,07 .$

74.

Calcule los valores actuales P de las anualidades en las que se pagarán 9.000 dólares anuales perpetuamente, suponiendo tasas de interés de $r = 0,03, r = 0,05$ y $r = 0,07 .$

75.

Calcule los pagos anuales C que se darán durante 20 años en las anualidades que tienen un valor actual de 100.000 dólares suponiendo unas tasas de interés respectivas de $r = 0,03, r = 0,05,$ y $r = 0,07 .$

76.

Calcule los pagos anuales C que se darán perpetuamente en las anualidades que tienen un valor actual de 100.000 dólares suponiendo unas tasas de interés respectivas de $r = 0,03, r = 0,05,$ y $r = 0,07 .$

77.

Supongamos que una anualidad tiene un valor actual $P = 1 millón de dólares .$ ¿Qué tasa de interés r permitiría realizar pagos anuales perpetuos de 50.000 dólares?

78.

Supongamos que una anualidad tiene un valor actual $P = 10 millones de dólares .$ ¿Qué tasa de interés r permitiría realizar pagos anuales perpetuos de 100.000 dólares?

En los siguientes ejercicios, exprese la suma de cada serie de potencias en términos de series geométricas, y luego exprese la suma como una función racional.

79.

$x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + x^{5} - x^{6} + ⋯$ (Pista: Agrupe las potencias x^3k, $x^{3 k - 1},$ y $x^{3 k - 2} .)$ grandes.

80.

$x + x^{2} - x^{3} - x^{4} + x^{5} + x^{6} - x^{7} - x^{8} + ⋯$ (Pista: Agrupe las potencias x^4k, $x^{4 k - 1},$ etc.).

81.

$x - x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} - x^{6} + x^{7} - ⋯$ (Pista: Agrupe las potencias x^3k, $x^{3 k - 1},$ y $x^{3 k - 2} .)$ grandes.

82.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{5}}{32} - \frac{x^{6}}{64} + ⋯$ (Pista: Agrupe las potencias ${(\frac{x}{2})}^{3 k}, {(\frac{x}{2})}^{3 k - 1},$ y ${(\frac{x}{2})}^{3 k - 2} .)$

En los siguientes ejercicios, halle la serie de potencias de $f (x) g (x)$ dadas f y g como se definen.

83.

$f (x) = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}, g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n}$

84.

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n}, g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n} .$ Exprese los coeficientes de $f (x) g (x)$ en términos de $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .$

85.

$f (x) = g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{x}{2})}^{n}$

86.

$f (x) = g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}$

En los siguientes ejercicios, diferencie la expansión en serie dada de f término a término para obtener la correspondiente expansión en serie de la derivada de f.

87.

$f (x) = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{n}$

88.

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n}$

En los siguientes ejercicios, integre la expansión en serie dada de $f$ término a término desde cero hasta x para obtener la correspondiente expansión en serie de la integral indefinida de $f .$

89.

$f (x) = \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} (2 n) x^{2 n - 1}$

90.

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n + 1}$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada serie infinita identificándola como el valor de una derivada o integral de serie geométrica.

91.

Evalúe $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$ como $f^{'} (\frac{1}{2})$ donde $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

92.

Evalúe $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ como $f^{'} (\frac{1}{3})$ donde $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

93.

Evalúe $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n}}$ como $f ″ (\frac{1}{2})$ donde $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .$

94.

Evalúe $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{2 n + 1}$ como $\int_{0}^{1} f (t) d t$ donde $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n} = \frac{1}{1 + x^{2}} .$

En los siguientes ejercicios, dado que $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n},$ utilice la diferenciación término a término o la integración para hallar series de potencias para cada función centrada en el punto dado.

95.

$f (x) = ln x$ centrada en $x = 1$ (Pista: $x = 1 - (1 - x))$ grandes.

96.

$ln (1 - x)$ en $x = 0$

97.

$ln (1 - x^{2})$ en $x = 0$

98.

$f (x) = \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ en $x = 0$

99.

$f (x) = {tan}^{–1} (x^{2})$ en $x = 0$

100.

$f (x) = ln (1 + x^{2})$ en $x = 0$

101.

$f (x) = \int_{0}^{x} ln t d t$ donde $ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n}$

102.

[T] Evalúe la expansión en serie de potencias $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n}$ en $x = 1$ para demostrar que $ln (2)$ es la suma de las series armónicas alternadas. Utilice la prueba de series alternadas para determinar cuántos términos de la suma son necesarios para estimar $ln (2)$ con una precisión de 0,001, y calcule dicha aproximación.

103.

[T] Reste la serie infinita de $ln (1 - x)$ de $ln (1 + x)$ para obtener una serie de potencias para $ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .$ Evalúe en $x = \frac{1}{3} .$ ¿Cuál es el menor N tal que la enésima suma parcial de esta serie se aproxime a $ln (2)$ con un error inferior a 0,001?

En los siguientes ejercicios, utilizando una sustitución si se indica, exprese cada serie en términos de funciones elementales y calcule el radio de convergencia de la suma.

104.

$\sum_{k = 0}^{\infty} (x^{k} - x^{2 k + 1})$ grandes.

105.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k}}{6 k}$

106.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(1 + x^{2})}^{− k}$ utilizando $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

107.

$\sum_{k = 1}^{\infty} 2^{− k x}$ utilizando $y = 2^{− x}$

108.

Demuestre que, hasta las potencias x³ y y³, $E (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ satisface $E (x + y) = E (x) E (y) .$

109.

Diferencie las series $E (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ término a término para demostrar que $E (x)$ es igual a su derivada.

110.

Demuestre que si $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ es una suma de potencias pares, es decir, $a_{n} = 0$ si n es impar, entonces $F = \int_{0}^{x} f (t) d t$ es una suma de potencias impares, mientras que si f es una suma de potencias impares, entonces F es una suma de potencias pares.

111.

[T] Supongamos que los coeficientes a_n de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ se definen por la relación de recurrencia $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n} + \frac{a_{n - 2}}{n (n - 1)} .$ Para $a_{0} = 0$ y $a_{1} = 1,$ calcule y grafique las sumas $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}$ para $N = 2, 3, 4, 5$ en $[−1, 1] .$

112.

[T] Supongamos que los coeficientes a_n de la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ se definen por la relación de recurrencia $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{\sqrt{n}} - \frac{a_{n - 2}}{\sqrt{n (n - 1)}} .$ Para $a_{0} = 1$ y $a_{1} = 0,$ calcule y grafique las sumas $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}$ para $N = 2, 3, 4, 5$ en $[−1, 1] .$

113.

[T] Dada la expansión en serie de potencias $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n},$ determine cuántos términos N de la suma evaluada en $x = −1 / 2$ son necesarios para aproximar $ln (2)$ con una precisión de 1/1.000. Evalúe la suma parcial correspondiente $\sum_{n = 1}^{N} {(–1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} .$

114.

[T] Dada la expansión en serie de potencias ${tan}^{–1} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1},$ utilice la prueba de series alternadas para determinar cuántos términos N de la suma evaluada en $x = 1$ son necesarios para aproximar ${tan}^{–1} (1) = \frac{π}{4}$ con una precisión de 1/1000. Evalúe la suma parcial correspondiente $\sum_{k = 0}^{N} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1} .$

115.

[T] Recordemos que ${tan}^{–1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{π}{6} .$ Suponiendo un valor exacto de $(\frac{1}{\sqrt{3}}),$ estime $\frac{π}{6}$ mediante la evaluación de sumas parciales $S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ de la expansión en serie de potencias ${tan}^{–1} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(–1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$ en $x = \frac{1}{\sqrt{3}} .$ ¿Cuál es el menor número N tal que $6 S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}})$ se aproxime a π con una precisión de 0,001? ¿Cuántos términos se necesitan para tener una exactitud de 0,00001?