Zadania dodatkowe

72.

Pole wektorowe $\vec{E}$ (niekoniecznie pole elektryczne; sprawdź jednostki) jest dane wyrażeniem $\vec{E} = 3 x^{2} \hat{k}$ . Oblicz $\iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S$ , gdzie $S$ jest powierzchnią pokazaną poniżej. Przyjmij, że $\hat{n} = \hat{k}$ .

Rysunek przedstawia kwadrat S o bokach długości a na płaszczyźnie xy.

73.

Ponownie rozwiąż poprzednie zadanie dla $\vec{E} = 2 x \hat{i} + 3 x^{2} \hat{k}$ .

74.

Kołowa powierzchnia $S$ umieszczona koncentrycznie z początkiem układu ma promień $a$ i leży w płaszczyźnie $y⁣ z$ . Oblicz $\iint_S \vec{E} \cdot \hat{n} \d S$ dla $\vec{E} = 3 z^{2} \hat{i}$ ..

75.

Oblicz strumień pola elektrycznego o natężeniu $\vec{E} = E_{0} \hat{k}$ przez otwartą, półkolistą powierzchnię (zob. rysunek poniżej);
Ile będzie wynosił strumień przez półkulę, gdy obrócimy tę powierzchnię o $90 °$ wokół osi $x$ ?

Pokazana jest półkula o promieniu R z podstawą xy ze środkiem w początku układu współrzędnych. Biegnąca obok strzałka jest oznaczona wektor E równy E0 k z daszkiem.

76.

Przypuśćmy, że natężenie pola elektrycznego odizolowanego ładunku punktowego jest proporcjonalne do $1 ∕ r^{2 + σ}$ , a nie do $1 ∕ r^{2}$ . Wyznacz strumień przechodzący przez powierzchnię sfery o promieniu $R$ , której środek pokrywa się z ładunkiem. Czy prawo Gaussa nadal obowiązuje?

77.

Natężenie pola elektrycznego jest dane jako $\vec{E} = a ∕ (b + c x) \cdot \hat{i}$ , gdzie $a = 200 N m ∕ C$ , $b = 2 m$ i $c = 2 m$ . Jaki jest wypadkowy ładunek zamknięty w zaznaczonej na rysunku poniżej objętości?

Rysunek przedstawia prostopadłościan z narożnikiem w początku układu współrzędnych. Jego długość wzdłuż osi x wynosi 2 m, wzdłuż osi y 1,5 m, a wzdłuż osi z 1 m. Poza prostopadłościanem narysowana jest strzałka leżąca wzdłuż osi x. Jest oznaczona wektorem E.

78.

Dwa równe i przeciwne ładunki $Q$ są umieszczone na osi $x$ w punktach $+ a$ i $- a$ , jak pokazano poniżej. Jaki jest wypadkowy strumień pola elektrycznego tych ładunków przez kwadratową powierzchnię o boku $2 a$ , która leży w płaszczyźnie $y⁣ z$ i której środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych? Wskazówka: Wyznacz oddzielnie strumień od każdego z ładunków, a następnie skorzystaj z zasady superpozycji. Będziesz mógł podać uzasadnienie wynikające z symetrii.

Pokazany jest zaciemniony kwadrat w płaszczyźnie yz z centrum w początku układu współrzędnych. Bok równoległy do osi z oznaczony jest 2a. Pokazany jest ładunek plus Q na dodatniej osi x oddalony o a od środka układu współrzędnych i ładunek minus Q na ujemnej osi x oddalony o a od środka układu współrzędnych.

79.

Kolega student obliczył strumień przez powierzchnię kwadratu dla układu z poprzedniego zadania i otrzymał zero. Jaki błąd popełnił?

80.

Kawałek aluminiowej folii o wymiarach $10 cm \times 10 cm$ i grubości $0,1 mm$ posiada ładunek $20 µC$ równomiernie rozłożony na obu dużych powierzchniach. Ładunki na cienkich bokach folii możesz pominąć.

Znajdź gęstość ładunku;
Znajdź natężenie pola elektrycznego 1 cm od środka, zakładając symetrię płaszczyznową.

81.

Dwa kawałki folii aluminiowej, każdy o wymiarach $10 cm \times 10 cm$ i grubości $0,1 mm$ są ustawione naprzeciw siebie w odległości $5 mm$ . Jedna z folii posiada ładunek $+ 30 µC$ , a druga $- 30 µC$ .

Znajdź gęstość ładunku na wszystkich powierzchniach, to znaczy na tych zwróconych do siebie i na oddalonych od siebie;
Znajdź natężenie pola elektrycznego pomiędzy płaszczyznami w środku, przyjmując symetrię płaszczyznową.

82.

Dwie duże, umieszczone naprzeciw siebie miedziane płyty posiadają gęstości ładunku $\pm 4 C ∕ m^{2}$ na powierzchni zwróconej w stronę drugiej płyty i zero pomiędzy płytami. Znajdź strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o wymiarach $3 cm \times 4 cm$ umieszczoną pomiędzy płytami, jak pokazano na rysunku poniżej, dla następujących ustawień powierzchni:

gdy powierzchnia jest równoległa do płyt;
gdy powierzchnia jest odchylona o kąt $θ = 30 °$ od ustawienia równoległego. Zauważ, że ten kąt można podać jako $θ = 180 ° + 30 °$ .

Rysunek przedstawia dwie równoległe płyty i przerywaną linię poprowadzoną dokładnie między nimi i równoległą do nich. Trzecia płytka tworzy kąt theta z linią przerywaną.

83.

Nieskończona płyta ograniczona płaszczyznami $z = - a ∕ 2$ i $z = a ∕ 2$ posiada jednorodną objętościową gęstość ładunku $ρ$ (zob. rysunek poniżej). Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten rozkład ładunku zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz rozkładu?

Rysunek przedstawia prostopadłościan z centrum w początku układu współrzędnych. Strzałki prostopadłe do powierzchni prostopadłościanu są skierowane na zewnątrz. Strzałki wzdłuż dodatniej x i y zmierzają do nieskończoności, a strzałki wzdłuż ujemnej x i y do minus nieskończoności. Prostopadłościan jest oznaczony ro. Jego górna powierzchnia jest oznaczona z równe plus a przez dwa, a dolna powierzchnia oznaczona jest z równe minus a przez 2.

84.

Ładunek $Q$ jest rozłożony równomiernie w sferycznej objętości, której środek znajduje się w $O_{1}$ i która ma promień $R$ . Z kulistej objętości usuwamy część ładunku, przy czym ta usunięta część ładunku ma objętość kuli o środku w $O_{2}$ (zob. rysunek poniżej). Wykaż, że natężenie pola elektrycznego wszędzie w pustym obszarze jest dane przez $\vec{E} = Q / (4\pi \epsilon_0 R^3) \cdot \vec{r}$ , gdzie $\vec{r}$ jest wektorem skierowanym od $O_{1}$ do $O_{2}$ .

Rysunek przedstawia koło o środku O1 i promieniu R. Wewnątrz znajduje się inne mniejsze koło o środku O2. Strzałka z O1 do O2 oznaczona jest wektor r.

85.

Nieprzewodząca, sferyczna powłoka o wewnętrznym promieniu $a_{1}$ i promieniu zewnętrznym $b_{1}$ , naładowana jednorodnie z gęstością ładunku $ρ_{1}$ znajduje się wewnątrz innej nieprzewodzącej, sferycznej powłoki o wewnętrznym promieniu $a_{2}$ i promieniu zewnętrznym $b_{2}$ , także jednorodnie naładowanej z gęstością ładunku $ρ_{2}$ , jak pokazano na poniższym rysunku. Znajdź natężenie pola elektrycznego w punkcie $P$ odległym o $r$ od wspólnego środka, gdy:

$r > b_{2}$ ;
$a_{2} < r < b_{2}$ ;
$b_{1} < r < a_{2}$ ;
$a_{1} < r < b_{1}$ ;
$r < a_{1}$ .

Rysunek przedstawia dwie koncentryczne okrągłe powłoki. Wewnętrzne i zewnętrzne promienie mniejszej powłoki to a1 i odpowiednio b2. Wewnętrzne i zewnętrzne promienie powłoki zewnętrznej to odpowiednio a2 i b2. Odległość od środka do punktu P leżącego między dwiema powłokami oznaczona jest r.

86.

Dwie nieprzewodzące kule o promieniach $R_{1}$ i $R_{2}$ są jednorodnie naładowane z gęstościami ładunku odpowiednio $ρ_{1}$ i $ρ_{2}$ . Ich środki są oddalone o $a$ (zob. rysunek poniżej). Znajdź natężenie pola elektrycznego w punkcie $P$ znajdującym się w odległości $r$ od środka kuli $1$ pod kątem $θ$ od linii łączącej kule, zakładając, że ich rozkłady ładunku nie są zaburzane przez obecność drugiej kuli. Wskazówka: Wykonaj obliczenia pojedynczo dla każdej kuli i skorzystaj z zasady superpozycji.

Pokazane są dwa okręgi znajdujące się obok siebie ze środkami w odległości a. Większy okrąg ma promień R1 a mniejszy ma promień R2. Pokazana jest strzałka r ze środka większego okręgu do punktu P na zewnątrz okręgu. r tworzy z a kąt theta.

87.

Krążek o promieniu $R$ został wycięty z nieprzewodzącej dużej płyty, która jest naładowana jednorodnie z gęstością ładunku $σ$ ( $C ∕ m^{2}$ ), jak pokazano na poniższym rysunku. Znajdź natężenie pola elektrycznego na wysokości $h$ powyżej środka krążka. ( $h ≫ R$ , $h \ll l$ lub $h \ll w$ ). Wskazówka: Wypełnij otwór z $\pm σ$ .

Płyta o długości l i szerokości w ma w środku okrągły otwór. Punkt P leży ponad płaszczyzną w odległości h od środka otworu.

88.

Koncentrycznie umieszczone sferyczne powłoki są obdarzone łądunkiem odpowiednio $Q$ i $- Q$ (zob. rysunek poniżej). Wewnętrzna powłoka ma pomijalną grubość. Wyznacz natężenie pola elektrycznego dla

$r < a$ ;
$a < r < b$ ;
$b < r < c$ ;
$r > c$ .

Pokazany jest przekrój dwóch sferycznych powłok. Wewnętrzna powłoka ma promień a. Jest oznaczona literą Q i ma znaki plus dookoła. Zewnętrzna powłoka ma promień wewnętrzny b i zewnętrzny c. Jest oznaczona minus Q ima znaki minus dookoła.

89.

Na rysunku poniżej pokazane są dwie współśrodkowe przewodzące powłoki o promieniach $R_{1}$ i $R_{2}$ , każda o grubości dużo mniejszej od ich promieni. Wewnętrzna i zewnętrzna powłoka mają wypadkowe ładunki odpowiednio $q_{1}$ i $q_{2}$ , gdzie oba ładunki $q_{1}$ i $q_{2}$ są dodatnie. Jakie jest natężenie pola elektrycznego dla

$r < R_{1}$ ;
$R_{1} < r < R_{2}$ ;
$r > R_{2}$ ?
Jaki jest wypadkowy ładunek na wewnętrznej powierzchni wewnętrznej powłoki, na zewnętrznej powierzchni wewnętrznej powłoki, na wewnętrznej powierzchni zewnętrznej powłoki i na zewnętrznej powierzchni zewnętrznej powłoki?

Rysunek przedstawia przekrój dwóch koncentrycznych sferycznych powłok. Wewnętrzna ma promień R1, zewnętrzna ma promień R2.

90.

Ładunek punktowy $q = 5 \cdot 10^{-8} C$ jest umieszczony w środku nienaładowanej, sferycznej, przewodzącej powłoki o wewnętrznym promieniu $6 cm$ i o promieniu zewnętrznym $9 cm$ . Znajdź natężenie pola elektrycznego dla

$r = 4 cm$ ;
$r = 8 cm$ ;
$r = 12 cm$ .
Jakie ładunki zostały wyindukowane na wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni powłoki?