Zadania trudniejsze

75.

Miedzianemu przewodowi o długości $L$ nadano kształt kołowej cewki o $N$ zwojach. Płaszczyznę tej cewki przenika zmienny w czasie strumień magnetyczny. Przy jakiej wartości liczby $N$ indukowana w cewce siła elektromotoryczna będzie maksymalna?

76.

Miedziany arkusz o masie $0,5 kg$ spada w poziomym, jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji równej $1,5 T$ . Wartość końcowej prędkości tego spadku wynosi $2 m ∕ s$ .

Oblicz wypadkową siłę magnetyczną działającą na arkusz poruszający się z końcową prędkością spadku;
Opisz mechanizm powstawania tej siły;
Oblicz moc wydzielaną w postaci ciepła Joule’a podczas ruchu arkusza z prędkością końcową.

77.

Okrągły miedziany dysk o promieniu $7,5 cm$ obraca się z prędkością $2400 obr ∕ \min$ wokół osi przechodzącej przez środek tegoż dysku i prostopadłej do jego płaszczyzny. Dysk umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym, którego wektor indukcji $\vec{B}$ jest równoległy do osi obrotu. Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy obrzeżem dysku a jego osią, jeżeli wartość indukcji magnetycznej wynosi $1,2 T$ .

78.

Przedstawiony na poniższym rysunku krótki pręt o długości $a$ porusza się z prędkością $\vec{v}$ , równolegle do nieskończonego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu $I$ . Odległość bliższego końca pręta od tego przewodu wynosi $b$ . Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pręcie.

Rysunek przedstawia fragment pionowego, prostoliniowego przewodu, w którym - w kierunku ku dołowi rysunku – płynie prąd o natężeniu I. Po lewej stronie tegoż przewodu, na płaszczyźnie rysunku – znajduje się poziomy, krótki odcinek pręta o szerokości a. Prawy koniec tego pręta, bliższy pionowego przewodu – znajduje się w odległości b od przewodu. Odcinek pręta porusza się pionowo ku dołowi rysunku – z prędkością v, której wektor zaznaczono na rysunku.

79.

Przedstawiony na poniższym rysunku prostokątny obwód elektryczny zawierający rezystor o wartości $R$ odsuwa się z prędkością $\vec{v}$ od długiego, prostoliniowego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu $I_{0}$ . Wyprowadź równanie opisujące natężenie prądu indukowanego w obwodzie w funkcji odległości $x$ pomiędzy przewodem a bliższym bokiem tego obwodu.

Rysunek przedstawia fragment pionowego, prostoliniowego przewodu, w którym w kierunku ku górze rysunku – płynie prąd o natężeniu I. Po prawej stronie tegoż przewodu, na płaszczyźnie rysunku – znajduje się pionowa, prostokątna ramka. Dłuższe boki ramki o długości a są równoległe do pionowego przewodu. Krótsze, poziome boki ramki – mają długość a. Lewy, bliższy przewodowi bok ramki jest przerwany. W przerwę włączony jest rezystor R. Odległość tego boku ramki od przewodu wynosi x. Ramka odsuwa się od pionowego przewodu, poruszając się w poziomie, ku prawej stronie rysunku. Prędkość ruchu ramki wynosi v, a jej wektor jest zaznaczony na rysunku.

80.

Dwa nieskończenie długie solenoidy przecinają płaszczyznę obwodu elektrycznego w sposób pokazany na rysunku. Promienie solenoidów wynoszą odpowiednio $0,1 m$ i $0,2 m$ . Natężenie prądu płynącego w każdym z solenoidów zmienia się tak, że szybkość zmiany wartości indukcji magnetycznej $d B ∕ d t = 0,5 T ∕ s$ . Oblicz natężenia prądów w każdym z rezystorów tego obwodu.

Rysunek przedstawia dwa poprzeczne przekroje nieskończonych solenoidów, umieszczone jeden nad drugim. Przekrój dolnego solenoidu wypełnia jednorodne pole magnetyczne, prostopadłe do płaszczyzny rysunku i skierowane w kierunku do tej płaszczyzny. Górny przekrój solenoidu, o średnicy około dwukrotnie mniejszej od średnicy dolnego przekroju – wypełnia jednorodne pole magnetyczne. Pole to jest prostopadłe do płaszczyzny rysunku i skierowane w kierunku od tej płaszczyzny. Przekroje znajdują się we wnętrzu oczek obwodu elektrycznego, którego schemat ma formę linii, tworzących prostokąt o poziomych krótszych bokach. W krótszy bok prostokąta, u góry rysunku, ponad przekrojem solenoidu o mniejszej średnicy – włączony jest rezystor o wartości 4 omów. Poniżej tego przekroju, ponad przekrojem o większej średnicy – dłuższe, pionowe boki obwodu połączone są ze sobą narysowanym poziomo rezystorem o wartości 8 omów. W krótszy bok prostokąta, u dołu rysunku, poniżej przekroju solenoidu o większej średnicy – włączony jest rezystor o wartości 4 omów.

81.

Poniższy rysunek przedstawia ośmiozwojową cewkę ciasno nawiniętą wokół bocznej powierzchni długiego solenoidu. Solenoid nawinięto z gęstością 10 zwojów na centymetr długości, a jego promień wynosi $2 cm$ . W uzwojeniu solenoidu płynie prąd, którego natężenie rośnie w czasie zgodnie z funkcją $I = I_{0} (1 - e^{- α t})$ , gdzie $I_{0} = 4 A$ i $α = {2 \cdot 10^{- 2} s}^{- 1}$ . Wyznacz siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce, gdy

$t = 0 s$ ;
$t = 10^{2} s$ ;
$t ⟶ \infty$ .

Rysunek przedstawia perspektywiczny widok długiego, smukłego solenoidu. Na solenoidzie, w połowie jego długości – nawinięta jest ciasno kilkuzwojowa cewka.

82.

Poniżej przedstawiono długą prostokątną ramkę o szerokości $a$ , długości $b$ , masie $m$ i rezystancji $R$ . Ramka, początkowo spoczywająca przy granicy obszaru jednorodnego pola magnetycznego o indukcji $\vec{B}$ , pod działaniem stałej siły $\vec{F}$ wnika w ten obszar. Wyznacz prędkość ramki w funkcji czasu.

Rysunek przedstawia kwadratowy obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. Równolegle do płaszczyzny rysunku – znajduje się prostokątna ramka. Krótsze, pionowe boki ramki mają długość a. Dłuższe boki ramki są poziome. Ramka znajduje się z prawej strony obszaru pola. Lewy bok ramki znajduje się tuż przy prawej granicy tego obszaru. W połowie długości krótszego, prawego, pionowego boku ramki – przyłożony jest poziomy wektor siły F. Wektor ten zwrócony jest ku lewej stronie rysunku.

83.

Belka o masie $m$ , rezystancji $R$ i przekroju kwadratowym ześlizguje się bez tarcia po bardzo długich, równoległych przewodzących szynach, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Odległość pomiędzy szynami wynosi $l$ , a ich końce u podnóża utworzonej w ten sposób równi pochyłej połączone są odcinkiem przewodu. Szyny nachylone są do poziomu pod kątem $θ$ , a układ znajduje się w pionowym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ .

Wykaż, że zsuwająca się belka osiągnie graniczną prędkość $v = mgR\sin \theta /(B^2 l^2 \cos^2 \theta)$ ;
Oblicz pracę wykonaną w jednostce czasu przez siłę ciężkości;
Jaki będzie skutek odwrócenia wektora indukcji $\vec{B}$ ? Przyjmij, że rezystancja szyn oraz łączącego je przewodu jest pomijalnie mała.

Rysunek przedstawia perspektywiczny widok dwóch równoległe do siebie, prostoliniowych, przewodzących szyn. Odległość między szynami wynosi l. Szyny nachylone są ku dołowi rysunku i tworzą z poziomem rysunku ostry kąt teta. Po szynach zsuwa się przewodząca belka, łącząca obie szyny i umieszczona prostopadle do tych szyn. Na rysunku zaznaczony jest wektor, przyłożony prostopadle do belki, w połowie jej długości. Wektor zwrócony jest w kierunku prawego, dolnego boku rysunku. Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Linie sił tego pola są pionowe i zwrócone ku górze rysunku.

84.

Poniższy rysunek przedstawia metalowy pierścień, którego wewnętrzny promień wynosi $r_{1}$ , a promień zewnętrzny równy jest $r_{2}$ . Pierścień obraca się z prędkością kątową $ω$ wokół osi przechodzącej przez jego środek i umieszczony jest w jednorodnym, równoległym do tej osi polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ . Do wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni pierścienia przylegają szczotki, które połączono z woltomierzem. Co wskazuje woltomierz?

Rysunek przedstawia perspektywiczny widok grubego, poziomego pierścienia. Do wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni pierścienia przylegają szczotki, które połączono z woltomierzem. Pierścień obraca się z prędkością kątową omega wokół osi, przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do jego płaszczyzny. Kierunek obrotów pierścienia jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Pierścień umieszczony jest w jednorodnym, pionowym polu magnetycznym o indukcji B, zwróconym ku górze rysunku.

85.

Długi solenoid nawinięty z gęstością $10$ zwojów na centymetr długości umieszczono współosiowo wewnątrz miedzianego pierścienia. Promień pierścienia wynosi $10 cm$ , a promień solenoidu jest równy $5 cm$ .

Oblicz siłę elektromotoryczną indukowaną w pierścieniu, jeżeli natężenie prądu w solenoidzie $I = 5 A$ i zmienia się w czasie z szybkością $d I ∕ d t = 100 A ∕ s$ ;
Oblicz SEM indukowaną w pierścieniu, jeżeli $I = 2 A$ , przy niezmienionej wartości $d I ∕ d t$ ;
W obu przypadkach określ wartość natężenia pola elektrycznego wewnątrz tego pierścienia;
Przyjmijmy, że pierścień przemieszczono względem solenoidu tak, że ich osie pozostają równoległe, ale nie pokrywają się, przy czym solenoid znajduje się nadal wewnątrz pierścienia. Jaka jest teraz wartość SEM indukowanej w tym pierścieniu?
Czy możliwe jest obecnie obliczenie natężenia pola elektrycznego wewnątrz pierścienia w sposób taki, jak w części (c) zadania?

86.

Natężenie prądu w długim prostoliniowym przewodzie przedstawionym na załączonym rysunku zmienia się w czasie zgodnie z formułą $I = I_{0} sin (ω t)$ , w której $I_{0} = 15 A$ , a $ω = 100 π rad ∕ s$ . Oblicz natężenie prądu indukowanego w prostokątnej ramce w chwili

$t = 0 s$ ;
$t = 2,1 \cdot 10^{- 3} s$ .

87.

Pięćsetzwojowa cewka o powierzchni $0,25 m^{2}$ obraca się w ziemskim polu magnetycznym o wartości indukcji równej $5 \cdot 10^{- 5} T$ . Maksymalna wartość indukowanej w cewce siły elektromotorycznej wynosi wówczas $12 kV$ .

Z jaką prędkością kątową obraca się cewka?
Czy obliczona wartość jest możliwa do osiągnięcia?
Który z warunków zadania powoduje taki wynik?

88.

Wykonaną z drutu kołową pętlę o promieniu $10 cm$ zaopatrzono w pionową oś i umieszczono w jednorodnym, prostopadłym do tejże osi polu magnetycznym o wartości indukcji wynoszącej $2 \cdot 10^{- 4} T$ . Pętla obraca się wokół tej osi z częstotliwością $5 Hz$ .

Wyprowadź wyrażenie opisujące zmianę w czasie strumienia magnetycznego przenikającego pętlę;
Wyraź w funkcji czasu natężenie prądu płynącego w pętli, jeżeli jej rezystancja wynosi $10 Ω$ .

89.

W długim solenoidzie o promieniu $a$ nawiniętym z gęstością $n$ zwojów na jednostkę długości płynie prąd zmienny o natężeniu opisanym funkcją $I (t) = I_{0} sin (ω t)$ , w której $I_{0}$ oraz $ω$ są stałymi. Solenoid otacza dwuzwojowa pętla wykonana z drutu o rezystancji $R$ . Promień pętli $b$ jest większy od promienia solenoidu ( $b > a$ ). Wyznacz natężenie prądu indukowanego w tej pętli w chwili $t = 0 s$ .

90.

Prostokątna miedziana ramka o masie równej $100 g$ i rezystancji wynoszącej $0,2 Ω$ znajduje się w obszarze jednorodnego pola magnetycznego. Pole magnetyczne jest prostopadłe do powierzchni tej ramki i równoległe do powierzchni Ziemi, jak przedstawiono na poniższym rysunku. W położeniu spoczynkowym dolna krawędź ramki znajduje się na granicy obszaru występowania pola magnetycznego, a w chwili $t = 0 s$ ramka zaczyna opadać.

Wyprowadź wyrażenie opisujące prędkość ramki w chwili, gdy opuszcza ona obszar pola;
Oblicz czas, w którym ramka opuści obszar tego pola. Przyjmij następujące wartości liczbowe: $a = 25 cm$ , $b = 50 cm$ , $B = 3 T$ , $g = 9,8 m ∕ s^{2}$ . Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do $B = 3 T$ .

Części a oraz b rysunku przedstawiają kwadratowy obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest do płaszczyzny rysunku. Na rysunku, w jego płaszczyźnie – znajduje się prostokątna ramka. Dłuższe, pionowe boki ramki mają długość b. Krótsze boki ramki są poziome, a ich długość wynosi a. Część a rysunku przedstawia położenie ramki w chwili t=0. Dolny, krótszy bok ramki znajduje się na dolnej granicy obszaru pola magnetycznego, a ramka w całości znajduje się w tym obszarze. Część b rysunku przedstawia położenie ramki w chwili, w której, przemieszczając się ku dołowi rysunku – opuszcza ona w całości obszar pola. Górny, poziomy, krótszy bok ramki znajduje się wówczas na granicy tego obszaru W połowie długości krótszego, dolnego, poziomego boku ramki – przyłożony jest pionowy wektor prędkości v. Wektor ten zwrócony jest ku dołowi rysunku. Na rysunku zaznaczony jest także pionowy, zwrócony ku dołowi tegoż rysunku – wektor przyspieszenia ziemskiego g.

91.

Metalowy pręt o masie $m$ może ślizgać się bez tarcia po dwóch równoległych szynach odległych od siebie o $D$ . Układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji $B_{0}$ , prostopadłym do płaszczyzny, na której leżą szyny, jak przedstawiono na poniższym rysunku. Obie szyny połączone są na jednym z końców rezystorem, którego rezystancja jest znacznie większa niż rezystancja szyn i pręta. W pewnej chwili prętowi nadano prędkość początkową $v_{0}$ i stwierdzono następnie, że jego prędkość systematycznie spada. Oblicz odległość, którą przebędzie pręt do chwili zatrzymania się. Załóż, że wartość indukcji pola magnetycznego wzbudzanego prądu jest pomijalnie mała w stosunku do $B_{0}$ .

Rysunek przedstawia prostokątny obszar, w którym istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B – prostopadłe do płaszczyzny tegoż rysunku. Pole to zwrócone jest od płaszczyzny rysunku. Dłuższe boki obszaru tegoż pola są poziome. W obszarze pola, w odległości D od siebie – umieszczone są poziome, przewodzące szyny. Lewe końce szyn połączone są ze sobą rezystorem R. Na szynach, w pewnej odległości a od ich lewych końców – umieszczony jest przewodzący pręt. Pręt ten jest prostopadły do szyn. Pręt porusza się w poziomie, ku prawej stronie rysunku, z prędkością v, której wektor zaznaczony jest na rysunku.

92.

Zależne od czasu pole magnetyczne o indukcji $B (t)$ wypełnia cylindryczny obszar o promieniu $R$ . Wewnątrz tego obszaru, na płaszczyźnie jego przekroju poprzecznego, w pewnej odległości od średnicy przekroju, umieszczono przewodzący pręt o długości $2 D$ , tak że końce pręta znajdują się na granicy obszaru pola. Wykaż, że siła elektromotoryczna pomiędzy końcami tego pręta opisana jest formułą: $d B ∕ d t \cdot D \sqrt{R^{2} - D^{2}}$ . Przyjmij, że pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny przekroju i jest do niej zwrócone. (Wskazówka: Aby znaleźć SEM pomiędzy końcami pręta, należy obliczyć całkę z natężenia pola elektrycznego po długości tegoż pręta. Pole elektryczne można określić, korzystając z postaci prawa Faradaya, znanego pod nazwą „prawa Ampère’a dla natężenia pola elektrycznego”).