Zadania

6.1 Strumień pola elektrycznego

20.

Jednorodne pole elektryczne o natężeniu $1,1 \cdot 10^{4} N ∕ C$ jest prostopadłe do kwadratowej powierzchni o boku długości $2 m$ . Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przez tę powierzchnię?

21.

Oblicz strumień przez powierzchnię z poprzedniego zadania w sytuacji, gdy płaszczyzna tworzy kąt $60 °$ z kierunkiem pola. Znajdź strumień dla obu zwrotów wersora normalnego do powierzchni.

22.

Znajdź strumień natężenia pola elektrycznego przez prostokątną powierzchnię o wymiarach $3 cm \times 2 cm$ , znajdującą się pomiędzy dwoma płytami, między którymi występuje stałe pole elektryczne o natężeniu $30 N ∕ C$ dla następujących ustawień tej powierzchni:

równolegle do płyt;
prostopadle do płyt;
normalna do powierzchni tworzy kąt $30 °$ z kierunkiem pola elektrycznego. Zauważ, że ten kąt może być także podany jako równy $180 ° + 30 °$ .

23.

Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię w kształcie kwadratu o boku $5 cm$ , umieszczoną w pobliżu dużej naładowanej płyty, wynosi $3 \cdot 10^{-5} N m^{2} ∕ C$ , gdy powierzchnia jest ustawiona równolegle do płyty. Znajdź gęstość powierzchniową ładunku płyty.

24.

Dwie duże, prostokątne płyty aluminiowe o powierzchni $150 {cm}^{2}$ ustawione są naprzeciw siebie w odległości $3 mm$ od siebie. Płyty naładowane są ładunkami jednakowymi co do wartości, ale o przeciwnych znakach, $\prefop{\pm} \SI{20}{\micro\coulomb}$ . Ładunki na płytach znajdują się naprzeciw siebie. Znajdź strumień przechodzący przez koło o promieniu $3 cm$ , umieszczone pomiędzy płytami, gdy normalna do powierzchni koła tworzy kąt $5 °$ z linią prostopadłą do płyt. Zauważ, że ten kąt może być również podany jako równy $180 ° + 5 °$ .

25.

Kwadrat o powierzchni $2 {cm}^{2}$ znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu $10^{3} N ∕ C$ . Wielkość strumienia przez ten kwadrat zależy od jego ustawienia względem kierunku pola elektrycznego. Znajdź strumień natężenia pola elektrycznego przez kwadrat, gdy normalna do jego powierzchni tworzy następujące kąty z polem elektrycznym:

$30 °$ ;
$90 °$ ;
$0 °$ .

Zauważ, że te kąty mogą być też podane jako równe $180 ° + θ$ .

26.

Pole wektorowe jest skierowane wzdłuż osi $z$ , $\vec{v} = \alpha / (x^2 + y^2) \cdot \hat{k}$ .

Znajdź strumień pola wektorowego przez prostokąt znajdujący się w płaszczyźnie $x⁣ y$ pomiędzy $a < x < b$ oraz $c < y < d$ ;
Wykonaj te same obliczenia dla prostokąta w płaszczyźnie $y⁣ z$ , znajdującego się pomiędzy $a < z < b$ oraz $c < y < d$ (podaj swoją odpowiedź w postaci całki).

27.

Rozważ jednorodne pole elektryczne o natężeniu

\vec{E} = \SI{4e3}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{j} + \SI{3e3}{\newton\per\coulomb} \cdot \hat{k} \text{.}

Jaki jest strumień natężenia tego pola elektrycznego przez kołową powierzchnię o promieniu $2 m$ , która znajduje się w płaszczyźnie $x⁣ y$ ?

28.

Powtórz obliczenia dla powierzchni kołowej znajdującej się

w płaszczyźnie $y⁣ z$ ;
pod kątem $45 °$ powyżej płaszczyzny $x⁣ y$ .

29.

Nieskończenie długi drut naładowany z gęstością liniową ładunku $λ$ został umieszczony na osi symetrii cylindrycznej powierzchni o promieniu $r$ i długości $l$ . Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego, wytworzonego przez naładowany drut, przez tę powierzchnię?

6.2 Wyjaśnienie prawa Gaussa

30.

Wyznacz strumień natężenia pola elektrycznego przez każdą z powierzchni, których przekroje są pokazane poniżej.

Na rysunku pokazany jest nieregularny kształt S1. Wewnątrz znajdują się nieregularne kształty oznaczone S2, S3, S4 i S6 oraz czworobok oznaczony S5. Wszystkie zachodzą nawzajem na siebie. Pokazany jest ładunek minus 2q we wspólnym obszarze S1, S2 i S4. Pokazany jest ładunek ujemny 2q we wspólnym obszarze S1, S4 i S5. Pokazany jest ładunek dodatni q we wspólnym obszarze S1 i S3. Pokazany jest ładunek dodatni 3q we wspólnym obszarze S1 i S6.

31.

Znajdź natężenie pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię, której przekroje są pokazane poniżej.

Rysunek a przedstawia nieregularny kształt z ładunkiem dodatnim wewnątrz oznaczonym 3 razy 10 do potęgi minus 8 C. Poza nim znajduje się ładunek ujemny oznaczony minus 2 razy 10 do potęgi minus 8 C. Rysunek b przedstawia nieregularny kształt z trzema ładunkami umieszczonymi poza nim. Są to plus 4 razy 10 do potęgi minus 6 C, plus 5 razy 10 do potęgi minus 6 C i minus 3 razy 10 do potęgi minus 6 C. Na rysunku c przedstawiony jest kwadrat o boku długości równej a. Znajduje się w nim ładunek minus 2 razy 10 do potęgi minus 6. Rysunek d przedstawia zacieniony pasek z ładunkami dodatnimi blisko obu krawędzi od ich strony wewnętrznej. Oznaczony jest jako przewodnik. Strzałki wskazują kierunek na zewnątrz z obu końców paska. Są opatrzone znakiem nieskończoności. Po jednej stronie paska znajduje się mały prostokątny element. Zaznaczona jest jego zewnętrzna krańcowa krawędź jako powierzchnia zamykająca równa 4 razy 10 do potęgi minus 4 m kwadratowe. Pasek oznaczony jest sigma równe 2 razy 10 do potęgi minus 6 C przez m kwadratowy.

32.

Ładunek punktowy $q$ został umieszczony w środku sześcianu o krawędziach długości $a$ . Jeżeli w układzie nie występują inne ładunki, to jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez jedną ściankę sześcianu?

33.

Ładunek punktowy $10 µC$ znajduje się wewnątrz sześcianu o boku $2 cm$ . Znajdź wypadkowy strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię sześcianu.

34.

Wypadkowy strumień $10^{4} N m^{2} ∕ C$ przenika do wnętrza przez powierzchnię sfery o promieniu $5 cm$ .

Jak duży ładunek znajduje się wewnątrz sfery?
W jaki sposób możemy na podstawie tej informacji określić dokładnie położenie ładunku?

35.

Ładunek $q$ został umieszczony w jednym z narożników sześcianu o boku $a$ , jak pokazano na rysunku poniżej. Wyznacz wartość strumienia natężenia pola elektrycznego przechodzącego przez zaznaczoną (pociemnioną) ściankę, wytworzonego przez ładunek $q$ . Przyjmij $q > \SI{0}{\coulomb}$ .

Na rysunku pokazany jest sześcian, którego każdy z boków ma długość a. Powierzchnia tylna jest zaciemniona. W jednym z narożników z przodu sześcianu znajduje się ładunek q.

36.

Strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez sześcienne pudełko o boku $8 cm$ wynosi $1,2 \cdot 10^{3} N m^{2} ∕ C$ . Jaki całkowity ładunek znajduje się w pudełku?

37.

Strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię sferyczną jest równy $4 \cdot 10^{4} N m^{2} ∕ C$ . Jaki jest wypadkowy ładunek otoczony przez tę powierzchnię?

38.

Sześcian o krawędziach długości $d$ został umieszczony w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu $E = 4 \cdot 10^{3} N ∕ C$ , tak że pole elektryczne jest prostopadłe do dwóch przeciwległych ścian sześcianu. Jaki jest wypadkowy strumień przechodzący przez sześcian?

39.

Rozwiąż poprzednie zadanie, zakładając, że pole elektryczne jest skierowane wzdłuż przekątnej sześcianu.

40.

Całkowity ładunek $5 \cdot 10^{-6} C$ jest równomiernie rozłożony w objętości sześcianu o boku długości $8 cm$ .

Jaka jest gęstość ładunku w sześcianie?
Jaki strumień natężenia pola elektrycznego przechodzi przez sześcian o krawędzi $12 cm$ , który jest współśrodkowy z danym rozkładem ładunku?
Wykonaj te same obliczenia dla sześcianów o krawędziach długości $10 cm$ oraz $5 cm$ ;
Jaki jest strumień natężenia pola elektrycznego przez sferyczną powierzchnię o promieniu $3 cm$ , która też jest umieszczona współśrodkowo z danym rozkładem ładunku?

6.3 Stosowanie prawa Gaussa

41.

Przypomnij sobie, że w przykładzie z jednorodnie naładowaną kulą $ρ_{0} = Q ∕ (4 ∕ 3 \cdot π R^{3})$ . Przedstaw rozwiązanie za pomocą całkowitego ładunku $Q$ kuli.

42.

Przypuśćmy, że gęstość ładunku sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku pokazanego na Ilustracji 6.23 wynosi $ρ (r) = ρ_{0} r ∕ R$ dla $r \leq R$ i zero dla $r > R$ . Przedstaw wyrażenia na natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz tego rozkładu.

43.

Bardzo długi, cienki drut jest naładowany z jednorodną gęstością liniową ładunku $50 µC ∕ m$ . Jakie jest natężenie pola elektrycznego w odległości $2 cm$ od drutu?

44.

Ładunek $- 30 µC$ jest rozłożony równomiernie w sferycznej objętości o promieniu $10 cm$ . Wyznacz natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek, w odległości

$2 cm$ ;
$5 cm$ ;
$20 cm$ .

45.

Powtórz obliczenia z poprzedniego zadania, przyjmując, że ładunek jest jednorodnie rozłożony na powierzchni sferycznego przewodnika o promieniu $10 cm$ .

46.

Całkowity ładunek $Q$ jest rozmieszczony równomiernie w sferycznej powłoce o promieniach, odpowiednio wewnętrznym i zewnętrznym, $r_{1}$ i $r_{2}$ . Pokaż, że natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek wynosi

$\vec{E} = 0 V ∕ m$ , gdy $r \leq r_{1}$ ;
$\vec{E} = Q ∕ (4 π ε_{0} r^{2}) \cdot (r^{3} - r_{1}^{3}) ∕ (r_{2}^{3} - r_{1}^{3}) \cdot \hat{r}$ , gdy $r_{1} < r \leq r_{2}$ ;
$\vec{E} = Q ∕ (4 π ε_{0} r^{2}) \cdot \hat{r}$ , gdy $r > r_{2}$ .

47.

Kiedy ładunek zostanie umieszczony na metalowej kuli, to w stanie równowagi gromadzi się on na zewnętrznej powierzchni. Korzystając z tej informacji, wyznacz natężenie pola elektrycznego dla ładunku $+ 3 µC$ umieszczonego na aluminiowej kuli o średnicy $5 cm$ , dla dwóch punktów przestrzeni:

$1 cm$ od środka kuli (punkt wewnątrz kuli);
$10 cm$ od środka kuli (punkt na zewnątrz kuli).

48.

Duża płaszczyzna jest naładowana z jednorodną gęstością ładunku $10 µC ∕ m^{2}$ . Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ten ładunek w punkcie tuż nad powierzchnią płaszczyzny?

49.

Sprawdź, czy przybliżenie symetrii cylindrycznej ma zastosowanie w następujących sytuacjach. Uzasadnij dlaczego.

Długi na $300 cm$ miedziany pręt o promieniu $1 cm$ jest naładowany ładunkiem $+ 500 nC$ . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o $5 cm$ od środka pręta;
Długi na $10 cm$ miedziany pręt o promieniu $1 cm$ jest naładowany ładunkiem $+ 500 nC$ . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o $5 cm$ od środka pręta;
Długi na $150 cm$ drewniany pręt jest przyklejony do plastikowego pręta, tak że tworzą pręt o długości $300 cm$ , który zostaje potem pokryty warstwą naładowanej farby, dzięki czemu uzyskujemy jednorodną gęstość ładunku. Promień każdego z prętów wynosi $1 cm$ . Szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o $4 cm$ od pręta;
Ten sam pręt co w (c), ale tym razem szukamy natężenia pola elektrycznego w punkcie odległym o $500 cm$ od środka pręta.

50.

Długi, pręt ze srebra o promieniu $3 cm$ ma ładunek $- 5 µC ∕ cm$ zgromadzony na powierzchni.

Znajdź natężenie pola elektrycznego w punkcie odległym o $5 cm$ od środka pręta (zewnętrzny punkt);
Znajdź natężenie pola elektrycznego w odległości $2 cm$ od środka pręta (wewnętrzny punkt).

51.

Pole elektryczne w odległości $2 cm$ od środka długiego, miedzianego pręta o promieniu $1 cm$ ma natężenie $3 N ∕ C$ i jest skierowane na zewnątrz osi pręta.

Ile ładunku przypada na jednostkę długości pręta?
Jaki byłby strumień natężenia pola elektrycznego przez sześcian o krawędzi $5 cm$ , usytuowany tak, że pręt przechodzi prostopadle przez przeciwległe ścianki sześcianu?

52.

Długa, miedziana, cylindryczna powłoka o wewnętrznym promieniu $2 cm$ i zewnętrznym promieniu $3 cm$ , otacza umieszczony współosiowo, długi, aluminiowy pręt o promieniu $1 cm$ naładowany, z gęstością ładunku $4 pC ∕ m$ . Wszystkie ładunki na aluminiowym pręcie gromadzą się na powierzchni. Wewnętrzna powierzchnia miedzianej powłoki ma dokładnie przeciwny ładunek do tego na aluminiowym pręcie, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia miedzianej powłoki ma taki sam ładunek jak aluminiowy pręt. Znajdź natężenie pola elektrycznego i jego kierunek w punktach, które znajdują się w następujących odległościach od środka aluminiowego pręta:

$0,5 cm$ ;
$1,5 cm$ ;
$2,5 cm$ ;
$3,5 cm$ ;
$7 cm$ .

53.

Ładunek jest jednorodnie rozłożony z gęstością $ρ$ w nieskończenie długiej cylindrycznej objętości o promieniu $R$ . Pokaż, że pole elektryczne pochodzące od tego rozkładu ładunku jest skierowane radialnie w stosunku do walca i że $E = ρ r ∕ (2 ε_{0})$ dla $r \leq R$ i $E = ρ R^{2} ∕ (2 ε_{0} r)$ dla $r > R$ .

54.

Ładunek jest rozłożony w bardzo długiej cylindrycznej objętości o promieniu $R$ , tak że gęstość ładunku wzrasta wraz z odległością $r$ od osi walca zgodnie z relacją $ρ = α r$ , gdzie $α$ jest stałą. Pokaż, że pole elektryczne wytworzone przez ten rozkład ładunku jest skierowane radialnie w stosunku do walca i że $E = α r^{2} ∕ (3 ε_{0})$ dla $r \leq R$ oraz $E = α R^{3} ∕ (3 ε_{0} r)$ dla $r > R$ .

55.

Pole elektryczne w odległości $10 cm$ od powierzchni miedzianej kuli o promieniu $5 cm$ jest skierowane do środka kuli i ma natężenie $4 \cdot 10^{2} N ∕ C$ . Jaki ładunek znajduje się na powierzchni kuli?

56.

Ładunek jest rozłożony w sferycznej powłoce o wewnętrznym promieniu $r_{1}$ i zewnętrznym promieniu $r_{2}$ z gęstością objętościową $ρ = ρ_{0} r_{1} ∕ r$ , gdzie $ρ_{0}$ jest stałą. Wyznacz natężenie pola elektrycznego w funkcji odległości $r$ , od środka powłoki.

57.

Ładunek jest rozłożony w sferycznej objętości o promieniu $R$ z gęstością $ρ = α r^{2}$ , gdzie $α$ jest stałą. Wyznacz natężenie pola elektrycznego w punktach wewnątrz i na zewnątrz kuli.

58.

Przyjmij, że jądro uranu jest kulą o promieniu $R = 7,4 \cdot 10^{-15} m$ posiadającą ładunek $92 e$ , rozłożony równomiernie w całej jego objętości.

Jaka jest siła elektrostatyczna działająca na elektron, gdy znajduje się on w odległości $3 \cdot 10^{-15} m$ od środka jądra?
Jakie jest przyspieszenie elektronu w tym punkcie?

59.

Gęstość objętościowa sferycznego rozkładu ładunku jest dana jako $ρ (r) = ρ_{0} e^{- α r}$ , gdzie $ρ_{0}$ i $α$ są stałymi. Jakie jest natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ten rozkład ładunku?

6.4 Przewodniki w stanie równowagi elektrostatycznej

60.

Na rysunku poniżej pokazany jest nienaładowany przewodnik z wewnętrzną wnęką. Korzystając z zamkniętej powierzchni $S$ oraz z prawa Gaussa, pokaż, że kiedy ładunek $q$ jest umieszczony we wnęce, to ładunek $- q$ zostaje wyindukowany na wewnętrznej powierzchni przewodnika. Jaki ładunek znajduje się na zewnętrznej powierzchni przewodnika?

Pokazana jest kula metalowa z wewnętrzną wnęką. Kula oznaczona jest wektorem E równym zero. Dookoła kuli znajdują się znaki plus. Ładunek dodatni q znajduje się we wnęce. Wnęka jest otoczone znakami minus.

61.

Nienaładowany kulisty przewodnik $S$ o promieniu $R$ ma dwie sferyczne wnęki A i B o promieniach odpowiednio $a$ i $b$ , jak pokazano poniżej. Dwa punktowe ładunki $+ q_{a}$ i $+ q_{b}$ są zamocowane w środkach dwóch wnęk za pomocą nieprzewodzących podpórek. Dodatkowo punktowy ładunek $+ q_{0}$ został umieszczony na zewnątrz w odległości $r$ od środka kuli.

Narysuj przybliżone rozkłady ładunku w metalu, pamiętając, że metalowa kula nie ma wypadkowego ładunku;
Narysuj linie pola elektrycznego. Narysuj ich wystarczająco dużo, aby przedstawić wszystkie wyraźnie odróżniające się miejsca.

Rysunek pokazuje kulę z dwiema wnękami. Ładunek dodatni qa jest w jednej z nich, ładunek dodatni qb jest w drugiej. Ładunek dodatni q0 znajduje się poza kulą oddalony od jej centrum o odległość r.

62.

Dodatni ładunek punktowy został umieszczony na dwusiecznej kąta $45 °$ , utworzonego przez dwie nienaładowane przewodzące płyty. Przyjrzyj się poniższemu rysunkowi. Narysuj linie pola elektrycznego.

Pokazany jest kąt ostry. Jego dwusieczna narysowana jest linią przerywaną. Na tej linii znajduje się ładunek dodatni q.

63.

Długi miedziany walec o promieniu $3 cm$ jest naładowany z liniową gęstością ładunku $3 C ∕ m$ na jego powierzchni.

Znajdź natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz walca;
Narysuj linie pola elektrycznego w płaszczyźnie prostopadłej do walca.

64.

Aluminiowa kula o promieniu $4 cm$ jest naładowana ładunkiem $5 µC$ . Otacza ją miedziana, sferyczna powłoka o wewnętrznym promieniu $6 cm$ i zewnętrznym promieniu $8 cm$ . Ładunek $- 8 µC$ zostaje wprowadzony na miedzianą powłokę.

Znajdź natężenie pola elektrycznego we wszystkich punktach przestrzeni, w tym w punktach wewnątrz aluminium i wewnątrz miedzianej powłoki, gdy są one współśrodkowe;
Znajdź natężenie pola elektrycznego we wszystkich punktach przestrzeni, w tym w punktach wewnątrz aluminium i wewnątrz miedzianej powłoki, gdy środki miedzianej powłoki i aluminiowej kuli znajdują się w odległości $1 cm$ od siebie.

65.

Długi aluminiowy walec o promieniu $R$ jest naładowany tak, że ma na powierzchni stałą ilość ładunku na jednostkę długości $λ$ .

Znajdź natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz walca;
Narysuj wykres zależności natężenia pola elektrycznego od odległości od środka walca.

66.

Na powierzchni przewodnika w stanie równowagi elektrostatycznej $E = σ ∕ ε_{0}$ . Pokaż, że to równanie jest zgodne z tym, że $E = k q ∕ r^{2}$ na powierzchni sferycznie symetrycznego przewodnika.

67.

Dwie równoległe płyty o boku $10 cm$ naładowane zostały równymi, ale przeciwnymi ładunkami o wartości $5 \cdot 10^{-9} C$ . Płytki znajdują się w odległości $1,5 mm$ od siebie. Jakie jest natężenie pola elektrycznego w środku obszaru pomiędzy płytami?

68.

Dwie nienaładowane, równoległe, przewodzące płyty, każda o powierzchni $400 {cm}^{2}$ , znajdują się w odległości $2 cm$ od siebie. Jeżeli $10^{12}$ elektronów zostanie przeniesionych z jednej płyty na drugą, to jakie są:

gęstość ładunku na każdej z płyt;
natężenie pola elektrycznego pomiędzy płytami?

69.

Powierzchniowa gęstość ładunku na długiej, prostej, metalicznej rurce jest równa $σ$ . Jakie jest natężenie pola elektrycznego na zewnątrz i wewnątrz rurki? Przyjmij, że rurka ma średnicę $2 a$ .

Rysunek pokazuje rurkę z wyróżnioną jej częścią. Strzałki biegnące wzdłuż rurki w górę i w dół zmierzają do nieskończoności. Wnętrze ścian rurki jest oznaczone znakami plus.

70.

Ładunek punktowy $q = - 5 \cdot 10^{-12} C$ jest umieszczony w środku sferycznej, przewodzącej powłoki o wewnętrznym promieniu $3,5 cm$ i zewnętrznym promieniu $4 cm$ . Pole elektryczne bezpośrednio nad powierzchnią przewodnika jest skierowane radialnie na zewnątrz i ma natężenie $8 N ∕ C$ .

Jaka jest gęstość ładunku na wewnętrznej powierzchni powłoki?
Jaka jest gęstość ładunku na zewnętrznej powierzchni powłoki?
Jaki jest wypadkowy ładunek na przewodniku?

71.

Lity cylindryczny przewodnik o promieniu $a$ jest otoczony koncentryczną cylindryczną powłoką o wewnętrznym promieniu $b$ . Lity cylinder i powłoka mają ładunki odpowiednio $+ Q$ i $- Q$ . Przyjmując, że długość $L$ obu przewodników jest dużo większa od $a$ czy $b$ , wyznacz natężenie pola elektrycznego w funkcji odległości $r$ od wspólnej środkowej osi obu cylindrów dla

$r < a$ ;
$a < r < b$ ;
$r > b$ .