14.6 Obwody RLC

Obwód RLC (ang. RLC circuit) otrzymamy, jeśli rozważania z poprzedniej sekcji rozszerzymy o uwzględnienie skończonego oporu w obwodzie. Przyjmiemy, że opór podłączonych do obwodu urządzeń oraz przewodów tworzących połączenia możemy reprezentować w postaci pojedynczego opornika o oporze $R$. Powoduje on rozpraszanie energii z szybkością $i^{2}R$ po zamknięciu obwodu przedstawionego schematycznie na Ilustracji 14.17 (a). Uprzednio naładowany kondensator zaczyna się rozładowywać. Zmiany zmagazynowanej w obwodzie energii opisuje równanie

gdzie $i$ oraz $q$ zależą od czasu. Uprościmy nieco powyższy zapis

Ilustracja 14.17 (a) Obwód RLC. Oscylacje elektromagnetyczne mają swój początek w momencie zamknięcia obwodu. Zakładamy, że początkowo kondensator jest w pełni naładowany. (b) Zachowanie tłumionych oscylacji ładunku na kondensatorze $q\left(t\right)$. Początkowy ładunek wynosi $q_0$.

To równanie jest analogiczne do równania ruchu masy zawieszonej na sprężynie z uwzględnieniem tłumienia

Z tym równaniem po raz pierwszy spotkaliśmy się w rozdziale Drgania. Zobaczyliśmy tam, że rozwiązania mogą przyjmować trzy postacie, zależnie od wartości częstości kątowej nietłumionej sprężyny względem $b∕2m$. Układ może być tłumiony słabo ($\sqrt{k∕m}>b∕2m$), krytycznie ($\sqrt{k∕m}=b∕2m$) albo silnie ($\sqrt{k∕m}<b∕2m$). Podstawiając $L$ za $m$, $R$ za $b$, $1∕C$ za $k$ i $q$ za $x$ w Równaniu 14.44, przy założeniu $\sqrt{1∕LC}>R∕2L$ otrzymujemy

gdzie częstość kątowa drgań dana jest wzorem

Rozwiązanie odpowiadające słabemu tłumieniu przedstawione jest na Ilustracji 14.17 (b). Amplituda oscylacji zmniejsza się, gdyż energia rozpraszana jest na oporniku. Doświadczalnego potwierdzenia można dokonać, mierząc napięcie na kondensatorze w różnych chwilach czasu. Napięcie pomnożone przez pojemność da nam $q\left(t\right)$.