Rozdział 7

Sprawdź, czy rozumiesz

7.1

$(3+4i)(3-4i) = 9 - 16 i^2 = 25 \text{.}$ .

7.2

$A = \sqrt{2/L}$ .

7.3

$(1/2 - 1/\pi) / 2 = \SI{9}{\percent}$ .

7.4

$\SI{4,1e-8}{\electronvolt}$ , $\SI{1,1e-5}{\nano\metre}$ .

7.5

Mamy zadany Hamiltonian oscylatora harmonicznego $\hat{H} = \frac{-\hbar}{2m} {\dd[\d][2]{x}} + \frac{m\omega^2}{2}$ . Równanie na stany własne operatora $\hat{H}$ zapisujemy jako $\hat{H} \psi_n \apply (x) = E_n \psi_n \apply (x)$ . Tutaj $E_n$ to dozwolone energie oscylatora harmonicznego (wartości własne operatora $\hat H$ ). Udaje się pokazać, że $E_n = \hbar \omega (n + 1/2)$ , gdzie $n = 0,1,2,\dots$ . Natomiast funkcje własne operatora $\hat H$ zapisujemy jako $\psi_n \apply (x)$ i są one wyrażone wzorem $\psi_n \apply (x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{1/4} e^{-m \omega x^2 / (2\hbar)} H_n \apply (\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x)$ , gdzie wielomiany Hermite'a są zadane jako $H_n \apply (x) = (-1)^n e^{x^2} {\dd[\d][d]{x}} e^{-x^2}$ . Wartość średnią obserwabli położenia $\langle x \rangle$ zapisujemy $\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^{\text{*}}_n \apply (x) \hat x \psi_n \apply (x) \d x = \int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\psi_n \apply (x)}^2 \d x$ . Zauważamy, że dla $n=0$ wielomian Hermite'a daje się zapisać jako $H_0 \apply (x) = (-1)^0 e^{x^2} \dd[\d][0]{x} e^{-x^2} = e^{x^2} e^{-x^2} = 1$ . Zatem dla $n=0$ mamy funkcję Gaussa będącą rozwiązaniem kwantowego oscylatora harmonicznego. Natomiast dla $n=1$ mamy $H_1 \apply (x) = (-1) e^{x^2} \dd[\d]{x} e^{-x^2} = 2x$ i dla $n=2$ otrzymujemy wielomian $H_2 \apply (x) = 4x^2 - 2$ . Dla parzystch $n$ ( $n = 0, 2, 4, \dots$ ) wielomian $H_n \apply (x) = H_n \apply (-x)$ jest funkcją parzystą, a zatem kwadrat modułu funkcji falowej jest również funkcją parzystą. Wówczas wyrażenie $\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x [\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{1/4} e^{-m \omega x^2 / (2\hbar)} H_n \apply (\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x)]^2 \d x = 0$ , gdyż $[\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{1/4} e^{-m \omega x^2 / (2\hbar)} H_n \apply (\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x)]^2$ to funkcja parzysta, a iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej (u nas jest nią $x$ ) w zadanych granicach całkowania względem $x$ od $-\infty$ do $+\infty$ wynosi $0$ . Zauważamy, że dla $n=1,3,5,\dots$ (nieparzystych wartości $n$ ) średnia wartość $\langle x \rangle$ jest także zerowa. Wynika to z faktu, że kwadrat modułu funkcji nieparzystej $[\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{1/4} e^{-m \omega x^2 / (2\hbar)} H_n \apply (\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x)]^2$ jest funkcją parzystą (kwadrat każdego wielomianiu Hermite'a jest funkcją parzystą, co łatwo pokazać) i z tego, że iloczyn tej funkcji parzystej przez funkcję nieparzystą $x$ jest funkcją antysymetryczną. Zatem dla danego poziomu energetycznego $n$ w kwantowym oscylatorze harmonicznym zawsze wielkość średnia położenia wynosi $\langle x \rangle = 0$ .

7.6

Żadna. Pierwsza funkcja jest nieciągła; druga przyjmuje podwójne wartości, a trzecia jest rozbieżna, a przez to niemożliwa do znormalizowania.

7.7

a. $\SI{9,1}{\percent}$ ; b. $\SI{25}{\percent}$ .

7.8

a. $\SI{295}{\newton\per\metre}$ ; b. $\SI{0,277}{\electronvolt}$ .

7.9

$\langle x \rangle=0$ .

7.10

$L_{\text{p}}/L_{\text{e}} = \sqrt{m_{\text{e}}/m_{\text{p}}} = \SI{2,3}{\percent}$ .

Pytania

$1 /\sqrt{L}$ , gdzie $L$ – długość; $1/L$ , gdzie $L$ – długość.

Funkcja falowa nie odpowiada żadnej mierzalnej wielkości fizycznej. Jest to narzędzie do przewidywania wartości wielkości fizycznych.

Jest to średnia wartość wielkości fizycznej jaką uzyskuje się przy dużej (wielokrotnej) liczbie obserwacji układu fizycznego opisywanego daną funkcją falową.

Tak, jeżeli jej położenie jest całkowicie nieznane. Tak, jeżeli jej pęd jest całkowicie nieznany.

Nie – zgodnie z zasadą nieoznaczoności, jeżeli niepewność położenia cząstki jest mała, to niepewność wyznaczenia jej pędu będzie duża. Podobnie, jeżeli niepewność położenia cząstki jest duża, wówczas minimalna niepewność określenia jej pędu będzie mała.

11.

Nie, oznacza to, że przewidywania dotyczące cząstki (wyrażone przez prawdopodobieństwo) są niezależne od czasu.

13.

Tak może, ponieważ prawdopodobieństwo istnienia cząstki w wąskim (nieskończenie małym) przedziale nieciągłości jest nieskończenie małe.

15.

Nie. W przypadku cząstki w pudełku odległość między kolejnymi poziomami energetycznymi rośnie wraz z liczbą kwantową $n$ . Najmniejsza mierzalna energia odpowiada przejściu ze stanu $n=2$ do $n=1$ i jest trzykrotnością energii stanu podstawowego. Największa mierzalna energia odpowiada przejściu ze stanu $n\to\infty$ do $n=1$ i jest równa nieskończoności (zauważ, że nawet cząstki o niezwykle dużych energiach są zamknięte w nieskończonej studni potencjału – nie mogą jej opuścić).

17.

Nie. Ta energia odpowiada $n = \num{0,25}$ , a $n$ jest liczbą całkowitą.

19.

Ponieważ najmniejszą możliwą liczbą kwantową $n$ dla oscylatora harmonicznego jest 0 co odpowiada niezerowej energii stanu podstawowego. Nie narusza to zasady koreskpondencji, ponieważ mechanika kwantowa i mechanika klasyczna zgadzają się jedynie w przypadku dużych $n$ .

21.

Taki pomiar jest możliwy z zachowaniem obostrzeń zasady nieoznaczoności. Jeżeli cząstka oscylująca jest zlokalizowana tzn jej położenie jest dokładniej znane to wówczas jej pęd jest mniej znany.

23.

Dwukrotne zwiększenie szerokości bariery.

25.

Nie, siła działająca na cząstkę przy ścianach nieskończonej studni potencjału jest nieskończona.

Zadania

27.

$\abs{\psi\apply(x)}^2 \sin^2 (\omega t)$ .

29.

(a) i (e), mogą być znormalizowane.

31.

a. $A = \sqrt{2\alpha / \pi}$ ; b. Prawdopodobieństwo wynosi $\SI{29,3}{\percent}$ ; c. $\langle x \rangle = 0$ ; d. $\langle p \rangle = 0$ ; e. $\langle E_{\text{k}} \rangle = \alpha^2 \hbar ^2 / (2m)$ .

33.

a. $\prefop{\Delta}p \geq \SI{2,11e-34}{\newton\second}$ ; b. $\prefop{\Delta}v \geq \SI{6,31e-8}{\metre}$ ; c. $\prefop{\Delta}v / \sqrt{k_{\text{B}} T / m_{\alpha}} = \num{5,94e-11}$ .

35.

$\prefop{\Delta} \tau \geq \SI{1,6e-25}{\second} \text{.}$ .

37.

a. $\prefop{\Delta}\nu \geq \SI{1,59}{\mega\hertz}$ ; b. $\prefop{\Delta}\omega/\omega_0 = \num{3,135e-9}$ .

39.

Rozwiązując równanie różniczkowe, otrzymujemy $k^2 = \omega ^2/c^2$ .

41.

Różniczkując po funkcji sinus, uzyskujemy cosinus po prawej stronie równania, a więc równość nie jest spełniona. Podobna sytuacja występuje dla drugiej funkcji falowej.

43.

$E = \hbar ^2 k^2 / (2m) \text{.}$ .

45.

$\hbar ^2 k^2$ . Cząstka ma określony pęd, a przez to określony jest też kwadrat pędu.

47.

$\SI{9,4}{\electronvolt}$ , $\SI{64}{\percent}$ .

49.

$\SI{0,38}{\nano\metre}$ .

51.

$\SI{1,82}{\mega\electronvolt}$ .

53.

$\SI{24,7}{\nano\metre}$ .

55.

$\SI{6,03}{\angstrom} \text{.}$ .

57.

Pokazane są funkcje falowe dla stanów n=1 do n=5, w których elektron znajduje się w nieskończonym obszarze. Każda z funkcji ma pionowo rozmieszczoną swą energię, mierzoną w m e V. W stanie n=1 pierwsza połowa fali jest funkcją sinus. W stanie n=2 funkcja jest najpierw pełną falą funkcji sinus. W stanie n=3 funkcji jest najpierw jedną falą a na końcu połową fali funkcji sinus. W stanie n=4 funkcja to najpierw dwie fale funkcji sinus. W stanie n=5 funkcja to najpierw są dwie a potem pół fali funkcji sinus.

;
b. $\lambda_{5 \to 3} = \SI{12,9}{\nano\metre}$ , $\lambda_{3 \to 1} = \SI{25,8}{\nano\metre}$ , $\lambda_{4 \to 3} = \SI{29,4}{\nano\metre}$ .

59.

Równanie 7.75.

61.

$\SI{6,62e14}{\hertz} \text{.}$ .

63.

$n \approx \num{2,037e30} \text{.}$ .

65.

$\langle x \rangle = \num{0,5} m \omega^2 \langle x \rangle = \hbar \omega / 4$ , $\langle E_{\text{k}} \rangle = \langle E \rangle - \langle E_{\text{p}} \rangle = \hbar \omega / 4$ .

67.

Dowód.

69.

Funkcja zespolona $A e^{i ϕ}$ spełnia niezależne od czasu równanie Schrödingera. Operatory energii kinetycznej i energii całkowitej są liniowe, a więc dowolna kombinacja liniowa takich równań falowych jest również poprawnym rozwiązaniem równania Schrödingera. A zatem wnioskujemy, że (a) w Równaniu 7.88 spełnia ona Równanie 7.81 i (b) w Równaniu 7.89 spełnia Równanie 7.83.

71.

a. $\SI{4,21}{\percent}$ ; b. $\SI{0,84}{\percent}$ ; c. $\SI{0,06}{\percent}$ .

73.

a. $\SI{0,13}{\percent}$ ; b. bliskie $\SI{0}{\percent}$ .

75.

$\SI{0,38}{\nano\metre}$ .

Zadania dodatkowe

77.

Dowód.

79.

a. $\SI{4}{\percent}$ ; b. $\SI{1,4}{\percent}$ ; c. $\SI{4}{\percent}$ ; d. $\SI{1,4}{\percent}$ .

81.

a. $t=mL^2/h=\SI{2,15e26}{\lat}$ ; b. $E_1=\SI{1,46e-66}{\joule}$ , $E_{\text{k}}=\SI{0,4}{\joule}$ .

83.

Dowód.

85.

$\SI{1,2}{\newton\per\metre}$ .

87.

$0$ .

Zadania trudniejsze

89.

$\SI{19,2}{\micro\metre}$ , $\SI{11,5}{\micro\metre}$ .

91.

$\SI{3,92}{\percent}$ .

93.

Dowód.