7.3 Równanie Schrӧdingera

W tym podrozdziale postaramy się opisać kompletną i sformalizowaną teorię mechaniki kwantowej. Uczyniliśmy to już częściowo w podrozdziale Funkcje falowe, w ramach ogólnego wprowadzenia do zagadnienia. W poprzednich dwóch podrozdziałach omówiliśmy, w jaki sposób w mechanice kwantowej powstało pojęcie funkcji falowej i jakich założeń wymagało, jak możemy wykorzystać funkcję falową i zasadę nieoznaczoności Heisenberga występującą w mechanice kwantowej. Raz jeszcze przywołajmy klasyczną teorię falową światła. W przypadku fali świetlnej pole elektryczne $E\left(x,t\right)$ spełnia następujące równanie

gdzie $c$ jest prędkością światła, a symbol $\partial$ przedstawia pochodną cząstkową (przypomnienie z Drgania – pochodna cząstkowa jest ściśle związana z normalną pochodną, ale dotyczy funkcji o więcej niż jednej zmiennej; gdy różniczkujemy po jednej zmiennej, pozostałe traktowane są jako stałe). Na falę światła składa się bardzo duża liczba fotonów, a więc wielkość ${\left|E\left(x,t\right)\right|}^2$ może być interpretowana jako prawdopodobieństwo znalezienia pojedynczego fotonu w konkretnym miejscu (np. na ekranie projektora).

Istnieje wiele rozwiązań tego równania. Jednym szczególnie ważnym jest

gdzie $A$ jest amplitudą natężenia pola elektrycznego, $k$ liczbą falową, a $\omega$ to częstość kątowa. Łącząc to równanie z Równaniem 7.23, otrzymujemy

Według równań de Broglie’a $p=\hslash k$ i $E_{\text{f}}=\hslash \omega$, gdzie $E_{\text{f}}$ to energia fotonu, $p$ to jego pęd, a $k$ to jego wektor falowy (długość). Podstawiając te zależności do Równania 7.25, uzyskujemy

czyli energia fotonu $E_{\text{f}}$ jest proporcjonalna do jego pędu $p$

A zatem, biorąc pod uwagę zależność między energią a pędem ustaloną przez Einsteina (Równanie 5.20), Równanie 7.23 opisuje cząstkę o zerowej masie spoczynkowej. To zgadza się z naszą wiedzą o fotonach.

Kierunek przeprowadzanej analizy myślowej może być odwrócony. Możemy np. zacząć od postulowania zależności między energią a pędem i dopiero zastanowić się, jakie równanie fali do niej pasuje. Równanie opisujące zależność energia–pęd cząstki nierelatywistycznej w jednym wymiarze zapisuje się jako

gdzie $p$ odpowiada pędowi, $m$ jest masą, $V$ to energia potencjalna cząstki, a $H$ to hamiltonian, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej (niekiedy oznaczana jako $E$). W przedstawionym równaniu występujące wielkości są skalarami. Możemy jednak postulować, by $V$, $p$ i $H$ były operatorami działającymi na jakiś stan będący funkcją falową. Wówczas każdy z operatorów generowałby swoją wartość własną razy dany stan kwantowy, czyli razy kwantowo-mechaniczną funkcję falową. Równanie funkcji falowej pasującej do tej operatorowej zależności jest niezwykle ważne w mechanice kwantowej i nazywane równaniem Schrӧdingera zależnym od czasu (ang. Schrӧdinger’s time-dependent equation). Równanie Schrӧdingera zależne od czasu to równanie opisujące energię i pęd funkcji falowej. Jest ono znane jako ogólne równanie Schrӧdingera.

gdzie $i\hslash \cdot d∕dt$ to operator reprezentujący cały hamiltonian $H\left(t\right)$, a operator $-{\hslash }^2∕\left(2m\right)\left(d^2∕d{x}^2\right)$ reprezentuje energię kinetyczną, natomiast $V\left(x,t\right)$ energię potencjalną i jest w istocie mnożeniem przez liczbę rzeczywistą $V\left(x,t\right)$. Równanie 7.29 daje dwa równania na stany własne, które można zapisać jako

oraz

Te równania to równanie Schrӧdingera zapisane w dwóch równoważnych postaciach i zależne od czasu. W szczególności Równanie 7.31 daje się zazwyczaj rozwiązać analitycznie przez separację zmiennych $x$ i $t$, tzn. jawnie zakładamy, że $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)={\psi }_1\left(x,t_1\right)f\left(t_1,t\right)$, a zatem oddzielamy ewolucję układu kwantowego w czasie od położenia. Jest to możliwe, gdy $H$ nie zależy od $x$. Stosując to założenie, otrzymujemy rozwiązanie w postaci iloczynu funkcji zależnej od położenia, stałej (i zależnej od chwili początkowej), i funkcji zależnej od czasu. Jest to wyrażone następująco

Ustaliwszy $t_1$ (chwilę początkową), rozpoznajemy funkcję $f\left(t_1,t\right)$ jako będącą ewolucją fazy z czasem w równaniu Schrӧdingera i otrzymujemy funkcję falową w chwili późniejszej $t$. Wraz z upływem czasu $t-t_1$ faza funkcji falowej zmienia się o czynnik $f\left(t_1,t\right)$, wyrażony jako

Funkcja $f\left(t-t_1\right)$ to operator ewolucji funkcji falowej w czasie od chwili $t_1$ do chwili $t$. Mnoży się wówczas funkcję falową z chwili $t_1$ przez $f\left(t-t_1\right)$ i uzyskuje funkcję falową w nowej chwili: $H\left(t\right)=H=E=\text{const}$, czyli nie zależy od czasu. Wtedy

W przypadku, gdy energia potencjalna $V\left(x,t\right)=V\left(x\right)$ jest niezależna od czasu, otrzymujemy niezależne od czasu równanie Schrӧdingera – wówczas $H\left(t\right)=H=E=\text{const}$ (nie zależy od czasu) i zachodzi równanie

Jak wiadomo z analiz właściwych fizyce klasycznej, obecność energii potencjalnej zależnej w czasie i przestrzeni $V\left(x,t\right)$ wywołuje zależne od czasu i położenia siły działające na daną cząstkę klasyczną. Uwzględnia to w szczególności formalizm hamiltonowski, istotny przy formułowaniu mechaniki kwantowej. Jak opisane zostało w Energia potencjalna i zasada zachowania energii, siła $F_x=F$ działająca na cząstkę w jednym wymiarze $x$ jest opisywana przez następujące równanie

Równanie 7.31 odgrywa w mechanice kwantowej rolę podobną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej. Gdy określimy energię potencjalną cząstki lub, równie dobrze, gdy określimy siłę działającą na cząstkę, możemy sformułować równanie różniczkowe. Rozwiązanie tego równania różniczkowego w jednym wymiarze jest funkcją $x\left(t\right)$, która określa położenie ciała w danym czasie $t$. Rozwiązanie równania Schrӧdingera zależnego od czasu daje narzędzie – funkcję falową, która może być wykorzystana do określenia, gdzie cząstka może się znajdować w danym czasie. Nasze rozważania mogą być rozszerzone do dwóch czy trzech wymiarów. Wtedy zamiast potencjału $V\left(x,t\right)$ występuje potencjał $V$ zależny od $x$, $y$ i $z$ w postaci $V\left(x,y,z,t\right)$ oraz operator $-{\hslash }^2∕\left(2m\right)\left(d^2∕d{x}^2\right)$, zastąpiony przez operator

w przypadku trójwymiarowym. W dwóch wymiarach przestrzennych pomijamy współrzędną $z$ i występuje tylko $V\left(x,y,t\right)$ oraz

Zazwyczaj łatwo jest otrzymać rozwiązania w jednym wymiarze, trudniej jest takie rozwiązanie uzyskać dla dwóch, a najtrudniej dla trzech czy $N$ wymiarów.

Rozważmy szczególny przypadek cząstki swobodnej. Cząstka taka nie odczuwa działania żadnej siły w żadnym z trzech kierunków. Dla jednego rozważanego wymiaru mamy $F=0\mathrm{N}$. Biorąc pod uwagę Równanie 7.36, musimy uwzględnić

Dla ułatwienia ustalmy $V_0=0$. Wtedy równanie Schrӧdingera upraszcza się do postaci

Rozwiązaniem tego równania będzie

Nie jest zaskakujące, że rozwiązanie zawiera liczbę urojoną ($i=\sqrt{-1}$), ponieważ samo równanie różniczkowe posiada część urojoną. Jednak, na co zwróciliśmy uwagę wcześniej, mechanika kwantowa opiera swoje przewidywania wyłącznie na ${\left|\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)\right|}^2$, które daje tylko rzeczywiste wartości. Zauważmy, że rzeczywiste rozwiązania dotyczące fal płaskich, $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t\right)$ i $\mathrm{\Psi }\left(x,t\right)=Acos\left(kx-\omega t\right)$, nie spełniają równania Schrӧdingera, ale rozwiązanie postaci

spełnia to równanie.

Istnienie części urojonej funkcji falowej uniemożliwia kuszącą perspektywę dotknięcia czy nawet zobaczenia jej w naturze. W teorii mechaniki kwantowej Schrӧdingera funkcja falowa jest jedynie narzędziem wykorzystywanym w obliczeniach.

Jeżeli energia potencjalna ($V$) nie zależy od czasu, to zależność

gdzie $\psi \left(x\right)$ jest funkcją niezależną od czasu, a $e^{-i\omega t}$ funkcją niezależną od położenia, spełnia równanie Schrӧdingera. Innymi słowy, funkcję falową można podzielić na dwa człony – zależny jedynie od czasu i zależny od położenia. Czynnik $e^{-i\omega t}$ nazywamy czynnikiem zależnym od czasu (ang. time-modulation factor). Według de Broglie’a energia fali materii jest dana wzorem $E=\hslash \omega$, gdzie $E$ to energia całkowita. A zatem powyższe równanie może być również zapisane jako

Każda kombinacja liniowa tych stanów (stan rozmyty energii lub pędu) jest rozwiązaniem powyższego równania. Stany takie mogą np. opisywać cząstkę zlokalizowaną (patrz Ilustracja 7.10), której gęstość prawdopodobieństwa jest skupiona wokół jakiegoś punktu przestrzeni. Odpowiada ona intuicji klasycznej. Cząstka niezlokalizowana i rozproszona po całej przestrzeni lub posiadająca lokalizację w kilku miejscach w przestrzeni (kilka lokalnych maksimów) nie odpowiada tej intuicji, ale jest rozwiązaniem równania Schrӧdingera. Można to porównać do sytuacji, gdy dany człowiek siedzi na kilku oddalonych od siebie krzesłach, o czym była mowa we wstępie. Taki przykład pokazuje, że mechanika kwantowa rzadko kieruje się intuicją stosowaną w fizyce klasycznej. Jednak w pewnych sytuacjach ta klasyczna intuicja także obowiązuje.

Łącząc Równanie 7.29 i Równanie 7.43, zależne od czasu równanie Schrӧdingera upraszcza się do

gdzie $E$ jest energią całkowitą cząstki (liczba rzeczywista). Tę zależność nazwiemy równaniem Schrӧdingera niezależnym od czasu (ang. Schrӧdinger’s time-independent equation). Zauważ, że stosujemy duże psi ($\mathrm{\Psi }$) do oznaczenia funkcji falowej zależnej od czasu, a małe psi ($\psi$) do oznaczenia funkcji falowej niezależnej od czasu. Rozwiązanie tego równania musi być pomnożone przez czynnik zależny od czasu, aby można było uzyskać funkcję zależną od $t$.

W następnych podrozdziałach rozwiążemy niezależne równanie Schrӧdingera dla trzech przypadków: cząstki kwantowej w pudle potencjału, prostego oscylatora harmonicznego i bariery potencjału. Dzięki rozwiązaniu tych podstawowych przykładów powinieneś z łatwością podołać nawet trudniejszym zagadnieniom. Niezależne od czasu funkcje $\psi \left(x\right)$ muszą spełniać trzy warunki:

• $\psi \left(x\right)$ musi być funkcją ciągłą;
• pierwsza pochodna $\psi \left(x\right)$ po przestrzeni $d\psi \left(x\right)∕dx$ musi być ciągła, co wynika z ciągłości prądu prawdopodobieństwa;
• $\psi \left(x\right)$ nie może być rozbieżna (wybuchać) dla żadnego $x$.

Pierwszy warunek zapobiega nagłym skokom i dziurom w funkcji falowej oraz zapewnia ciągłość gęstości prawdopodobieństwa odnalezienia cząstki w przestrzeni w położeniu $x$. Drugi warunek gwarantuje, że funkcja jest gładka we wszystkich punktach oprócz szczególnych przypadków (w bardziej zaawansowanej mechanice kwantowej piki potencjału o nieskończonej głębokości lub wysokości są nazywane deltami Diraca i wykorzystywane np. do modelowania ciał stałych). Trzeci warunek zakłada normalizację funkcji falowej i zapewnia, że ${\left|\psi \left(x\right)\right|}^2$ jest skończoną liczbą, którą możemy wykorzystać do obliczeń prawdopodobieństwa. Przypadek gęstości prawdopodobieństwa wybuchającej do plus nieskończoności dla współrzędnej położenia $x$ świadczyłby o tym, że nie mamy do czynienia z realną sytuacją fizyczną. Takie rozwiązania należy odrzucać.