←
Najważniejsze wzory

Najważniejsze wzory

Warunek normalizacji w jednym wymiarze P ⁡ − ∞ + ∞ = ∫ − ∞ + ∞ Ψ ⁡ x t 2 ⁢ d x = 1 P ⁡ − ∞ + ∞ = ∫ − ∞ + ∞ Ψ ⁡ x t 2 ⁢ d x = 1 P\apply(-\infty, +\infty) =\int_{-\infty}^{+\infty} \abs{\mathrm{Ψ}\apply(x,t)}^2\d x = 1
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wąskim przedziale położenia xx+dxxx+dx (x, x+\d x) w jednym wymiarze P ⁡ x x + d x = Ψ * ⁡ x t ⁢ Ψ ⁡ x t ⁢ d x P ⁡ x x + d x = Ψ * ⁡ x t ⁢ Ψ ⁡ x t ⁢ d x P\apply(x,x+\d x)=\mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t)\mathrm{Ψ}\apply(x,t)\d x
Wartość oczekiwana położenia w jednym wymiarze dla cząstki kwantowej x = ∫ − ∞ + ∞ Ψ * ⁡ x t ⁢ x ⁢ Ψ ⁡ x t ⁢ d x x = ∫ − ∞ + ∞ Ψ * ⁡ x t ⁢ x ⁢ Ψ ⁡ x t ⁢ d x \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{Ψ}^{\text{*}}\apply(x,t) x \mathrm{Ψ}\apply(x,t) \d x
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla położenia i pędu cząstki kwantowej Δ x ⁢ Δ p ≥ ℏ 2 Δ x ⁢ Δ p ≥ ℏ 2 \prefop{\Delta}x \prefop{\Delta}p \geq \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla energii i czasu dla cząstki kwantowej Δ E ⁢ Δ t ≥ ℏ 2 Δ E ⁢ Δ t ≥ ℏ 2 \prefop{\Delta}E \prefop{\Delta}t \geq \frac{\hbar}{2}
Równanie Schrödingera zależne od czasu − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ ∂ 2 Ψ ⁡ x t ∂ x 2 + V ⁡ x t ⁢ Ψ ⁡ x t = i ⁢ ℏ ⁢ ∂ Ψ ⁡ x t ∂ t − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ ∂ 2 Ψ ⁡ x t ∂ x 2 + V ⁡ x t ⁢ Ψ ⁡ x t = i ⁢ ℏ ⁢ ∂ Ψ ⁡ x t ∂ t - \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\partial ^2 \mathrm{Ψ}\apply(x,t)}{\partial x^2} + V\apply(x,t) \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = i \hbar \frac{\partial \mathrm{Ψ}\apply(x,t)}{\partial t}
Ogólna postać jednowymiarowej funkcji falowej dla rówania Schrödingera niezależnego od czasu, gdzie następuje separacja współrzędnej położenia i czasu i gdzie możemy wyróżnić operator ewolucji stanu kwantowego w czasie (czynnik fazowy e-iωte-iωt) Ψ ⁡ x t = ψ ⁡ x ⁢ e − i ⁢ ω ⁢ t Ψ ⁡ x t = ψ ⁡ x ⁢ e − i ⁢ ω ⁢ t \mathrm{Ψ}\apply(x,t) = \psi\apply(x) e^{-i\omega t}
Równanie Schrödingera niezależne od czasu (stan stacjonarny) − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 + V ⁡ x ⁢ ψ ⁡ x = E ⁢ ψ ⁡ x − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 + V ⁡ x ⁢ ψ ⁡ x = E ⁢ ψ ⁡ x -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d ^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} + V\apply(x) \psi\apply(x) = E\psi\apply(x)
Równanie Schrödingera dla swobodnej cząstki o stałej energii EE (np. elektron poruszający się w próżni ze stałą prędkością) − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 = E ⁢ ψ ⁡ x − ℏ 2 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 = E ⁢ ψ ⁡ x -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{\d^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} = E \psi\apply(x)
Stany energetyczne cząstki kwantowej w pudełku o długości LL, numerowane przez główne liczby kwantowe nn E n = n 2 ⁢ π 2 ⁢ ℏ 2 2 ⁢ m ⁢ L 2 ⁢ ,  ⁢ n = 1 2 3 … E n = n 2 ⁢ π 2 ⁢ ℏ 2 2 ⁢ m ⁢ L 2 ⁢ ,  ⁢ n = 1 2 3 … E_n = n^2 \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \text{, } n = 1,2,3,\dots
Stan kwantowy dla cząstki w pudełku o długości LL L i nieprzenikliwych ścianach (nieskończonej barierze potencjału poza obszarem LL), odpowiadający energii własnej i numerowanej przez liczby naturalne nn ψ n ⁡ x = 2 L ⁢ sin n ⁢ π ⁢ x L ⁢ ,  ⁢ n = 1 2 3 … ψ n ⁡ x = 2 L ⁢ sin n ⁢ π ⁢ x L ⁢ ,  ⁢ n = 1 2 3 … \psi_n \apply(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (\frac{n \pi x}{L}) \text{, } n=1,2,3, \dots
Funkcja energii potencjalnej dla oscylatora harmonicznego (klasycznego i kwantowego) V ⁡ x = 1 2 ⁢ m ⁢ ω 2 ⁢ x 2 V ⁡ x = 1 2 ⁢ m ⁢ ω 2 ⁢ x 2 E_{\text{p}}\apply(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
Stacjonarne równanie Schrödingera w przypadku kwantowego oscylatora harmonicznego − ℏ 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 + 1 2 ⁢ m ⁢ ω 2 ⁢ x 2 ⁢ ψ ⁡ x = E ⁢ ψ ⁡ x − ℏ 2 ⁢ m ⋅ d 2 ψ ⁡ x d x 2 + 1 2 ⁢ m ⁢ ω 2 ⁢ x 2 ⁢ ψ ⁡ x = E ⁢ ψ ⁡ x - \frac{\hbar}{2m} \cdot \frac{\d ^2 \psi\apply(x)}{\d x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi\apply(x) = E \psi\apply(x)
Spektrum energetyczne kwantowego oscylatora harmonicznego E n = n + 1 2 ⁢ ℏ ⁢ ω ⁢ ,  ⁢ n = 0 1 2 3 … E n = n + 1 2 ⁢ ℏ ⁢ ω ⁢ ,  ⁢ n = 0 1 2 3 … E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar \omega \text{, } n=0,1,2,3,\dots
Funkcje falowe kwantowego oscylatora harmonicznego związane z energią EnEn ψ n ⁡ x = N n ⁢ e − β 2 ⁢ x 2 ∕ 2 ⁢ H n ⁡ β ⁢ x ⁢ ,  ⁢ n = 0 1 2 3 … ψ n ⁡ x = N n ⁢ e − β 2 ⁢ x 2 ∕ 2 ⁢ H n ⁡ β ⁢ x ⁢ ,  ⁢ n = 0 1 2 3 … \psi_n \apply(x) = N_n e^{-\beta^2 x^2 /2} H_n \apply(\beta x) \text{, } n=0,1,2,3,\dots
Definicja prostokątnej bariery potencjału wyznaczonej przez wysokość V0V0 V_0 oraz szerokość LL V ⁡ x = 0 ,  dla  ⁢ x < 0 V 0 ,  dla  ⁢ 0 ≤ x ≤ L 0 ,  dla  ⁢ x > L V ⁡ x = 0 ,  dla  ⁢ x < 0 V 0 ,  dla  ⁢ 0 ≤ x ≤ L 0 ,  dla  ⁢ x > L V\apply(x) = \left{ \begin{matrix*}[l] 0\text{,}&\text{ dla } x<0 \\ V_0\text{,}&\text{ dla }0\leq x\leq L \\ 0\text{,}&\text{ dla } x>L\end{matrix*} \right\
Definicja współczynnika transmisji cząstki kwantowej o energii EE, padającej na prostokątną barierę potencjału, jako kwadrat modułu funkcji falowej padającej ψpad⁡x2ψpad⁡x2 \abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2 i przechodzącej ψprze⁡x2ψprze⁡x2 \abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2 T ⁡ L E = ψ prze ⁡ x 2 ψ pad ⁡ x 2 T ⁡ L E = ψ prze ⁡ x 2 ψ pad ⁡ x 2 T\apply(L, E) = \frac{\abs{\psi_{\text{prze}}\apply(x)}^2}{\abs{\psi_{\text{pad}}\apply(x)}^2}
Defincja parametru ββ \beta współczynnika transmisji dla prostokątnej bariery potencjału β 2 = 2 ⁢ m ℏ 2 ⁢ V 0 − E β 2 = 2 ⁢ m ℏ 2 ⁢ V 0 − E \beta^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E)
Współczynnik transmisji dla kwantowej cząstki z energią EE przechodzącej przez prostokątną barierę potencjału T L , E = 1 cosh 2 β L + ( γ / 2 ) 2 sinh 2 β L T L , E = 1 cosh 2 β L + ( γ / 2 ) 2 sinh 2 β L
Przybliżenie współczynnika transmisji przez prostokątną barierę potencjału dla dużych wartości L⁢βL⁢β L\beta T ⁡ L E = 16 ⁢ E V 0 ⁢ 1 − E V 0 ⁢ e − 2 ⁢ β ⁢ L T ⁡ L E = 16 ⁢ E V 0 ⁢ 1 − E V 0 ⁢ e − 2 ⁢ β ⁢ L T\apply(L,E) = 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\beta L}