Relatywistyczny efekt Dopplera

5.7 Relatywistyczny efekt Dopplera

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyjaśniać pochodzenie przesunięcia częstotliwości i długości fali świetlnej, gdy obserwator i źródło przemieszczają się względem siebie;
wyprowadzać wzór na relatywistyczny efekt Dopplera;
stosować równania na przesunięcie dopplerowskie.

Jak powiedzieliśmy już w podrozdziale Fale dźwiękowe, jeżeli źródło dźwięku oddala się od obserwatora, ten zarejestruje mniej okresów fali dźwiękowej, a co za tym idzie dźwięk o niższej częstotliwości. Za sprawą tego samego efektu obserwator usłyszy dźwięk o wyższej częstotliwości, jeżeli źródło dźwięku przemieszcza się w jego stronę. Powstałe w ten sposób przesunięcie Dopplera (ang. Doppler shift) można zaobserwować dla dowolnego typu fali. W przypadku fal dźwiękowych efekt ten jest zależny od tego, czy porusza się źródło, obserwator, czy powietrze, w którym rozchodzi się fala. Jako że światło nie potrzebuje ośrodka, w którym się rozchodzi, relatywistyczny efekt Dopplera (ang. relativistic Doppler effect) zależy jedynie od prędkości względnej źródła i obserwatora.

Załóżmy, że obserwator w układzie odniesienia $S$ widzi światło ze źródła (układ $S'$ ) oddalającego się z prędkością $v$ (Ilustracja 5.22). Światło jest wysyłane impulsami. Okres fali to czas pomiędzy kolejnymi impulsami w tym samym miejscu, a jej długość to odległość między impulsami w tym samym czasie. Długość fali w każdym układzie jest równa iloczynowi jej okresu oraz prędkości światła. Czas mierzony w układzie obserwatora $S$ pomiędzy kolejnymi impulsami fali jest większy o czynnik $\gamma$ od okresu w układzie spoczynkowym źródła $S'$ .

Na rysunku a pokazany jest obserwator w miejscu stacjonarnej ramy S. Sześciokąt S przesuwa się w prawo z prędkością v względem ramy S. Źródło S pojawia się w postaci sinusoidalnej fali, która rozprzestrzenia się po lewej stronie. Na rysunku b, pokazanych jest sześć cykli widzianych przez obserwatora i przez źródło. Długość fali widzianej przez obserwatora jest dłuższa niż fali widzianej przez źródło. Szerokość sześciu cykli widzianych przez źródło jest oznaczona jako c delta t. Dodatkowa długość do końca sześciu cykli obserwowana przez obserwatora jest oznaczona jako v delta t.

Ilustracja 5.22 (a) Obserwator w układzie

S

mierzy czas, o wartości powiększonej o czynnik

\gamma

, pomiędzy impulsami światła pochodzącymi ze źródła związanego z poruszającym się układem

S'

. (b) Ze względu na ruch źródła odległość pomiędzy impulsami wynosi

c \prefop{\Delta} t + v \prefop{\Delta} t

Jednak z powodu przemieszczania się źródła względem układu $S$ obserwator widzi światło zniekształcone dodatkowo o czynnik

\frac{c \prefop{\Delta} t_{\text{okresu}} + v \prefop{\Delta} t_{\text{okresu}}}{c \prefop{\Delta} t_{\text{okresu}}}=1+ \frac{v}{c} \text{,}

5.8

jak przedstawiono na Ilustracji 5.22. Sumaryczny wpływ obu efektów daje

\lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{źr}}(1 + \frac{v}{c})\sqrt{\frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \lambda_{\text{źr}}(1 + \frac{v}{c})\sqrt{\frac{1}{(1+ \frac{v}{c})(1- \frac{v}{c})}} = \lambda_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \frac{v}{c}}} \text{,}

5.9

gdzie $\lambda_{\text{źr}}$ jest długością fali światła mierzonej w układzie odniesienia źródła $S'$ , $\lambda_{\text{obs}}$ to długość fali, którą rejestruje obserwator w układzie $S$ , a $v$ to prędkość względna układów $S$ i $S'$ .

Przesunięcie ku czerwieni i fioletowi

W zależności od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora $\lambda_{\text{obs}}$ przyjmie większą lub mniejszą wartość. Gdy źródło się oddala, doświadczamy wydłużenia fali obserwowanej, nazywanego też, ze względu na barwy odpowiadające długościom fali, przesunięciem ku czerwieni. Analogicznie, gdy źródło światła przemieszcza się w stronę obserwatora, długość fali ulega skróceniu, czyli następuje przesunięcie ku fioletowi. To, jak duże będzie to przesunięcie, opisuje zależność

\lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \frac{v}{c}}} \text{.}

5.10

Prędkość $v$ będzie miała znak dodatni w miarę oddalania się źródła od obserwatora, a ujemny, gdy będzie się ono poruszać w jego kierunku. Tę zależność możemy też zapisać, wykorzystując częstotliwość źródła ( $f_{\text{źr}}$ ) i obserwatora ( $f_{\text{obs}}$ )

f_{\text{obs}} = f_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1+ \frac{v}{c}}} \text{.}

5.11

Należy zauważyć, że zmieniły się znaki w wyrażeniach pod pierwiastkiem.

Przykład 5.11

Obliczanie przesunięcia Dopplera

Załóżmy, że galaktyka oddala się od Ziemi z prędkością

\num{0,825} c

. Galaktyka emituje fale radiowe o długości

\SI{0,525}{\metre}

. Jaką długość fali zaobserwujemy na Ziemi?

Strategia rozwiązania

Ponieważ galaktyka porusza się z prędkością relatywistyczną, musimy określić przesunięcie długości fali za pomocą wzorów opisujących relatywistyczny efekt Dopplera.

Rozwiązanie

Określamy dane: $u=\num{0,825}c$ , $\lambda_{\text{źr}}=\num{0,525}\si{\metre}$ .
Określamy szukane: $\lambda_{\text{obs}}$ .
Wyrażamy rozwiązanie za pomocą równania
$\lambda_{\text{obs}} = \lambda_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \frac{v}{c}}} \text{.}$
5.12
Wykonujemy obliczenia
$\begin{align} \lambda_{\text{obs}} &= \lambda_{\text{źr}} \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \frac{v}{c}}} \\ \text{} &= \SI{0,525}{\metre} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{\num{0,825} c}{c}}{1- \frac{\num{0,825} c}{c}}} \\ \text{} &= \SI{1,7}{\metre} \text{.}\end{align}$
5.13

Znaczenie

Ponieważ galaktyka oddala się od Ziemi, spodziewamy się, że długość fali emitowanej przesunie się w stronę dłuższych fal (przesunięcie ku czerwieni). Otrzymana wartość

\SI{1,7}{\metre}

jest faktycznie większa od

\lambda_{\text{źr}}

. W rozdziale Fizyka cząstek elementarnych i kosmologia opisano, jak relatywistyczny efekt Dopplera wpłynął na dzisiejsze postrzeganie początku i ewolucji Wszechświata.

Sprawdź, czy rozumiesz 5.7

Załóż, że sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\num{0,35} c$ . W pewnym momencie wysyła w stronę naszej planety wiadomość w formie sygnału radiowego, o częstotliwości $\SI{1,5}{\giga\hertz}$ . Jaką częstotliwość zaobserwuje naukowiec w laboratorium, do którego zaadresowana była wiadomość?

Relatywistyczny efekt Dopplera znajduje zastosowanie zarówno w radarowej obserwacji burz, jak i w badaniach nad ruchem i odległością gwiazd względem Ziemi. Część z tych zastosowań opisaliśmy w przykładach na końcu rozdziału.