5.8 Pęd relatywistyczny

Pęd jest niezwykle ważnym pojęciem w fizyce, a zwłaszcza w mechanice klasycznej (druga zasada dynamiki Newtona). Pęd jest zachowany w każdym układzie, na który działa siła wypadkowa równa zero. Zasada zachowania pędu jest podstawowym narzędziem do opisu zderzeń (Ilustracja 5.23). Większość naszej wiedzy na temat struktury cząstek elementarnych pochodzi z analizy zderzeń w różnego rodzaju akceleratorach cząstek, gdzie zachowanie relatywistycznego pędu jest istotne.

Ilustracja 5.23 Pęd jest niezwykle ważny dla graczy w rugby (na zdjęciu zawodnicy reprezentacji Czech i Polski). Spośród dwóch zawodników, którzy biegną z tą samą prędkością i zderzają się z takim samym przeciwnikiem, większą siłę uderzenia będzie miał cięższy gracz, ponieważ jego pęd ma większą wartość. Efekt ten jest jeszcze bardziej widoczny dla cząstek poruszających się z prędkościami relatywistycznymi. Źródło: modyfikacja zdjęcia autorstwa Konrada Kostępskiego, Wikimedia Commons/Flickr: Rugby Polska–Czechy (25.10.2009)

Pierwszy postulat szczególnej teorii względności mówi, że prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych. Zastanówmy się, jak zmienia się zasada zachowania pędu w przypadku prędkości bliskich prędkości światła. Wiemy, że pęd ciała wyraża się wzorem $\overrightarrow{p}=md\overrightarrow{x}∕dt$, jednak pęd zachowany w jednym układzie odniesienia nie musi być zachowany w innym, gdy zastosujemy transformację Lorentza do przemiany prędkości. Poprawny wzór na pęd relatywistyczny danego ciała będzie klasycznym wyrażeniem na pęd, ale w odniesieniu do czasu własnego $d\tau$, obserwowanego w układzie spoczynkowym tego ciała

Warto zauważyć, że prędkość oznaczamy jako $u$ w celu odróżnienia jej od prędkości względnej $v$ w dwóch układach odniesienia. Czynnik relatywistyczny $\gamma$ ma taką samą formę jak w poprzednich przypadkach, ale zastępujemy oznaczenie prędkości $v$ przez $u$.

Przy tak zdefiniowanym pędzie pęd całkowity $p_{\text{cał}}$ jest zachowany, jeżeli na układ działa zewnętrzna siła wypadkowa wynosząca zero, jak w przypadku fizyki klasycznej. Podobnie jak w poprzednich rozdziałach przy małych prędkościach ($u\ll c$) czynnik $\gamma$ jest niemal równy $1$, więc efekty relatywistyczne są tak małe, że z dużą dokładnością można stosować wzory znane z mechaniki klasycznej. Relatywistyczny pęd ma zatem wartość bardzo zbliżoną do klasycznego pędu. Wartość pędu rośnie wraz z prędkością i masą danego ciała, jednak ze względu na czynnik $\gamma$ pęd relatywistyczny dąży do nieskończoności dla prędkości dążących do $c$ (Ilustracja 5.24). Jeżeli ciało posiadające masę osiągnęłoby prędkość światła, jego pęd byłby nieskończony.

Ilustracja 5.24 Pęd relatywistyczny dąży do nieskończoności, gdy prędkość dąży do prędkości światła.

Relatywistyczne wyrażenie opisujące pęd $p=\gamma mu$ wykorzystywane było w starszych podręcznikach w twierdzeniu, że masa jest zależna od prędkości: $m_{\text{zm}}=\gamma m$. Należy jednak zauważyć, że jako $m$ przyjmujemy masę ciała mierzoną przez obserwatora znajdującego się w układzie spoczynkowym tego ciała. Tak więc $m$ jest masą spoczynkową, której wartość może być wyznaczona za pomocą teorii grawitacji. Gdy ciało porusza się względem obserwatora, jego masę można określić jedynie poprzez zderzenia lub inne metody wykorzystujące pęd. Ponieważ masa ciała w ruchu może być zmierzona jedynie poprzez pęd, do obliczeń wykorzystywana jest masa spoczynkowa. Zatem jeżeli w dalszej części rozdziału spotkasz się z terminem „masa”, załóż, że jest to masa spoczynkowa.

Relatywistyczny pęd jest zdefiniowany w taki sposób, że zasada zachowania pędu obowiązuje we wszystkich układach inercjalnych, w których zewnętrzna siła wypadkowa wynosi zero. Zostało to udowodnione eksperymentalnie.