Problemas De Desafío

En un capítulo posterior, encontrará que el peso de una partícula varía con la altitud de forma que $w = \frac{m g r_{0}^{2}}{r^{2}}$ donde $r_{0}^{}$ es el radio de la Tierra y r es la distancia al centro de la Tierra. Si la partícula se dispara verticalmente con velocidad $v_{0}^{}$ de la superficie de la Tierra, determine su velocidad en función de la posición r. (Pista: Utilice $a^{} d r = v^{} d v,$ la reordenación mencionada en el texto).

130.

Una gran centrifugadora, como la que se muestra a continuación, se utiliza para exponer a los aspirantes a astronautas a aceleraciones similares a las que se experimentan en los lanzamientos de cohetes y en los reingresos a la atmósfera. (a) ¿A qué velocidad angular corresponde una aceleración centrípeta de 10g si el piloto se encuentra a 15,0 m del centro de rotación? (b) La jaula del piloto cuelga de un pivote en el extremo del brazo, lo que le permite oscilar hacia fuera durante la rotación, como se muestra en la figura inferior adjunta. En qué ángulo $θ$ por debajo de la horizontal colgará la jaula cuando la aceleración centrípeta sea de 10g? (Pista: El brazo suministra la fuerza centrípeta y soporta el peso de la jaula. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas para ver cuál ángulo $θ$ debería ser).

(a) Fotografía de una centrifugadora de entrenamiento de alta g. El astronauta se sienta en una jaula al final de un largo brazo que gira en un plano horizontal. (b) Ilustración de la vista superior de la centrifugadora junto con una ilustración de las fuerzas. El diagrama de cuerpo libre muestra el peso, w, que apunta verticalmente hacia abajo y la fuerza F sub brazo apunta hacia arriba y hacia la izquierda. A continuación, se muestran las fuerzas reordenadas para formar un triángulo rectángulo. F sub brazo es la hipotenusa del triángulo que apunta hacia arriba y hacia la izquierda, w es el lado vertical que apunta hacia abajo, y F sub c es la base que apunta hacia la izquierda. La flecha F sub c se muestra entonces por separado con la notación de que el vector F sub c es igual a F sub neta.

131.

Un auto de masa de 1000,0 kg circula por una carretera llana a 100,0 km/h cuando se aplican los frenos. Calcule la distancia de frenado si el coeficiente de fricción cinética de los neumáticos es de 0,500. Ignore la resistencia del aire. (Pista: Como lo que interesa es la distancia recorrida y no el tiempo, x es la variable independiente deseada y no t. Utilice la regla de la cadena para cambiar la variable: $\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x} .)$

132.

Un avión que vuela a 200,0 m/s realiza un giro que tarda 4,0 min. ¿Qué ángulo de ladeo se requiere? ¿Cuál es el porcentaje de aumento del peso percibido de los pasajeros?

133.

Un paracaidista se encuentra a una altura de 1.520 m. Tras 10,0 segundos de caída libre, abre su paracaídas y comprueba que la resistencia del aire, $F_{D}$ , viene dada por la fórmula $F_{D} = - b v,$ donde b es una constante y v es la velocidad. Si $b = 0,750,$ y la masa del paracaidista es de 82,0 kg, establezca primero las ecuaciones diferenciales para la velocidad y la posición, y luego halle: (a) la rapidez del paracaidista cuando se abre el paracaídas, (b) la distancia caída antes de que se abra el paracaídas, (c) la velocidad límite después de que se abra el paracaídas (calcule la velocidad terminal), y (d) el tiempo que el paracaidista está en el aire después de que se abra el paracaídas.

134.

En un anuncio de televisión, una pequeña cuenta esférica de 4,00 g de masa se libera del reposo en $t = 0$ en un frasco de champú líquido. Se observa que la velocidad límite es de 2,00 cm/s. Calcule: (a) el valor de la constante b en la ecuación $v = \frac{m g}{b} (1 - e^{- b t / m}),$ y (b) el valor de la fuerza resistiva cuando la cuenta alcanza la velocidad límite.

135.

Un navegante y una lancha a motor descansan en un lago. Juntos, tienen una masa de 200,0 kg. Si el empuje del motor es una fuerza constante de 40,0 N en la dirección del movimiento, y si la fuerza resistiva del agua es numéricamente equivalente a 2 veces la rapidez v de la lancha, plantee y resuelva la ecuación diferencial para encontrar: (a) la velocidad de la lancha en el tiempo t; (b) la velocidad límite (la velocidad después de transcurrido un tiempo largo).