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Funciones de probabilidad continuas

5.1 Funciones de probabilidad continuas

Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f(x). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f(x) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.

Ejemplo 5.1

Consideremos la función f(x) = 120120 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f(x) = 120120 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f(x) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo.
Figura 5.5

f(x) = 120120 para 0 ≤ x ≤ 20.

El gráfico de f(x) = 120120 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20.

El área entre f(x) = 120120 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 120120.

ÁREA=20( 1 20 )=1 ÁREA=20( 1 20 )=1

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = 120120 y el eje xdonde 0 < x < 2.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo se sombrea una región desde x = 0 hasta x = 2.
Figura 5.6

ÁREA = (2 – 0)( 1 20 ) = 0,1 ÁREA = (2 – 0)( 1 20 ) = 0,1

(2 – 0) = 2 = base de un rectángulo (2 – 0) = 2 = base de un rectángulo

Recordatorio

área de un rectángulo = (base)(altura).

El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0,1.

Supongamos que queremos hallar el área entre f(x) = 120120 y el eje x donde 4 < x < 15.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo hay una región sombreada desde x = 4 hasta x = 15.
Figura 5.7

ÁREA = (15 – 4)( 1 20 ) = 0,55 ÁREA = (15 – 4)( 1 20 ) = 0,55

(15 – 4) = 11 = la base de un rectángulo (15 – 4) = 11 = la base de un rectángulo

El área corresponde a la probabilidad P(4 < x < 15) = 0,55.

Supongamos que queremos hallar P(x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P(x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) ( 1 20 ) = 0

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. Una línea vertical se extiende desde el eje horizontal hasta el gráfico en x = 15.
Figura 5.8

P(X ≤ x), que también se puede escribir como P(X < x) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P(X > x). La cdf da el “área a la izquierda” y P(X > x) da el “área a la derecha”. Calculamos P(X > x) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P(X > x) = 1 – P (X < x).

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. El área a la izquierda de un valor, x, está sombreada.
Figura 5.9

Identifique el gráfico con f(x) y x. Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y. f(x) = 1 20 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20.

Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo se sombrea una región desde x = 2,3 hasta x = 12,7
Figura 5.10

P(2,3<x<12,7)=(base)(altura)=(12,7–2,3)( 1 20 )=0,52 P(2,3<x<12,7)=(base)(altura)=(12,7–2,3)( 1 20 )=0,52

Inténtelo 5.1

Consideremos la función f(x) = 1 8 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f(x) y calcule P(2,5 < x < 7,5).