Capítulo 7

Punto de control

7.1

No lineal
Lineal, no homogéneo

7.4

Linealmente independiente

7.5

$y (x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} x e^{3 x}$

7.6

$y (x) = e^{x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sen 3 x)$ grandes.
$y (x) = c_{1} e^{−7 x} + c_{2} x e^{−7 x}$

7.7

$y (x) = − e^{−2 x} + e^{5 x}$

7.8

$y (x) = e^{x} (2 cos 3 x - sen 3 x)$

7.9

$y (t) = t e^{−7 t}$

En el momento $t = 0,3,$ $y (0,3) = 0,3 e^{(−7 * 0,3)} = 0,3 e^{−2,1} \approx 0,0367 .$ La masa está a 0,0367 pies por debajo del equilibrio. En el tiempo $t = 0,1,$ $y^{'} (0,1) = 0,3 e^{−0,7} \approx 0,1490 .$ La masa se mueve hacia abajo a una velocidad de 0,1490 ft/s.

7.10

$y (x) = c_{1} e^{– x} + c_{2} e^{4 x} - 2$

7.11

$y (t) = c_{1} e^{2 t} + c_{2} t e^{2 t} + sen t + cos t$

7.12

$y (x) = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{x} - x e^{x}$
$y (t) = c_{1} e^{−3 t} + c_{2} e^{2 t} - 5 cos 2 t + sen 2 t$

7.13

$z_{1} = \frac{3 x + 3}{11 x^{2}},$ $z_{2} = \frac{2 x + 2}{11 x}$

7.14

$y (x) = c_{1} cos x + c_{2} sen x + cos x ln | cos x | + x sen x$
$x (t) = c_{1} e^{t} + c_{2} t e^{t} + t e^{t} ln | t |$

7.15

$x (t) = 0,1 cos (14 t)$ (en metros); la frecuencia es $\frac{14}{2 π}$ Hz.

7.16

$x (t) = \sqrt{17} sen (4 t + 0,245),$ $frecuencia = \frac{4}{2 π} \approx 0,637,$ $A = \sqrt{17}$

7.17

$x (t) = 0,6 e^{−2 t} - 0,2 e^{−6 t}$

7.18

$x (t) = \frac{1}{2} e^{−8 t} + 4 t e^{−8 t}$

7.19

$x (t) = –0,24 e^{−2 t} cos (4 t) - 0,12 e^{−2 t} sen (4 t)$

7.20

$x (t) = - \frac{1}{2} cos (4 t) + \frac{9}{4} sen (4 t) + \frac{1}{2} e^{−2 t} cos (4 t) - 2 e^{−2 t} sen (4 t)$
$Solución transitoria: \frac{1}{2} e^{−2 t} cos (4 t) - 2 e^{−2 t} sen (4 t)$
$Solución en estado estacionario: - \frac{1}{2} cos (4 t) + \frac{9}{4} sen (4 t)$

7.21

$q (t) = −25 e^{− t} cos (3 t) - 7 e^{− t} sen (3 t) + 25$

7.22

$y (x) = a_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n!} x^{2 n} = a_{0} e^{– x^{2}}$
$y (x) = a_{0} {(x + 1)}^{3}$

Sección 7.1 ejercicios

lineal, homogénea

no lineal

lineal, homogénea

11.

$y = c_{1} e^{5 x} + c_{2} e^{−2 x}$

13.

$y = c_{1} e^{−2 x} + c_{2} x e^{−2 x}$

15.

$y = c_{1} e^{5 x / 2} + c_{2} e^{– x}$

17.

$y = e^{– x / 2} (c_{1} cos \frac{\sqrt{3} x}{2} + c_{2} sen \frac{\sqrt{3} x}{2})$ grandes.

19.

$y = c_{1} e^{−11 x} + c_{2} e^{11 x}$

21.

$y = c_{1} cos 9 x + c_{2} sen 9 x$

23.

$y = c_{1} + c_{2} x$

25.

$y = c_{1} e^{((1 + \sqrt{22}) / 3) x} + c_{2} e^{((1 - \sqrt{22}) / 3) x}$

27.

$y = c_{1} e^{– x / 6} + c_{2} x e^{– x / 6}$

29.

$y = c_{1} + c_{2} e^{9 x}$

31.

$y = −2 e^{−2 x} + 2 e^{−3 x}$

33.

$y = 3 cos (2 x) + 5 sen (2 x)$ grandes.

35.

$y = − e^{6 x} + 2 e^{−5 x}$

37.

$y = 2 e^{– x / 5} + \frac{7}{5} x e^{– x / 5}$

39.

$y = (\frac{2}{e^{6} - e^{−7}}) e^{6 x} - (\frac{2}{e^{6} - e^{−7}}) e^{−7 x}$

41.

No existe una solución.

43.

$y = 2 e^{2 x} - \frac{2 e^{2} + 1}{e^{2}} x e^{2 x}$

45.

$y = 4 cos 3 x + c_{2} sen 3 x, infinitas soluciones$

47.

$5 y ″ + 19 y^{'} - 4 y = 0$

49.

a. $y = 3 cos (8 x) + 2 sen (8 x)$
b.

Esta figura es un gráfico periódico. Tiene una amplitud de 3,5. Tanto el eje x como el eje y están escalados en incrementos de 1.

51.

a. $y = e^{(−5 / 2) x} [−2 cos (\frac{\sqrt{35}}{2} x) + \frac{4 \sqrt{35}}{35} sen (\frac{\sqrt{35}}{2} x)]$
b.

Esta figura es un gráfico de una función oscilante. Los ejes x y y se escalan en incrementos de números pares. La amplitud del gráfico disminuye a medida que aumenta x.

Sección 7.2 ejercicios

55.

$y = c_{1} e^{−4 x / 3} + c_{2} e^{x} - 2$

57.

$y = c_{1} cos 4 x + c_{2} sen 4 x + \frac{1}{20} e^{−2 x}$

59.

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} x e^{2 x} + 2 x^{2} + 5 x$

61.

$y = c_{1} e^{– x} + c_{2} x e^{– x} + \frac{1}{2} sen x - \frac{1}{2} cos x$

63.

$y = c_{1} cos x + c_{2} sen x - \frac{1}{3} x cos 2 x - \frac{5}{9} sen 2 x$

65.

$y = c_{1} e^{−5 x} + c_{2} x e^{−5 x} + \frac{1}{6} x^{3} e^{−5 x} + \frac{4}{25}$

67.

a. $y_{p} (x) = A x^{2} + B x + C$
b. $y_{p} (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{35}{9}$

69.

a. $y_{p} (x) = (A x^{2} + B x + C) e^{– x}$
b. $y_{p} (x) = (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{5}{8} x - \frac{33}{32}) e^{– x}$

71.

a. $y_{p} (x) = (A x^{2} + B x + C) e^{x} cos x$ $+ (D x^{2} + E x + F) e^{x} sen x$
b. $y_{p} (x) = (- \frac{1}{10} x^{2} - \frac{11}{25} x - \frac{27}{250}) e^{x} cos x$ $+ (- \frac{3}{10} x^{2} + \frac{2}{25} x + \frac{39}{250}) e^{x} sen x$

73.

$y = c_{1} + c_{2} e^{−2 x} + \frac{1}{15} e^{3 x}$

75.

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{−4 x} + x e^{2 x}$

77.

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{−3 x} - \frac{8 x}{9}$

79.

$y = c_{1} cos 2 x + c_{2} sen 2 x - \frac{3}{2} x cos 2 x + \frac{3}{4} sen 2 x ln (sen 2 x)$

81.

$y = - \frac{347}{343} + \frac{4}{343} e^{7 x} + \frac{2}{7} x^{2} e^{7 x} - \frac{4}{49} x e^{7 x}$

83.

$y = - \frac{57}{25} + \frac{3}{25} e^{5 x} + \frac{1}{5} x e^{5 x} + \frac{4}{25} e^{−5 x}$

85.

$y_{p} = \frac{1}{2} + \frac{10}{3} x^{2} ln x$

Sección 7.3 ejercicios

87.

$x ″ + 16 x = 0,$ $x (t) = \frac{1}{6} cos (4 t) - 2 sen (4 t),$ periodo $= \frac{π}{2} sec,$ frecuencia $= \frac{2}{π} Hz$

89.

$x ″ + 196 x = 0,$ $x (t) = 0,15 cos (14 t),$ periodo $= \frac{π}{7} sec,$ frecuencia $= \frac{7}{π} Hz$

91.

a. $x (t) = 5 sen (2 t)$
b. periodo $= π s,$ frecuencia $= \frac{1}{π} Hz$
c.

Esta figura es el gráfico de una función. Es una función periódica con una amplitud consistente. El eje horizontal está marcado en incrementos de 1. El eje vertical está marcado en incrementos de 1,5.

d. $t = \frac{π}{2} sec$

93.

a. $x (t) = e^{− t / 5} (20 cos (3 t) + 15 sen (3 t))$
b. subamortiguado

95.

a. $x (t) = 5 e^{−4 t} + 10 t e^{−4 t}$
b. amortiguado críticamente

97.

$x (π) = \frac{7 e^{− π / 4}}{6}$ pies por debajo

99.

$x (t) = \frac{32}{9} sen (4 t) + cos (\sqrt{128} t) - \frac{16}{9 \sqrt{2}} sen (\sqrt{128} t)$

101.

$q (t) = e^{−6 t} (0,051 cos (8 t) + 0,03825 sen (8 t)) - \frac{1}{20} cos (10 t)$

103.

$q (t) = e^{−10 t} (−32 t - 5) + 5, I (t) = 2 e^{−10 t} (160 t + 9)$

Sección 7.4 ejercicios

105.

$y = c_{0} + 5 c_{1} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(− x / 5)}^{n}}{n!} = c_{0} + 5 c_{1} e^{– x / 5}$

107.

$y = c_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x)}^{2 n}}{(2 n)!} + c_{1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x)}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$

109.

$y = c_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n!} = c_{0} e^{x^{2}}$

111.

$y = c_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2^{n} n!} + c_{1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \dots (2 n + 1)}$ grandes.