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Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

2.5 Ecuaciones de líneas y planos en el espacio

Objetivos de aprendizaje

  • 2.5.1 Escribir las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de una línea que pasa por un punto dado en una dirección dada y de una línea que pasa por dos puntos dados.
  • 2.5.2 Calcular la distancia de un punto a una línea dada.
  • 2.5.3 Escribir las ecuaciones vectoriales y escalares de un plano que pasa por un punto dado con una normal dada.
  • 2.5.4 Calcular la distancia de un punto a un plano dado.
  • 2.5.5 Calcular el ángulo entre dos planos.

A estas alturas, estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una línea en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una línea, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la línea y al menos un punto por el que pasa la línea En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una línea. En tres dimensiones, describimos la dirección de una línea mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección, examinamos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.

Ecuaciones de una línea en el espacio

Primero vamos a explorar lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores distintos de cero, uu y v,v, son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, k,k, tal que u=kv.u=kv. Si uu y vv tienen la misma dirección, simplemente elija k=‖u‖‖v‖.k=‖u‖‖v‖. Si uu y vv tienen direcciones opuestas, elija k=−‖u‖‖v‖.k=−‖u‖‖v‖. Observe que lo contrario también es válido. Si los valores de u=kvu=kv para algún escalar k,k, entonces uu y vv tienen la misma dirección (k>0)(k>0) o direcciones opuestas (k<0),(k<0), así que uu y vv son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero uu y vv son paralelos si y solo si u=kvu=kv para algún escalar k.k. Por convención, el vector cero 00 se considera paralelo a todos los vectores.

Al igual que en dos dimensiones, podemos describir una línea en el espacio utilizando un punto de la línea y la dirección de la misma, o un vector paralelo, que llamamos vector director (Figura 2.63). Supongamos que LL es una línea en el espacio que pasa por el punto P(x0,y0,z0).P(x0,y0,z0). Supongamos que v=〈a,b,c〉v=〈a,b,c〉 es un vector paralelo a L.L. Entonces, para cualquier punto de la línea Q(x,y,z),Q(x,y,z), sabemos que PQ→PQ→ es paralelo a v.v. Así, como acabamos de discutir, hay un escalar, t,t, tal que PQ→=tv,PQ→=tv, que da

PQ→=tv〈x–x0,y–y0,z−z0〉=t〈a,b,c〉〈x–x0,y–y0,z−z0〉=〈ta,tb,tc〉.PQ→=tv〈x–x0,y–y0,z−z0〉=t〈a,b,c〉〈x–x0,y–y0,z−z0〉=〈ta,tb,tc〉.
(2.11)
Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un segmento de línea que pasa por dos puntos. Los puntos están marcados como "P = (x sub 0, y sub 0, z sub 0)" y "Q = (x, y, z)". También hay un vector en posición estándar dibujado. El vector está marcado como "v = <a, b, c>."
Figura 2.63 El vector v es el vector director para PQ→.PQ→.

Utilizando operaciones vectoriales, podemos reescribir la Ecuación 2.11 como

〈x–x0,y–y0,z−z0〉=〈ta,tb,tc〉〈x,y,z〉−〈x0,y0,z0〉=t〈a,b,c〉〈x,y,z〉=〈x0,y0,z0〉+t〈a,b,c〉.〈x–x0,y–y0,z−z0〉=〈ta,tb,tc〉〈x,y,z〉−〈x0,y0,z0〉=t〈a,b,c〉〈x,y,z〉=〈x0,y0,z0〉+t〈a,b,c〉.

Si establecemos que r=〈x,y,z〉r=〈x,y,z〉 y r0=〈x0,y0,z0〉,r0=〈x0,y0,z0〉, ahora tenemos la ecuación vectorial de una línea:

r=r0+tv.r=r0+tv.
(2.12)

Al igualar los componentes, la Ecuación 2.11 muestra que las siguientes ecuaciones son simultáneamente verdaderas x–x0=ta,x–x0=ta, y–y0=tb,y–y0=tb, y z−z0=tc.z−z0=tc. Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para las variables de las componentes x,y,yz,x,y,yz, obtenemos un conjunto de ecuaciones en las que cada variable está definida en términos del parámetro t y que, en conjunto, describen la línea. Este conjunto de tres ecuaciones forma un conjunto de ecuaciones paramétricas de una línea:

x=x0+tay=y0+tbz=z0+tc.x=x0+tay=y0+tbz=z0+tc.

Si resolvemos cada una de las ecuaciones para tt asumiendo que a,b,yca,b,yc son distintas de cero, obtenemos una descripción diferente de la misma línea:

x–x0a=ty–y0b=tz−z0c=t.x–x0a=ty–y0b=tz−z0c=t.

Como cada expresión es igual a t, todas tienen el mismo valor. Podemos establecerlas iguales entre sí para crear ecuaciones simétricas de una línea:

x–x0a=y–y0b=z−z0c.x–x0a=y–y0b=z−z0c.

Resumimos los resultados en el siguiente teorema.

Teorema 2.11

Ecuaciones paramétricas y simétricas de una línea

Una línea LL paralela al vector v=〈a,b,c〉v=〈a,b,c〉 y que pasa por el punto P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0) puede describirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

x=x0+ta,y=y0+tb,yz=z0+tc.x=x0+ta,y=y0+tb,yz=z0+tc.
(2.13)

Si las constantes a,b,yca,b,yc son todas distintas de cero, entonces LL puede describirse mediante la ecuación simétrica de la línea:

x–x0a=y–y0b=z−z0c.x–x0a=y–y0b=z−z0c.
(2.14)

Las ecuaciones paramétricas de una línea no son únicas. Si se utiliza un vector paralelo diferente o un punto diferente de la línea, se obtiene una representación diferente y equivalente. Cada conjunto de ecuaciones paramétricas conduce a un conjunto relacionado de ecuaciones simétricas, por lo que se deduce que una ecuación simétrica de una línea tampoco es única.

Ejemplo 2.45

Ecuaciones de una línea en el espacio

Halle las ecuaciones paramétricas y simétricas de la línea que pasa por los puntos (1,4,–2)(1,4,–2) y (−3,5,0).(−3,5,0).

Solución

Primero, identifique un vector paralelo a la línea:

v = 〈 −3 − 1 , 5 − 4 , 0 − ( −2 ) 〉 = 〈 –4 , 1 , 2 〉 . v = 〈 −3 − 1 , 5 − 4 , 0 − ( −2 ) 〉 = 〈 –4 , 1 , 2 〉 .

Utilice cualquiera de los puntos dados en la línea para completar las ecuaciones paramétricas:

x = 1 − 4 t , y = 4 + t , y z = −2 + 2 t . x = 1 − 4 t , y = 4 + t , y z = −2 + 2 t .

Resuelva cada ecuación para tt para crear la ecuación simétrica de la línea:

x – 1 −4 = y − 4 = z + 2 2 . x – 1 −4 = y − 4 = z + 2 2 .

Punto de control 2.43

Halle las ecuaciones paramétricas y simétricas de la línea que pasa por los puntos (1,−3,2 )(1,−3,2 ) y (5,–2,8).(5,–2,8).

A veces no queremos la ecuación de una línea completa, sino solo un segmento de línea. En este caso, limitamos los valores de nuestro parámetro t.t. Por ejemplo, supongamos que P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0) y Q(x1,y1,z1)Q(x1,y1,z1) son puntos de una línea, y que p=〈x0,y0,z0〉p=〈x0,y0,z0〉 y q=〈x1,y1,z1〉q=〈x1,y1,z1〉 son los vectores de posición asociados. Además, supongamos que r=〈x,y,z〉.r=〈x,y,z〉. Queremos hallar una ecuación vectorial para el segmento de línea entre PP y Q.Q. Al usar PP como nuestro punto conocido en la línea, y PQ→=〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉PQ→=〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉 como la ecuación del vector director, la Ecuación 2.12 da

r=p+t(PQ→).r=p+t(PQ→).

Utilizando las propiedades de los vectores, entonces

r=p+t(PQ→)=〈x0,y0,z0〉+t〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉=〈x0,y0,z0〉+t(〈x1,y1,z1〉−〈x0,y0,z0〉)=〈x0,y0,z0〉+t〈x1,y1,z1〉−t〈x0,y0,z0〉=(1−t)〈x0,y0,z0〉+t〈x1,y1,z1〉=(1−t)p+tq.r=p+t(PQ→)=〈x0,y0,z0〉+t〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉=〈x0,y0,z0〉+t(〈x1,y1,z1〉−〈x0,y0,z0〉)=〈x0,y0,z0〉+t〈x1,y1,z1〉−t〈x0,y0,z0〉=(1−t)〈x0,y0,z0〉+t〈x1,y1,z1〉=(1−t)p+tq.

Por lo tanto, la ecuación vectorial de la línea que pasa por PP y QQ es

r=(1−t)p+tq.r=(1−t)p+tq.

Recuerde que no queríamos la ecuación de toda la línea, solo el segmento de línea entre PP y Q.Q. Observe que cuando t=0,t=0, tenemos r=p,r=p, y cuando t=1,t=1, tenemos r=q.r=q. Por lo tanto, la ecuación vectorial del segmento de línea entre PP y QQ es

r=(1−t)p+tq,0≤t≤1.r=(1−t)p+tq,0≤t≤1.
(2.15)

Volviendo a la Ecuación 2.12, también podemos hallar ecuaciones paramétricas para este segmento de línea. Tenemos

r=p+t(PQ→)〈x,y,z〉=〈x0,y0,z0〉+t〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉=〈x0+t(x1−x0),y0+t(y1−y0),z0+t(z1−z0)〉.r=p+t(PQ→)〈x,y,z〉=〈x0,y0,z0〉+t〈x1−x0,y1−y0,z1−z0〉=〈x0+t(x1−x0),y0+t(y1−y0),z0+t(z1−z0)〉.

Entonces, las ecuaciones paramétricas son

x=x0+t(x1−x0),y=y0+t(y1−y0),z=z0+t(z1−z0),0≤t≤1.x=x0+t(x1−x0),y=y0+t(y1−y0),z=z0+t(z1−z0),0≤t≤1.
(2.16)

Ejemplo 2.46

Ecuaciones paramétricas de un segmento de línea

Halle las ecuaciones paramétricas del segmento de línea entre los puntos P(2 ,1,4)P(2 ,1,4) y Q(3,–1,3).Q(3,–1,3).

Solución

Mediante la Ecuación 2.16, tenemos

x = x 0 + t ( x 1 − x 0 ) , y = y 0 + t ( y 1 − y 0 ) , z = z 0 + t ( z 1 − z 0 ) , 0 ≤ t ≤ 1 . x = x 0 + t ( x 1 − x 0 ) , y = y 0 + t ( y 1 − y 0 ) , z = z 0 + t ( z 1 − z 0 ) , 0 ≤ t ≤ 1 .

Trabajando con cada componente por separado, obtenemos

x = x 0 + t ( x 1 − x 0 ) = 2 + t ( 3 − 2 ) = 2 + t , x = x 0 + t ( x 1 − x 0 ) = 2 + t ( 3 − 2 ) = 2 + t ,
y = y 0 + t ( y 1 − y 0 ) = 1 + t ( −1 − 1 ) = 1 − 2 t , y = y 0 + t ( y 1 − y 0 ) = 1 + t ( −1 − 1 ) = 1 − 2 t ,

y

z = z 0 + t ( z 1 − z 0 ) = 4 + t ( 3 − 4 ) = 4 − t . z = z 0 + t ( z 1 − z 0 ) = 4 + t ( 3 − 4 ) = 4 − t .

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas para el segmento de línea son

x = 2 + t , y = 1 − 2 t , z = 4 − t , 0 ≤ t ≤ 1 . x = 2 + t , y = 1 − 2 t , z = 4 − t , 0 ≤ t ≤ 1 .

Punto de control 2.44

Halle las ecuaciones paramétricas del segmento de línea entre los puntos P(–1,3,6)P(–1,3,6) y Q(–8,2 ,4).Q(–8,2 ,4).

Distancia entre un punto y una línea

Ya sabemos cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio. Ahora ampliamos esta definición para describir la distancia entre un punto y una línea en el espacio. Existen varios contextos del mundo real en los que es importante poder calcular estas distancias. Cuando se construye una casa, por ejemplo, los constructores deben tener en cuenta los requisitos de "retranqueo", cuando las estructuras o instalaciones tienen que estar a una determinada distancia del límite de la propiedad. Los viajes en avión ofrecen otro ejemplo. Las compañías aéreas están preocupadas por las distancias entre las zonas pobladas y las rutas de vuelo propuestas.

Supongamos que LL es una línea en el plano y que MM es cualquier punto que no esté en la línea. Entonces, definimos la distancia dd de MM a LL como la longitud del segmento de línea MP—,MP—, donde PP es un punto en LL tal que MP—MP— es perpendicular a LL (Figura 2.64).

Esta figura tiene dos segmentos de línea. La primera línea está marcada como "L" y tiene el punto P en el segmento. El segundo segmento de línea se traza desde el punto P hasta el punto M y es perpendicular a la línea L. El segundo segmento de línea está marcado como "d"
Figura 2.64 La distancia desde el punto MM a la línea LL es la longitud de MP—.MP—.

Cuando buscamos la distancia entre una línea y un punto en el espacio, la Figura 2.64 todavía aplica. Seguimos definiendo la distancia como la longitud del segmento de línea perpendicular que une el punto con la línea. En el espacio, sin embargo, no hay una forma clara de saber qué punto de la línea crea ese segmento de línea perpendicular, así que seleccionamos un punto arbitrario de la línea y utilizamos las propiedades de los vectores para calcular la distancia. Por lo tanto, supongamos que PP es un punto arbitrario de la línea LL y supongamos que vv es un vector director para LL (Figura 2.65).

Esta figura tiene un segmento de línea marcado como "L". En el segmento de línea L hay un punto P. Hay un vector trazado desde el punto P hasta otro punto M. Además, desde M hay un segmento de línea trazado hasta la línea L. Este segmento es perpendicular a la línea L. También hay un vector marcado como "v" en el segmento de línea L. Se ha formado un paralelogramo con el vector v, el segmento de línea P M y otros dos segmentos de vuelta a la línea L.
Figura 2.65 Los vectores PM→PM→ y v forman dos lados de un paralelogramo con base ‖v‖‖v‖ y altura d,d, que es la distancia entre una línea y un punto en el espacio.

Por Área de un paralelogramo, los vectores PM→PM→ y vv forman dos lados de un paralelogramo con área ‖PM→×v‖.‖PM→×v‖. Utilizando una fórmula de la geometría, el área de este paralelogramo también se puede calcular como el producto de su base y su altura:

‖PM→×v‖=‖v‖d.‖PM→×v‖=‖v‖d.

Podemos utilizar esta fórmula para hallar una fórmula general para la distancia entre una línea en el espacio y cualquier punto que no esté en la línea.

Teorema 2.12

Distancia de un punto a una línea

Supongamos que LL es una línea en el espacio que pasa por el punto PP con vector director v.v. Si MM es cualquier punto que no esté en L,L, entonces la distancia de MM a LL es

d=‖PM→×v‖‖v‖.d=‖PM→×v‖‖v‖.

Ejemplo 2.47

Cálculo de la distancia de un punto a una línea

Calcule la distancia entre el punto t M=(1,1,3)M=(1,1,3) y la línea x−34=y+12 =z−3.x−34=y+12 =z−3.

Solución

A partir de las ecuaciones simétricas de la línea, sabemos que el vector v=〈4,2 ,1〉v=〈4,2 ,1〉 es un vector director para la línea. Estableciendo las ecuaciones simétricas de la línea iguales a cero, vemos que el punto P(3,–1,3)P(3,–1,3) está en la línea. Entonces,

P M → = 〈 1 − 3 , 1 − ( –1 ) , 3 − 3 〉 = 〈 –2 , 2 , 0 〉 . P M → = 〈 1 − 3 , 1 − ( –1 ) , 3 − 3 〉 = 〈 –2 , 2 , 0 〉 .

Para calcular la distancia, tenemos que hallar PM→×v:PM→×v:

P M → × v = | i j k −2 2 0 4 2 1 | = ( 2 − 0 ) i − ( −2 − 0 ) j + ( −4 − 8 ) k = 2 i + 2 j − 12 k . P M → × v = | i j k −2 2 0 4 2 1 | = ( 2 − 0 ) i − ( −2 − 0 ) j + ( −4 − 8 ) k = 2 i + 2 j − 12 k .

Por lo tanto, la distancia entre el punto y la línea es (Figura 2.66)

d = ‖ P M → × v ‖ ‖ v ‖ = 2 2 + 2 2 + 12 2 4 2 + 2 2 + 1 2 = 2 38 21 . d = ‖ P M → × v ‖ ‖ v ‖ = 2 2 + 2 2 + 12 2 4 2 + 2 2 + 1 2 = 2 38 21 .
Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay una caja tridimensional dibujada en el octante. Hay un punto marcado en (1, 1, 3). Hay un segmento de línea marcado como "L" dentro de la caja. Además, existe un segmento de línea perpendicular desde el punto hasta la línea L.
Figura 2.66 El punto (1,1,3)(1,1,3) está aproximadamente a 2,72,7 unidades de la línea con ecuaciones simétricas x−34=y+12 =z−3.x−34=y+12 =z−3.

Punto de control 2.45

Calcule la distancia entre el punto (0,3,6)(0,3,6) y la línea con ecuaciones paramétricas x=1−t,y=1+2 t,z=5+3t.x=1−t,y=1+2 t,z=5+3t.

Relaciones entre líneas

Dadas dos líneas en el plano bidimensional, las líneas son iguales, son paralelas pero no iguales, o se intersecan en un solo punto. En tres dimensiones, es posible un cuarto caso. Si dos líneas en el espacio no son paralelas, pero no se intersecan, entonces se dice que son líneas sesgadas (Figura 2.67).

Esta figura tiene dos segmentos de línea. Son tridimensionales, no son paralelas y no se intersecan. Las direcciones son diferentes y una está por encima de la otra.
Figura 2.67 En tres dimensiones, es posible que dos líneas no se intersequen, aunque tengan direcciones diferentes.

Para clasificar las líneas como paralelas pero no iguales, iguales, que se intersecan o sesgadas, necesitamos saber dos cosas: si los vectores directores son paralelos y si las líneas comparten un punto (Figura 2.68).

Esta figura es una tabla con dos filas y dos columnas. Encima de las columnas está la pregunta "¿Las líneas comparten un punto común?" La primera columna está marcada como "sí" y la segunda como "no". A la izquierda de las filas está la pregunta "¿Los vectores directores son paralelos?" La primera fila está marcada como "sí" y la segunda como "no". Las entradas de la primera fila son "iguales" y "paralelas pero no iguales". Las entradas de la segunda fila son "se intersecan" y "inclinadas"
Figura 2.68 Determine la relación entre dos líneas en función de si sus vectores directores son paralelos y si comparten un punto.

Ejemplo 2.48

Clasificación de las líneas en el espacio

Para cada par de líneas, determine si las líneas son iguales, paralelas pero no iguales, sesgadas o se intersecan.

  1. L1:x=2 s−1,y=s−1,z=s−4L1:x=2 s−1,y=s−1,z=s−4
     L2 :x=t−3,y=3t+8,z=5−2 tL2 :x=t−3,y=3t+8,z=5−2 t
  2. L1:L1: x=−y=zx=−y=z
     L2 :x−32 =y=z−2 L2 :x−32 =y=z−2
  3. L1:x=6s−1,y=−2s,z=3s+1L1:x=6s−1,y=−2s,z=3s+1
     L2 :x−46=y+3−2=z–13L2 :x−46=y+3−2=z–13

Solución

  1. La línea L1L1 tiene un vector director v1=〈2 ,1,1〉;v1=〈2 ,1,1〉; la línea L2 L2 tiene un vector director v2 =〈1,3,−2〉.v2 =〈1,3,−2〉. Como los vectores directores no son vectores paralelos, las líneas se intersecan o son sesgadas. Para determinar si las líneas se intersecan, vemos si hay un punto, (x,y,z),(x,y,z), que se encuentre en ambas líneas. Para hallar este punto, utilizamos las ecuaciones paramétricas para crear un sistema de igualdades:
    2 s−1=t−3;s−1=3t+8;s−4=5−2 t.2 s−1=t−3;s−1=3t+8;s−4=5−2 t.

     Mediante la primera ecuación, t=2 s+2 .t=2 s+2 . Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene
    s−1=3(2 s+2 )+8s−1=6s+6+85s=–15s=–3.s−1=3(2 s+2 )+8s−1=6s+6+85s=–15s=–3.

     Sin embargo, la sustitución en la tercera ecuación da lugar a una contradicción:
    s−4=5−2 (2 s+2 )s−4=5−4s−45s=5s=1s−4=5−2 (2 s+2 )s−4=5−4s−45s=5s=1

     No hay ningún punto que satisfaga las ecuaciones paramétricas para L1yL2 L1yL2 simultáneamente. Estas líneas no se intersecan, por lo que son sesgadas (vea la siguiente figura).
     Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos líneas sesgadas dibujadas. No se intersecan y no son paralelas.
  2. La línea L1 tiene un vector director v1=〈1,–1,1〉v1=〈1,–1,1〉 y pasa por el origen, (0,0,0).(0,0,0). La línea L2 L2 tiene un vector director diferente, v2 =〈2 ,1,1〉,v2 =〈2 ,1,1〉, por lo que estas líneas no son paralelas ni iguales. Supongamos que rr representa el parámetro para la línea L1L1 y supongamos que ss representa el parámetro para L2 :L2 :
    x=r y=−r z=r x=2 s+3 y=s z=s+2. x=r y=−r z=r x=2 s+3 y=s z=s+2.

     Resuelva el sistema de ecuaciones para calcular r=1r=1 y s=−1.s=−1. Si necesitamos hallar el punto de intersección, podemos sustituir estos parámetros en las ecuaciones originales para obtener (1,–1,1)(1,–1,1) (vea la siguiente figura).
     Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos líneas sesgadas dibujadas. No se intersecan y no son paralelas.
  3. Las líneas L1L1 y L2 L2 tienen vectores directores equivalentes: v=〈6,–2,3〉.v=〈6,–2,3〉. Estas dos líneas son paralelas (vea la siguiente figura)
     Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos líneas sesgadas dibujadas. No se intersecan y no son paralelas.

Punto de control 2.46

Describa la relación entre las líneas con las siguientes ecuaciones paramétricas:

x=1−4t,y=3+t,z=8−6tx=1−4t,y=3+t,z=8−6t
x=2 +3s,y=2 s,z=−1−3s.x=2 +3s,y=2 s,z=−1−3s.

Ecuaciones para un plano

Sabemos que una línea está determinada por dos puntos. En otras palabras, para dos puntos distintos cualquiera, hay exactamente una línea que pasa por esos puntos, ya sea en dos dimensiones o en tres. Del mismo modo, dados tres puntos cualesquiera que no se encuentran todos en la misma línea, existe un único plano que pasa por estos puntos. Así como una línea está determinada por dos puntos, un plano está determinado por tres.

Esta puede ser la forma más sencilla de caracterizar un plano, pero también podemos utilizar otras descripciones. Por ejemplo, dadas dos líneas distintas que se intersecan, hay exactamente un plano que contiene ambas líneas. Un plano también está determinado por una línea y cualquier punto que no se encuentre en ella. Estas caracterizaciones surgen naturalmente de la idea de que un plano está determinado por tres puntos. Quizá la caracterización más sorprendente de un plano sea en realidad la más útil.

Imagine un par de vectores ortogonales que comparten un punto inicial. Visualice que coge uno de los vectores y lo retuerce. Al girar, el otro vector gira y barre un plano. Aquí describimos ese concepto matemáticamente. Supongamos que n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 es un vector y P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) es un punto. Entonces el conjunto de todos los puntos Q=(x,y,z)Q=(x,y,z) tal que PQ→PQ→ sea ortogonal a nn forma un plano (Figura 2.69). Decimos que nn es un vector normal o perpendicular al plano. Recuerde que el producto escalar de vectores ortogonales es cero. Este hecho genera la ecuación vectorial de un plano: n.PQ→=0.n.PQ→=0. Reescribiendo esta ecuación se obtienen formas adicionales de describir el plano:

n.PQ→=0〈a,b,c〉.〈x–x0,y–y0,z−z0〉=0a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0,n.PQ→=0〈a,b,c〉.〈x–x0,y–y0,z−z0〉=0a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0,
Esta figura es un paralelogramo que representa un plano. En el plano está un vector que va del punto P al punto Q. Perpendicular al vector P Q está el vector n.
Figura 2.69 Dado un punto PP y el vector n,n, el conjunto de todos los puntos QQ con PQ→PQ→ ortogonal a nn forma un plano.

Definición

Dado un punto PP y el vector n,n, el conjunto de todos los puntos QQ que satisface la ecuación n.PQ→=0n.PQ→=0 forma un plano. La ecuación

n.PQ→=0n.PQ→=0
(2.17)

se conoce como la ecuación vectorial de un plano.

La ecuación escalar de un plano que contiene el punto P=(x0,y0,z0)P=(x0,y0,z0) con vector normal n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 es

a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0.a(x–x0)+b(y–y0)+c(z−z0)=0.
(2.18)

Esta ecuación puede expresarse como ax+by+cz+d=0,ax+by+cz+d=0, donde d=−ax0−by0−cz0.d=−ax0−by0−cz0. Esta forma de la ecuación se llama a veces la forma general de la ecuación de un plano.

Como se ha descrito anteriormente en esta sección, tres puntos cualquiera que no estén todos sobre la misma línea determinan un plano. Dados tres de estos puntos, podemos hallar una ecuación para el plano que contiene estos puntos.

Ejemplo 2.49

Escribir una ecuación de un plano dados tres puntos en el plano

Escriba una ecuación para el plano que contiene los puntos P=(1,1,–2),P=(1,1,–2), Q=(0,2 ,1),Q=(0,2 ,1), y R=(–1,–1,0)R=(–1,–1,0) en sus formas estándar y general.

Solución

Para escribir una ecuación para un plano, debemos hallar un vector normal para el plano. Comenzamos identificando dos vectores en el plano:

P Q → = 〈 0 − 1 , 2 – 1 , 1 − ( −2 ) 〉 = 〈 –1 , 1 , 3 〉 Q R → = 〈 −1 − 0 , −1 − 2 , 0 − 1 〉 = 〈 –1 , −3 , −1 〉 . P Q → = 〈 0 − 1 , 2 – 1 , 1 − ( −2 ) 〉 = 〈 –1 , 1 , 3 〉 Q R → = 〈 −1 − 0 , −1 − 2 , 0 − 1 〉 = 〈 –1 , −3 , −1 〉 .

El producto vectorial PQ→×QR→PQ→×QR→ es ortogonal a ambos PQ→PQ→ y QR→,QR→, por lo que es normal al plano que contiene estos dos vectores:

n = P Q → × Q R → = | i j k −1 1 3 −1 −3 −1 | = ( –1 + 9 ) i − ( 1 + 3 ) j + ( 3 + 1 ) k = 8 i − 4 j + 4 k . n = P Q → × Q R → = | i j k −1 1 3 −1 −3 −1 | = ( –1 + 9 ) i − ( 1 + 3 ) j + ( 3 + 1 ) k = 8 i − 4 j + 4 k .

Por lo tanto, n=〈8,−4,4〉,n=〈8,−4,4〉, y podemos elegir cualquiera de los tres puntos dados para escribir una ecuación del plano:

8 ( x – 1 ) − 4 ( y − 1 ) + 4 ( z + 2 ) = 0 8 x − 4 y + 4 z + 4 = 0, 8 ( x – 1 ) − 4 ( y − 1 ) + 4 ( z + 2 ) = 0 8 x − 4 y + 4 z + 4 = 0,

Las ecuaciones escalares de un plano varían en función del vector normal y del punto elegido.

Ejemplo 2.50

Escribir una ecuación para un plano cuando se indica un punto y una línea

Halle una ecuación del plano que pasa por el punto (1,4,3)(1,4,3) y contiene la línea dada por x=y−12 =z+1.x=y−12 =z+1.

Solución

Las ecuaciones simétricas describen la línea que pasa por el punto (0,1,−1)(0,1,−1) paralela al vector v1=〈1,2 ,1〉v1=〈1,2 ,1〉 (vea la siguiente figura). Utilice este punto y el punto dado, (1,4,3),(1,4,3), para identificar un segundo vector paralelo al plano:

v 2 = 〈 1 − 0 , 4 − 1 , 3 − ( –1 ) 〉 = 〈 1 , 3 , 4 〉 . v 2 = 〈 1 − 0 , 4 − 1 , 3 − ( –1 ) 〉 = 〈 1 , 3 , 4 〉 .

Utilice el producto vectorial de estos vectores para identificar un vector normal para el plano:

n = v 1 × v 2 = | i j k 1 2 1 1 3 4 | = ( 8 − 3 ) i − ( 4 − 1 ) j + ( 3 − 2 ) k = 5 i − 3 j + k . n = v 1 × v 2 = | i j k 1 2 1 1 3 4 | = ( 8 − 3 ) i − ( 4 − 1 ) j + ( 3 − 2 ) k = 5 i − 3 j + k .

Las ecuaciones escalares para el plano son 5x−3(y−1)+(z+1)=05x−3(y−1)+(z+1)=0 y 5x−3y+z+4=0.5x−3y+z+4=0.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay un plano dibujado. Es vertical, pero sesgado hacia el eje z.

Punto de control 2.47

Halle una ecuación del plano que contiene las líneas L1L1 y L2 :L2 :

L1:x=−y=zL2 :x−32 =y=z−2.L1:x=−y=zL2 :x−32 =y=z−2.

Ahora que podemos escribir una ecuación para un plano, podemos usar la ecuación para calcular la distancia dd entre un punto PP y el plano. Se define como la distancia más corta posible desde PP a un punto del plano.

Esta figura es el dibujo de un paralelogramo que representa un plano. En el plano están los puntos Q y R. Hay una línea discontinua de Q a R en el plano. Existe un vector n fuera del plano en el punto Q. Además, existe un vector marcado como "R P" desde el punto R al punto P que está por encima del plano. Este vector es perpendicular al plano.
Figura 2.70 Queremos calcular la distancia más corta del punto P al plano. Supongamos que el punto RR es el punto del plano tal que, para cualquier otro punto del plano Q,Q, ‖RP→‖<‖QP→‖.‖RP→‖<‖QP→‖.

Así como calculamos la distancia bidimensional entre un punto y una línea calculando la longitud de un segmento de línea perpendicular a la línea, calculamos la distancia tridimensional entre un punto y un plano calculando la longitud de un segmento de línea perpendicular al plano. Supongamos que RR es el punto en el plano tal que RP→RP→ sea ortogonal al plano, y que QQ es un punto arbitrario en el plano. Entonces la proyección del vector QP→QP→ sobre el vector normal describe el vector RP→,RP→, como se muestra en la Figura 2.70.

Teorema 2.13

La distancia entre un plano y un punto

Supongamos que un plano con un vector normal nn pasa por el punto Q.Q. La distancia dd del plano a un punto PP que no está en el plano está dada por

d=‖projnQP→‖=|compnQP→|=|QP→.n|‖n‖.d=‖projnQP→‖=|compnQP→|=|QP→.n|‖n‖.
(2.19)

Ejemplo 2.51

Distancia entre un punto y un plano

Calcule la distancia entre el punto P=(3,1,2 )P=(3,1,2 ) y el plano dado por x−2 y+z=5x−2 y+z=5 (vea la siguiente figura).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay un punto dibujado en (3, 1, 2). El punto está marcado como "P(3, 1, 2)" Hay un plano dibujado. Existe una línea perpendicular desde el plano hasta el punto P(3, 1, 2).

Solución

Los coeficientes de la ecuación del plano proporcionan un vector normal para el plano: n=〈1,–2,1〉.n=〈1,–2,1〉. Para hallar el vector QP→,QP→, necesitamos un punto en el plano. Cualquier punto funcionará, por lo que hay que establecer y=z=0y=z=0 para ver que el punto Q=(5,0,0)Q=(5,0,0) se encuentra en el plano. Halle la forma en componentes del vector de QaP:QaP:

Q P → = 〈 3 − 5 , 1 − 0 , 2 − 0 〉 = 〈 –2 , 1 , 2 〉 . Q P → = 〈 3 − 5 , 1 − 0 , 2 − 0 〉 = 〈 –2 , 1 , 2 〉 .

Aplique la fórmula de distancia de la Ecuación 2.19:

d = | Q P → . n | ‖ n ‖ = | 〈 –2 , 1 , 2 〉 . 〈 1 , –2 , 1 〉 | 1 2 + ( −2 ) 2 + 1 2 = | −2 − 2 + 2 | 6 = 2 6 . d = | Q P → . n | ‖ n ‖ = | 〈 –2 , 1 , 2 〉 . 〈 1 , –2 , 1 〉 | 1 2 + ( −2 ) 2 + 1 2 = | −2 − 2 + 2 | 6 = 2 6 .

Punto de control 2.48

Calcule la distancia entre el punto P=(5,–1,0)P=(5,–1,0) y el plano dado por 4x+2 y−z=3.4x+2 y−z=3.

Planos paralelos y que se intersecan

Hemos hablado de las distintas relaciones posibles entre dos líneas en dos y tres dimensiones. Cuando describimos la relación entre dos planos en el espacio, solo tenemos dos posibilidades: los dos planos distintos son paralelos o se intersecan. Cuando dos planos son paralelos, sus vectores normales son paralelos. Cuando dos planos se cruzan, la intersección es una línea (Figura 2.71).

Esta figura son dos planos que se intersecan. La intersección forma un segmento de línea.
Figura 2.71 La intersección de dos planos no paralelos es siempre una línea.

Podemos utilizar las ecuaciones de los dos planos para hallar las ecuaciones paramétricas de la línea de intersección.

Ejemplo 2.52

Hallar la línea de intersección de dos planos

Halle las ecuaciones paramétricas y simétricas de la línea formada por la intersección de los planos dados por x+y+z=0x+y+z=0 y 2 x−y+z=02 x−y+z=0 (vea la siguiente figura).

Esta figura son dos planos que se intersecan en el sistema de coordenadas tridimensional.

Solución

Observe que los dos planos tienen normales no paralelas, por lo que los planos se intersecan. Además, el origen satisface cada ecuación, por lo que sabemos que la línea de intersección pasa por el origen. Sume las ecuaciones del plano para poder eliminar una de las variables, en este caso, y:y:

x + y + z = 0 2 x − y + z = 0 ____________________ 3 x + 2 z = 0 . x + y + z = 0 2 x − y + z = 0 ____________________ 3 x + 2 z = 0 .

Esto nos da x=−2 3z.x=−2 3z. Sustituimos este valor en la primera ecuación para expresar yy en términos de z:z:

x + y + z = 0 − 2 3 z + y + z = 0 y + 1 3 z = 0 y = − 1 3 z . x + y + z = 0 − 2 3 z + y + z = 0 y + 1 3 z = 0 y = − 1 3 z .

Ahora tenemos las dos primeras variables, xx como y,y, en términos de la tercera variable, z.z. Ahora definimos zz en términos de t.t. Para eliminar la necesidad de fracciones, optamos por definir el parámetro tt como t=−13z.t=−13z. Entonces, z=−3t.z=−3t. Sustituyendo la representación paramétrica de zz en las otras dos ecuaciones, vemos que las ecuaciones paramétricas para la línea de intersección son x=2 t,y=t,z=−3t.x=2 t,y=t,z=−3t. Las ecuaciones simétricas de la línea son x2 =y=z−3.x2 =y=z−3.

Punto de control 2.49

Halle las ecuaciones paramétricas de la línea formada por la intersección de los planos x+y−z=3x+y−z=3 y 3x−y+3z=5.3x−y+3z=5.

Además de hallar la ecuación de la línea de intersección entre dos planos, puede que necesitemos hallar el ángulo formado por la intersección de dos planos. Por ejemplo, los constructores de una casa necesitan conocer el ángulo en el que se unen las diferentes secciones del tejado para saber si el tejado tendrá un buen aspecto y un buen drenaje. Podemos utilizar los vectores normales para calcular el ángulo entre los dos planos. Podemos hacerlo porque el ángulo entre los vectores normales es el mismo que el ángulo entre los planos. La Figura 2.72 muestra por qué esto es cierto.

Esta figura son dos paralelogramos que representan planos. Los planos se cruzan formando un ángulo theta entre ellos. El primer plano tiene el vector "n sub 1" normal al plano. El segundo vector tiene el vector "n sub 2" normal al plano. Los vectores normales se intersecan y forman el ángulo theta.
Figura 2.72 El ángulo entre dos planos tiene la misma medida que el ángulo entre los vectores normales de los planos.

Podemos hallar la medida del ángulo θ entre dos planos que se intersecan calculando primero el coseno del ángulo, utilizando la siguiente ecuación:

cosθ=|n1.n2 |‖n1‖‖n2 ‖.cosθ=|n1.n2 |‖n1‖‖n2 ‖.

A continuación, podemos utilizar el ángulo para determinar si dos planos son paralelos u ortogonales o si se intersecan en algún otro ángulo.

Ejemplo 2.53

Calcular el ángulo entre dos planos

Determine si cada par de planos es paralelo, ortogonal o ninguno. Si los planos se intersecan, pero no son ortogonales, calcule la medida del ángulo entre ellos. Indique la respuesta en radianes y redondee a dos decimales.

  1. x+2 y−z=8y2 x+4y−2 z=10x+2 y−z=8y2 x+4y−2 z=10
  2. 2 x−3y+2 z=3y6x+2 y−3z=12 x−3y+2 z=3y6x+2 y−3z=1
  3. x+y+z=4yx−3y+5z=1x+y+z=4yx−3y+5z=1

Solución

  1. Los vectores normales de estos planos son n1=〈1,2 ,−1〉n1=〈1,2 ,−1〉 y n2 =〈2 ,4,−2〉.n2 =〈2 ,4,−2〉. Estos dos vectores son múltiplos escalares el uno del otro. Los vectores normales son paralelos, por lo que los planos son paralelos.
  2. Los vectores normales de estos planos son n1=〈2 ,−3,2 〉n1=〈2 ,−3,2 〉 y n2 =〈6,2 ,−3〉.n2 =〈6,2 ,−3〉. Tomando el producto escalar de estos vectores, tenemos
    n1.n2 =〈2 ,−3,2 〉.〈6,2 ,−3〉=2 (6)−3(2 )+2 (−3)=0.n1.n2 =〈2 ,−3,2 〉.〈6,2 ,−3〉=2 (6)−3(2 )+2 (−3)=0.

     Los vectores normales son ortogonales, por lo que los planos correspondientes también lo son.
  3. Los vectores normales de estos planos son n1=〈1,1,1〉n1=〈1,1,1〉 y n2 =〈1,−3,5〉:n2 =〈1,−3,5〉:
    cosθ=|n1.n2 |‖n1‖‖n2 ‖=|〈1,1,1〉.〈1,−3,5〉|12 +12 +12 12 +(−3)2 +52 =3105.cosθ=|n1.n2 |‖n1‖‖n2 ‖=|〈1,1,1〉.〈1,−3,5〉|12 +12 +12 12 +(−3)2 +52 =3105.

     El ángulo entre los dos planos es 1,271,27 rad, o aproximadamente 73°.73°.

Punto de control 2.50

Calcule la medida del ángulo entre los planos x+y−z=3x+y−z=3 y 3x−y+3z=5.3x−y+3z=5. Indique la respuesta en radianes y redondee a dos decimales.

Cuando hallamos que dos planos son paralelos, puede que necesitemos calcular la distancia entre ellos. Para calcular esta distancia, basta con seleccionar un punto en uno de los planos. La distancia de este punto al otro plano es la distancia entre los planos.

Anteriormente, introdujimos la fórmula para calcular esta distancia en la Ecuación 2.19:

d=QP→.n‖n‖,d=QP→.n‖n‖,

donde QQ es un punto en el plano, PP es un punto que no está en el plano, y nn es el vector normal que pasa por el punto Q.Q. Considere la distancia desde el punto (x0,y0,z0)(x0,y0,z0) al plano ax+by+cz+k=0.ax+by+cz+k=0. Supongamos que (x1,y1,z1)(x1,y1,z1) es cualquier punto del plano. Sustituyendo en la fórmula se obtiene

d=|a(x0−x1)+b(y0−y1)+c(z0−z1)|a2 +b2 +c2 =|ax0+by0+cz0+k|a2 +b2 +c2 .d=|a(x0−x1)+b(y0−y1)+c(z0−z1)|a2 +b2 +c2 =|ax0+by0+cz0+k|a2 +b2 +c2 .

Enunciamos este resultado formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 2.14

Distancia de un punto a un plano

Supongamos que P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0) es un punto. La distancia de PP al plano ax+by+cz+k=0ax+by+cz+k=0 está dada por

d=|ax0+by0+cz0+k|a2 +b2 +c2 .d=|ax0+by0+cz0+k|a2 +b2 +c2 .

Ejemplo 2.54

Calcular la distancia entre planos paralelos

Calcule la distancia entre los dos planos paralelos dada por 2 x+y−z=2 2 x+y−z=2 y 2 x+y−z=8.2 x+y−z=8.

Solución

El punto (1,0,0)(1,0,0) se encuentra en el primer plano. La distancia deseada, entonces, es

d = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + k | a 2 + b 2 + c 2 = | 2 ( 1 ) + 1 ( 0 ) + ( –1 ) ( 0 ) + ( −8 ) | 2 2 + 1 2 + ( –1 ) 2 = 6 6 = 6 . d = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + k | a 2 + b 2 + c 2 = | 2 ( 1 ) + 1 ( 0 ) + ( –1 ) ( 0 ) + ( −8 ) | 2 2 + 1 2 + ( –1 ) 2 = 6 6 = 6 .

Punto de control 2.51

Calcule la distancia entre los planos paralelos 5x−2 y+z=65x−2 y+z=6 y 5x−2 y+z=−3.5x−2 y+z=−3.

Proyecto de estudiante

Distancia entre dos líneas sesgadas

Esta figura muestra un sistema de tuberías que discurren en diferentes direcciones en una planta industrial. Los dos tubos sesgados están resaltados en rojo.
Figura 2.73 Las instalaciones de tuberías industriales suelen presentar tuberías que discurren en distintas direcciones. ¿Cómo podemos calcular la distancia entre dos tubos sesgados?

Calcular la distancia de un punto a una línea o de una línea a un plano parece un procedimiento bastante abstracto. Pero, si las líneas representan tuberías en una planta química o tubos en una refinería de petróleo o carreteras en una intersección de autopistas, confirmar que la distancia entre ellas cumple las especificaciones puede ser tan importante como incómodo de medir. Una forma es modelar las dos tuberías como líneas, utilizando las técnicas de este capítulo, y luego calcular la distancia entre ellas. El cálculo consiste en formar vectores a lo largo de las direcciones de las líneas y utilizar tanto el producto vectorial como el producto escalar.

Las formas simétricas de dos líneas, L1L1 y L2 ,L2 , son

L1:x–x1a1=y–y1b1=z−z1c1L2 :x–x2 a2 =y–y2 b2 =z−z2 c2 .L1:x–x1a1=y–y1b1=z−z1c1L2 :x–x2 a2 =y–y2 b2 =z−z2 c2 .

Debe desarrollar una fórmula para la distancia dd entre estas dos líneas, en términos de los valores a1,b1,c1;a2 ,b2 ,c2 ;x1,y1,z1;yx2 ,y2 ,z2 .a1,b1,c1;a2 ,b2 ,c2 ;x1,y1,z1;yx2 ,y2 ,z2 . La distancia entre dos líneas suele entenderse como la distancia mínima, por lo que se trata de la longitud de un segmento de línea o de la longitud de un vector que es perpendicular a ambas líneas y las interseca.

  1. Primero, escriba dos vectores, v1v1 y v2 ,v2 , que se encuentran a lo largo de L1L1 y L2 ,L2 , respectivamente.
  2. Calcule el producto vectorial de estos dos vectores y llámelo N.N. Este vector es perpendicular a v1yv2 ,v1yv2 , y por lo tanto es perpendicular a ambas líneas.
  3. A partir del vector N,N, forme un vector unitario nn en la misma dirección.
  4. Utilice las ecuaciones simétricas para hallar un vector conveniente v12v12 que se encuentre entre dos puntos cualquiera, uno en cada línea. De nuevo, esto puede hacerse directamente a partir de las ecuaciones simétricas.
  5. El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la proyección de un vector sobre el otro, es decir, A.B=‖A‖‖B‖cosθ,A.B=‖A‖‖B‖cosθ, donde θθ es el ángulo entre los vectores. Utilizando el producto escalar, calcule la proyección del vector v12v12 encontrado en el paso 44 sobre el vector unitario nn encontrado en el paso 3. Esta proyección es perpendicular a ambas líneas, por lo que su longitud debe ser la distancia perpendicular dd entre ellos. Tenga en cuenta que el valor de dd puede ser negativo, dependiendo de su elección de vector v12v12 o el orden del producto vectorial, por lo que hay que utilizar signos de valor absoluto alrededor del numerador.
  6. Compruebe que su fórmula da la distancia correcta de |–25|/198≈1,78|–25|/198≈1,78 entre las dos líneas siguientes:
    L1:x−52 =y−34=z–13L2 :x−63=y−15=z7.L1:x−52 =y−34=z–13L2 :x−63=y−15=z7.
  7. ¿Es válida su expresión general cuando las líneas son paralelas? Si no, ¿por qué no? (Pista: ¿Qué sabe del valor del producto vectorial de dos vectores paralelos? ¿Dónde aparecería ese resultado en su expresión para d?)d?)
  8. Demuestre que su expresión para la distancia es cero cuando las líneas se intersecan. Recordemos que dos líneas se intersecan si no son paralelas y están en el mismo plano. Por lo tanto, considere la dirección de nn y v12.v12. ¿Cuál es el resultado de su producto escalar?
  9. Considere la siguiente aplicación. Los ingenieros de una refinería han determinado que necesitan instalar puntales de apoyo entre muchas de las tuberías de gas para reducir las vibraciones perjudiciales. Para minimizar el costo, planean instalar estos puntales en los puntos más cercanos entre las tuberías sesgadas adyacentes. Al disponer de esquemas detallados de la estructura, pueden determinar las longitudes correctas de los puntales necesarios y, por tanto, fabricarlos y distribuirlos a los equipos de instalación sin perder un tiempo valioso haciendo mediciones.
     La estructura de marco rectangular tiene las dimensiones 4,0×15,0×10,0m4,0×15,0×10,0m (altura, ancho y profundidad). Un sector tiene una tubería que entra en la esquina inferior de la unidad de marco estándar y sale en la esquina diametralmente opuesta (la más alejada en la parte superior); llámese L1.L1. Una segunda tubería entra y sale en las dos esquinas inferiores opuestas diferentes; llámese L2 L2 (Figura 2.74).
    Esta figura es una caja tridimensional en un sistema de coordenadas x y z. La caja tiene unas dimensiones x = 10 m, y = 15 m y z = 4 m. La línea L1 pasa por una diagonal principal de la caja desde el origen hasta la esquina más lejana. La línea L2 pasa por una diagonal en la base de la caja con intersección x 10 e intersección y 15.
    Figura 2.74 Dos tubos se intersecan a través de una unidad de marco estándar.

    Escriba los vectores a lo largo de las líneas que representan esas tuberías, calcule el producto vectorial entre ellos a partir del cual se crea el vector unitario n,n, defina un vector que abarque dos puntos de cada línea, y finalmente determine la distancia mínima entre las líneas (se toma como origen la esquina inferior de la primera tubería). Del mismo modo, también puede desarrollar las ecuaciones simétricas para cada línea y sustituirlas directamente en su fórmula.

Sección 2.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, los puntos PP y QQ están dados. Supongamos que LL es la línea que pasa por los puntos PP y Q.Q.

  1. Halle la ecuación vectorial de la línea L.L.
  2. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea L.L.
  3. Halle las ecuaciones simétricas de la línea L.L.
  4. Halle las ecuaciones paramétricas del segmento de línea determinado por PP y Q.Q.
243.

P(−3,5,9),P(−3,5,9), Q(4,–7,2 )Q(4,–7,2 )

244.

P(4,0,5),Q(2 ,3,1)P(4,0,5),Q(2 ,3,1) grandes.

245.

P(–1,0,5),P(–1,0,5), Q(4,0,3)Q(4,0,3)

246.

P(7,–2,6),P(7,–2,6), Q(−3,0,6)Q(−3,0,6)

En los siguientes ejercicios, el punto PP y el vector vv están dados. Supongamos que LL es la línea que pasa por el punto PP con dirección v.v.

  1. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea L.L.
  2. Halle las ecuaciones simétricas de la línea L.L.
  3. Halle la intersección de la línea con el plano xy.
247.

P(1,–2,3),P(1,–2,3), v=〈1,2 ,3〉v=〈1,2 ,3〉

248.

P(3,1,5),P(3,1,5), v=〈1,1,1〉v=〈1,1,1〉

249.

P(3,1,5),P(3,1,5), v=QR→,v=QR→, donde Q(2 ,2 ,3)Q(2 ,2 ,3) y R(3,2 ,3)R(3,2 ,3)

250.

P(2 ,3,0),P(2 ,3,0), v=QR→,v=QR→, donde Q(0,4,5)Q(0,4,5) y R(0,4,6)R(0,4,6)

En los siguientes ejercicios, la línea LL está dada.

  1. Halle el punto PP que pertenece al vector línea y director vv de la línea. Exprese vv en forma de componentes.
  2. Calcule la distancia del origen a la línea L.L.
251.

x=1+t,y=3+t,z=5+4t,x=1+t,y=3+t,z=5+4t, t∈ℝt∈ℝ

252.

− x = y + 1 , z = 2 − x = y + 1 , z = 2

253.

Calcule la distancia entre el punto A(−3,1,1)A(−3,1,1) y la línea de ecuaciones simétricas

x = − y = − z . x = − y = − z .

254.

Calcule la distancia entre el punto A(4,2 ,5)A(4,2 ,5) y la línea de ecuaciones paramétricas

x=−1−t,y=−t,z=2 ,x=−1−t,y=−t,z=2 , t∈ℝ.t∈ℝ.

En los siguientes ejercicios, las líneas L1L1 y L2 L2 están dadas.

  1. Verifique si las líneas L1L1 y L2 L2 son paralelas.
  2. Si las líneas L1L1 y L2 L2 son paralelas, entonces calcule la distancia entre ellas.
255.

L1:x=1+t,y=t,z=2 +t,L1:x=1+t,y=t,z=2 +t, t∈ℝ,t∈ℝ, L2 :x−3=y−1=z−3L2 :x−3=y−1=z−3

256.

L1:x=2 ,y=1,z=t,L1:x=2 ,y=1,z=t, L2 :x=1,y=1,z=2 −3t,L2 :x=1,y=1,z=2 −3t, t∈ℝt∈ℝ

257.

Demuestre que la línea que pasa por los puntos P(3,1,0)P(3,1,0) y Q(1,4,−3)Q(1,4,−3) es perpendicular a la línea de ecuación x=3t,y=3+8t,z=−7+6t,x=3t,y=3+8t,z=−7+6t, t∈ℝ.t∈ℝ.

258.

¿Son las líneas de las ecuaciones x=−2+2 t,y=–6,z=2 +6tx=−2+2 t,y=–6,z=2 +6t y x=−1+t,y=1+t,z=t,x=−1+t,y=1+t,z=t, t∈ℝ,t∈ℝ, perpendiculares entre sí?

259.

Halle el punto de intersección de las líneas de ecuaciones x=–2y=3zx=–2y=3z y x=−5−t,y=−1+t,z=t−11,x=−5−t,y=−1+t,z=t−11, t∈ℝ.t∈ℝ.

260.

Halle el punto de intersección del eje x con la línea de ecuaciones paramétricas

x=10+t,y=2 −2 t,z=−3+3t,x=10+t,y=2 −2 t,z=−3+3t, t∈ℝ.t∈ℝ.

En los siguientes ejercicios, las líneas L1L1 y L2 L2 están dadas. Determine si las líneas son iguales, paralelas pero no iguales, sesgadas o se intersecan.

261.

L1:x=y−1=−zL1:x=y−1=−z y L2 :x−2 =−y=z2 L2 :x−2 =−y=z2

262.

L1:x=2 t,y=0,z=3,L1:x=2 t,y=0,z=3, t∈ℝt∈ℝ y L2 :x=0,y=8+s,z=7+s,L2 :x=0,y=8+s,z=7+s, s∈ℝs∈ℝ

263.

L1:x=−1+2 t,y=1+3t,z=7t,L1:x=−1+2 t,y=1+3t,z=7t, t∈ℝt∈ℝ y L2 :x–1=2 3(y−4)=2 7z−2 L2 :x–1=2 3(y−4)=2 7z−2

264.

L1:3x=y+1=2 zL1:3x=y+1=2 z y L2 :x=6+2 t,y=17+6t,z=9+3t,L2 :x=6+2 t,y=17+6t,z=9+3t, t∈ℝt∈ℝ

265.

Considere la línea LL de ecuaciones simétricas x−2 =−y=z2 x−2 =−y=z2 y punto A(1,1,1).A(1,1,1).

  1. Halle las ecuaciones paramétricas de una línea paralela a LL que pasa por el punto A.A.
  2. Halle las ecuaciones simétricas de una línea sesgada a LL y que pasa por el punto A.A.
  3. Halle las ecuaciones simétricas de una línea que interseca LL y pasa por el punto A.A.
266.

Considere la línea LL de ecuaciones paramétricas x=t,y=2 t,z=3,x=t,y=2 t,z=3, t∈ℝ.t∈ℝ.

  1. Halle las ecuaciones paramétricas de una línea paralela a LL que pasa por el origen.
  2. Halle las ecuaciones paramétricas de una línea sesgada a LL que pasa por el origen.
  3. Halle las ecuaciones simétricas de una línea que interseca LL y pasa por el origen.

En los siguientes ejercicios, el punto PP y el vector nn están dados.

  1. Halle la ecuación escalar del plano que pasa por PP y tiene un vector normal n.n.
  2. Halle la forma general de la ecuación del plano que pasa por PP y tiene un vector normal n.n.
267.

P(0,0,0),P(0,0,0), nn =3i−2 j+4knn =3i−2 j+4k

268.

P(3,2 ,2 ),P(3,2 ,2 ), n=2 i+3j−kn=2 i+3j−k

269.

P(1,2 ,3),P(1,2 ,3), n=〈1,2 ,3〉n=〈1,2 ,3〉

270.

P(0,0,0),P(0,0,0), n=〈−3,2 ,−1〉n=〈−3,2 ,−1〉

En los siguientes ejercicios, se da la ecuación de un plano.

  1. Halle el vector normal nn al plano. Exprese nn utilizando vectores normales unitarios.
  2. Halle las intersecciones del plano con los ejes de coordenadas.
  3. Dibuje el plano.
271.

[T] 4x+5y+10z−20=04x+5y+10z−20=0

272.

3 x + 4 y − 12 = 0 3 x + 4 y − 12 = 0

273.

3 x − 2 y + 4 z = 0 3 x − 2 y + 4 z = 0

274.

x + z = 0 x + z = 0

275.

Dados el punto P(1,2 ,3)P(1,2 ,3) y el vector n=i+j,n=i+j, halle el punto QQ en el eje x, de manera que PQ→PQ→ y nn sean ortogonales.

276.

Demuestre que no hay ningún plano perpendicular a n=i+jn=i+j que pasa por los puntos P(1,2 ,3)P(1,2 ,3) y Q(2 ,3,4).Q(2 ,3,4).

277.

Halle las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por el punto P(–2,1,3)P(–2,1,3) que es perpendicular al plano de la ecuación 2 x−3y+z=7.2 x−3y+z=7.

278.

Halle las ecuaciones simétricas de la línea que pasa por el punto P(2 ,5,4)P(2 ,5,4) que es perpendicular al plano de la ecuación 2 x+3y−5z=0.2 x+3y−5z=0.

279.

Demuestre que la línea x–12 =y+13=z−2 4x–12 =y+13=z−2 4 es paralela al plano x−2 y+z=6.x−2 y+z=6.

280.

Calcule el número real αα tal que la línea de ecuaciones paramétricas x=t,y=2 −t,z=3+t,x=t,y=2 −t,z=3+t, t∈ℝt∈ℝ sea paralela al plano de la ecuación αx+5y+z−10=0,αx+5y+z−10=0,

En los siguientes ejercicios, los puntos P,Q,yRP,Q,yR están dados.

  1. Halle la intersección la ecuación general del plano que pasa por P,Q,yR.P,Q,yR.
  2. Escriba la ecuación vectorial n.PS→=0n.PS→=0 del plano en a., donde S(x,y,z)S(x,y,z) es un punto arbitrario del plano.
  3. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por el origen y es perpendicular al plano que pasa por P,Q,yR.P,Q,yR.
281.

P(1,1,1),Q(2 ,4,3),P(1,1,1),Q(2 ,4,3), y R(–1,–2,–1)R(–1,–2,–1)

282.

P(–2,1,4),Q(3,1,3),P(–2,1,4),Q(3,1,3), y R(–2,1,0)R(–2,1,0)

283.

Considere los planos de las ecuaciones x+y+z=1x+y+z=1 y x+z=0.x+z=0.

  1. Demuestre que los planos se intersecan.
  2. Halle las ecuaciones simétricas de la línea que pasa por el punto P(1,4,6)P(1,4,6) que es paralela a la línea de intersección de los planos.
284.

Considere los planos de las ecuaciones −y+z−2 =0−y+z−2 =0 y x−y=0.x−y=0.

  1. Demuestre que los planos se intersecan.
  2. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por el punto P(–8,0,2 )P(–8,0,2 ) que es paralela a la línea de intersección de los planos.
285.

Halle la ecuación escalar del plano que pasa por el punto P(–1,2 ,1)P(–1,2 ,1) y es perpendicular a la línea de intersección de los planos x+y−z−2 =0x+y−z−2 =0 y 2 x−y+3z–1=0.2 x−y+3z–1=0.

286.

Halle la ecuación general del plano que pasa por el origen y es perpendicular a la línea de intersección de los planos −x+y+2 =0−x+y+2 =0 y z−3=0.z−3=0.

287.

Determine si la línea de ecuaciones paramétricas x=1+2 t,y=−2t,z=2 +t,x=1+2 t,y=−2t,z=2 +t, t∈ℝt∈ℝ interseca el plano con la ecuación 3x+4y+6z−7=0.3x+4y+6z−7=0. Si lo interseca, halle el punto de intersección.

288.

Determine si la línea de ecuaciones paramétricas x=5,y=4−t,z=2 t,x=5,y=4−t,z=2 t, t∈ℝt∈ℝ interseca el plano con la ecuación 2 x−y+z=5.2 x−y+z=5. Si lo interseca, halle el punto de intersección.

289.

Calcule la distancia desde el punto P(1,5,–4)P(1,5,–4) al plano de la ecuación 3x−y+2 z−6=0.3x−y+2 z−6=0.

290.

Calcule la distancia desde el punto P(1,–2,3)P(1,–2,3) al plano de la ecuación (x−3)+2 (y+1)−4z=0.(x−3)+2 (y+1)−4z=0.

En los siguientes ejercicios se dan las ecuaciones de dos planos.

  1. Determine si los planos son paralelos, ortogonales o ninguno.
  2. Si los planos no son paralelos ni ortogonales, calcule la medida del ángulo entre los planos. Exprese la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.
291.

[T] x+y+z=0,x+y+z=0, 2 x−y+z−7=02 x−y+z−7=0

292.

5x−3y+z=4,5x−3y+z=4, x+4y+7z=1x+4y+7z=1

293.

x−5y−z=1,x−5y−z=1, 5x−25y−5z=−35x−25y−5z=−3

294.

[T] x−3y+6z=4,x−3y+6z=4, 5x+y−z=45x+y−z=4

295.

Demuestre que las líneas de las ecuaciones x=t,y=1+t,z=2 +t,x=t,y=1+t,z=2 +t, t∈ℝ,t∈ℝ, y x2 =y−13=z−3x2 =y−13=z−3 están sesgadas y calcule la distancia entre ellas.

296.

Demuestre que las líneas de las ecuaciones x=−1+t,y=−2+t,z=3t,x=−1+t,y=−2+t,z=3t, t∈ℝ,t∈ℝ, y x=5+s,y=−8+2 s,z=7s,x=5+s,y=−8+2 s,z=7s, s∈ℝs∈ℝ están sesgadas y calcule la distancia entre ellas.

297.

Considere el punto C(−3,2 ,4)C(−3,2 ,4) y el plano de la ecuación 2 x+4y−3z=8.2 x+4y−3z=8.

  1. Calcule el radio de la esfera con centro CC tangente al plano dado.
  2. Halle el punto P de tangencia.
298.

Consideremos el plano de la ecuación x−y−z−8=0.x−y−z−8=0.

  1. Halle la ecuación de la esfera con centro CC en el origen que es tangente al plano dado.
  2. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por el origen y el punto de tangencia.
299.

Dos niños juegan con una pelota. La chica lanza la pelota al chico. La pelota se desplaza en

el aire, toma una curva 33 pies hacia la derecha, y cae a 55 pies de distancia de la chica (vea la siguiente figura). Si el plano que contiene la trayectoria de la pelota es perpendicular al suelo, halle su ecuación.

Esta figura es la imagen de dos niños lanzando una pelota. La trayectoria de la pelota se representa con un arco. La distancia desde la chica que lanza la pelota hasta el punto en el que esta cae es de 5 pies. La distancia desde el chico hasta el lugar donde cae la pelota es de 3 pies.
300.

[T] John asigna dd dólares para consumir mensualmente tres mercancías de precios a,b,yc.a,b,yc. En este contexto, la ecuación presupuestaria se define como ax+by+cz=d,ax+by+cz=d, donde x≥0,y≥0,x≥0,y≥0, y z≥0z≥0 representan el número de artículos comprados de cada una de las mercancías. El conjunto de presupuesto está dado por {(x,y,z)|ax+by+cz≤d,x≥0,y≥0,z≥0},{(x,y,z)|ax+by+cz≤d,x≥0,y≥0,z≥0}, y el plano del presupuesto es la parte del plano de ecuación ax+by+cz=dax+by+cz=d para la cual x≥0,y≥0,x≥0,y≥0, y z≥0.z≥0. Considere que a=$8,a=$8, b=$5,b=$5, c=$10,c=$10, y d=$500.d=$500.

  1. Utilice un CAS para graficar el conjunto de presupuesto y el plano presupuestario.
  2. Para z=25,z=25, halle la nueva ecuación del presupuesto y grafique el conjunto de presupuesto en el mismo sistema de coordenadas.
301.

[T] Considere r(t)=〈sent,cost,2 t〉r(t)=〈sent,cost,2 t〉 es el vector de posición de una partícula en el tiempo t∈[0,3],t∈[0,3], donde las componentes de r se expresan en centímetros y el tiempo se mide en segundos. Supongamos que OP→OP→ es el vector de posición de la partícula después de 11 seg.

  1. Determine el vector velocidad v(1)v(1) de la partícula después de 11 seg.
  2. Halle la ecuación escalar del plano que es perpendicular a v(1)v(1) y pasa por el punto P.P. Este plano se denomina plano normal a la trayectoria de la partícula en el punto P.P.
  3. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula junto con el vector velocidad y el plano normal en el punto P.P.
302.

[T] Se monta un panel solar en el tejado de una casa. Se puede considerar que el panel está situado en los puntos de coordenadas (en metros) A(8,0,0),A(8,0,0), B(8,18,0),B(8,18,0), C(0,18,8),C(0,18,8), y D(0,0,8)D(0,0,8) (vea la siguiente figura).

Esta figura es una imagen de un panel solar rectangular en un tejado. Las esquinas del rectángulo están marcadas como A, B, C, D. Hay dos vectores, el primero va de A a D. El segundo va de A a B.
  1. Halle la forma general de la ecuación del plano que contiene el panel solar utilizando los puntos A,B,yC,A,B,yC, y demuestre que su vector normal es equivalente a AB→×AD→.AB→×AD→.
  2. Halle las ecuaciones paramétricas de la línea L1L1 que pasa por el centro del panel solar y tiene el vector director s=13i+13j+13k,s=13i+13j+13k, que señala la posición del Sol en un momento determinado del día.
  3. Halle las ecuaciones simétricas de la línea L2 L2 que pasa por el centro del panel solar y es perpendicular a él.
  4. Determine el ángulo de elevación del Sol sobre el panel solar utilizando el ángulo entre las líneas L1L1 y L2 .L2 .