Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio

3.1 Funciones de valores vectoriales y curvas en el espacio

Objetivos de aprendizaje

3.1.1 Escribir la ecuación general de una función de valor vectorial en forma de componente y en forma de vector unitario.
3.1.2 Reconocer las ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio.
3.1.3 Describir la forma de una hélice y escribir su ecuación.
3.1.4 Definir el límite de una función de valor vectorial.

Nuestro estudio de las funciones de valores vectoriales combina las ideas de nuestro análisis del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de los vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. En esta sección ampliamos conceptos de capítulos anteriores y también examinamos nuevas ideas relativas a las curvas en el espacio tridimensional. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación del material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.

Definición de una función de valor vectorial

Nuestro primer paso en el estudio del cálculo de funciones de valores vectoriales es definir qué es exactamente una función de valor vectorial. A continuación, podemos observar gráficos de las funciones de valores vectoriales y ver cómo definen las curvas en dos y tres dimensiones.

Definición

Una función de valor vectorial es una función de la forma

r (t) = f (t) i + g (t) j o r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k,

(3.1)

donde las funciones componentes f, g y h son funciones de valor real del parámetro t. Las funciones de valores vectoriales también se escriben en la forma

r (t) = 〈 f (t), g (t) 〉 o r (t) = 〈 f (t), g (t), h (t) 〉 .

(3.2)

En ambos casos, la primera forma de la función define una función de valor vectorial bidimensional; la segunda forma describe una función de valor vectorial tridimensional.

El parámetro t puede estar entre dos números reales $a \leq t \leq b .$ Otra posibilidad es que el valor de t tome todos los números reales. Por último, las propias funciones componentes pueden tener restricciones de dominio que imponen restricciones al valor de t. A menudo utilizamos t como parámetro porque t puede representar el tiempo.

Ejemplo 3.1

Evaluar funciones de valores vectoriales y determinar dominios

Para cada una de las siguientes funciones de valores vectoriales, evalúe $r (0), r (\frac{π}{2}), y r (\frac{2 π}{3}) .$ ¿Alguna de estas funciones tiene restricciones de dominio?

$r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j$
$r (t) = 3 tan t i + 4 sec t j + 5 t k$

Solución

Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor correspondiente de t en la función:

$\begin{matrix} r (0) & = & 4 cos (0) i + 3 sen (0) j \\ = & 4 i + 0 j = 4 i \\ r (\frac{π}{2}) & = & 4 cos (\frac{π}{2}) i + 3 sen (\frac{π}{2}) j \\ = & 0 i + 3 j = 3 j \\ r (\frac{2 π}{3}) & = & 4 cos (\frac{2 π}{3}) i + 3 sen (\frac{2 π}{3}) j \\ = & 4 (- \frac{1}{2}) i + 3 (\frac{\sqrt{3}}{2}) j = –2 i + \frac{3 \sqrt{3}}{2} j . \end{matrix}$

Para determinar si esta función tiene alguna restricción de dominio, considere las funciones de los componentes por separado. La función del primer componente es $f (t) = 4 cos t$ y la función del segundo componente es $g (t) = 3 sen t .$ Ninguna de estas funciones tiene una restricción de dominio, por lo que el dominio de $r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j$ son todos números reales.
Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor correspondiente de t en la función:

$\begin{matrix} r (0) & = & 3 tan (0) i + 4 sec (0) j + 5 (0) k \\ = & 0 i + 4 j + 0 k = 4 j \\ r (\frac{π}{2}) & = & 3 tan (\frac{π}{2}) i + 4 sec (\frac{π}{2}) j + 5 (\frac{π}{2}) k, que no existe \\ r (\frac{2 π}{3}) & = & 3 tan (\frac{2 π}{3}) i + 4 sec (\frac{2 π}{3}) j + 5 (\frac{2 π}{3}) k \\ = & 3 (- \sqrt{3}) i + 4 (−2) j + \frac{10 π}{3} k \\ = & −3 \sqrt{3} i - 8 j + \frac{10 π}{3} k . \end{matrix}$

Para determinar si esta función tiene alguna restricción de dominio, considere las funciones de los componentes por separado. La función del primer componente es $f (t) = 3 tan t,$ la función del segundo componente es $g (t) = 4 sec t,$ y la función del tercer componente es $h (t) = 5 t .$ Las dos primeras funciones no están definidas para los múltiplos impares de $π / 2,$ por lo que la función no está definida para los múltiplos impares de $π / 2 .$ Por lo tanto, $dom (r (t)) = {t | t \neq \frac{(2 n + 1) π}{2}},$ donde n es un número entero cualquiera.

Punto de control 3.1

Para la función de valor vectorial $r (t) = (t^{2} - 3 t) i + (4 t + 1) j,$ evaluar $r (0), r (1), y r (–4) .$ ¿Esta función tiene alguna restricción de dominio?

El Ejemplo 3.1 ilustra un concepto importante. El dominio de una función de valor vectorial está formado por números reales. El dominio puede ser todos los números reales o un subconjunto de ellos. El rango de una función de valor vectorial está formado por vectores. Cada número real en el dominio de una función de valor vectorial se asigna a un vector de dos o tres dimensiones.

Graficar funciones de valores vectoriales

Recordemos que un vector en un plano está formado por dos cantidades: la dirección y la magnitud. Dado un punto cualquiera del plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección determinada a una distancia determinada, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto terminal del vector. Calculamos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial está situado en el origen. Al graficar una función de valor vectorial, normalmente se grafican los vectores en el dominio de la función en posición estándar, ya que al hacerlo se garantiza la singularidad del gráfico. Esta convención se aplica también a los gráficos de las funciones de valores vectoriales tridimensionales. El gráfico de una función de valor vectorial de la forma $r (t) = f (t) i + g (t) j$ consiste en el conjunto de todos los $(t, r (t)),$ y la trayectoria que traza se llama curva plana. La gráfica de una función de valor vectorial de la forma $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k$ consiste en el conjunto de todos los $(t, r (t)),$ y la trayectoria que traza se llama curva en el espacio. Cualquier representación de una curva plana o curva en el espacio mediante una función de valor vectorial se denomina parametrización vectorial de la curva.

Ejemplo 3.2

Graficar una función de valor vectorial

Cree un gráfico de cada una de las siguientes funciones de valores vectoriales:

La curva plana representada por $r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j,$ $0 \leq t \leq 2 π$
La curva plana representada por $r (t) = 4 cos t^{3} i + 3 sen t^{3} j,$ $0 \leq t \leq 2 π$
La curva en el espacio representada por $r (t) = cos t i + sen t j + t k,$ $0 \leq t \leq 4 π$

Solución

Como con cualquier gráfico, empezamos con una tabla de valores. A continuación, graficamos cada uno de los vectores de la segunda columna de la tabla en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura 3.2). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen

t	$r (t)$	t	$r (t)$
0	$4 i$	$π$	$−4 i$
$\frac{π}{4}$	$2 \sqrt{2} i + \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$	$\frac{5 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} i - \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$
$\frac{π}{2}$	$3 j$	$\frac{3 π}{2}$	$−3 j$
$\frac{3 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} i + \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$	$\frac{7 π}{4}$	$2 \sqrt{2} i - \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$
$2 π$	$4 i$

Tabla 3.1 Tabla de valores para

r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j,

0 \leq t \leq 2 π

Esta figura es el gráfico de una elipse centrada en el origen. El gráfico es la función de valor vectorial r(t) = 4cost i + 3sent j. La elipse tiene flechas en la curva que representan la orientación contraria a las agujas del reloj. También hay segmentos de línea dentro de la elipse a la curva en diferentes incrementos de t. Los incrementos son t=0, t=pi/4, t=pi/2, t=3pi/4.

Figura 3.2 El gráfico de la primera función de valor vectorial es una elipse.

La tabla de valores para

r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j,

0 \leq t \leq 2 π

es la siguiente

t	$r (t)$	t	$r (t)$
0	$4 i$	$\frac{π}{2}$	$−4 i$
$\frac{π}{8}$	$2 \sqrt{2} i + \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$	$\frac{5 π}{8}$	$−2 \sqrt{2} i - \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$
$\frac{π}{4}$	$3 j$	$\frac{3 π}{4}$	$−3 j$
$\frac{3 π}{8}$	$−2 \sqrt{2} i + \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$	$\frac{7 π}{8}$	$2 \sqrt{2} i - \frac{3 \sqrt{2}}{2} j$
$π$	$4 i$

Tabla 3.2 Tabla de valores para

r (t) = 4 cos(2t) i + 3 sen(2t) j,

0 \leq t \leq π

El gráfico de esta curva también es una elipse centrada en el origen.

Esta figura es la gráfica de una elipse centrada en el origen. El gráfico es la función de valor vectorial r(t) = 4cost^3 i + 3sent^3 j.

Figura 3.3 El gráfico de la segunda función de valor vectorial también es una elipse.

Se procede de la misma manera para una función vectorial tridimensional

t	$r (t)$	t	$r (t)$
0	$4 i$	$π$	$−4 j + π k$
$\frac{π}{4}$	$2 \sqrt{2} i + 2 \sqrt{2} j + \frac{π}{4} k$	$\frac{5 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} j + \frac{5 π}{4} k$
$\frac{π}{2}$	$4 j + \frac{π}{2} k$	$\frac{3 π}{2}$	$−4 j + \frac{3 π}{2} k$
$\frac{3 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} i + 2 \sqrt{2} j + \frac{3 π}{4} k$	$\frac{7 π}{4}$	$2 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{2} j + \frac{7 π}{4} k$
$2 π$	$4 i + 2 π k$

Tabla 3.3 Tabla de valores para

r (t) = cos t i + sen t j + t k,

0 \leq t \leq 4 π

Los valores se repiten entonces, con la salvedad de que el coeficiente de k siempre es creciente (Figura 3.4). Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina el componente k, la función se convierte en

r (t) = cos t i + sen t j,

que es un círculo unitario centrado en el origen

Esta figura es el gráfico de una hélice en el sistema de coordenadas tridimensional. La curva representa la función r(t) = cost i + sent j + tk. La curva sigue una trayectoria circular alrededor del eje z vertical y tiene el aspecto de un resorte. Las flechas de la curva representan la orientación.

Figura 3.4 El gráfico de la tercera función vectorial es una hélice.

Puede observar que los gráficos de las partes a. y b. son idénticos. Esto ocurre porque la función que describe la curva b es una reparametrización de la función que describe la curva a. De hecho, cualquier curva tiene un número infinito de reparametrizaciones; por ejemplo, podemos sustituir t por $2 t$ en cualquiera de las tres curvas anteriores sin cambiar sus formas. El intervalo sobre el que se define t puede cambiar, pero eso es todo. Volveremos a esta idea más adelante en este capítulo cuando estudiemos la parametrización por longitud de arco.

Como hemos mencionado, el nombre de la forma de la curva del gráfico en el Ejemplo 3.2c. es una hélice (Figura 3.4). La curva se asemeja a un resorte, con una sección transversal circular que mira hacia abajo a lo largo del eje z. También es posible que una hélice tenga una sección transversal elíptica. Por ejemplo, la función de valor vectorial $r (t) = 4 cos t i + 3 sen t j + t k$ describe una hélice elíptica. La proyección de esta hélice en el plano $x, y$ es una elipse. Por último, las flechas del gráfico de esta hélice indican la orientación de la curva a medida que t avanza de 0 a $4 π .$

Punto de control 3.2

Crear un gráfico de la función de valor vectorial $r (t) = (t^{2} - 1) i + (2 t - 3) j,$ $0 \leq t \leq 3 .$

Llegados a este punto, es posible que note una similitud entre las funciones de valor vectorial y las curvas parametrizadas. En efecto, dada una función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j,$ podemos definir $x = f (t)$ y de $y = g (t) .$ Si existe una restricción en los valores de t (por ejemplo, t está restringido al intervalo $[a, b]$ para algunas constantes $a < b),$ entonces esta restricción se aplica al parámetro. El gráfico de la función parametrizada coincidiría entonces con el gráfico de la función de valor vectorial, salvo que el gráfico de valor vectorial representaría vectores en vez de puntos. Como podemos parametrizar una curva definida por una función $y = f (x),$ también es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.

Límites y continuidad de una función de valor vectorial

Ahora veremos el límite de una función de valor vectorial. Es importante entender esto para estudiar el cálculo de funciones de valores vectoriales.

Definición

Una función de valor vectorial r se aproxima al límite L a medida que t se aproxima hasta a, escrito

\underset{t \to a}{lím} r (t) = L,

siempre que

\underset{t \to a}{lím} | | r (t) - L | | = 0 .

Esta es una definición rigurosa del límite de una función de valor vectorial. En la práctica, utilizamos el siguiente teorema:

Teorema 3.1

Límite de una función de valor vectorial

Supongamos que f, g y h son funciones de t. Entonces el límite de la función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j$ a medida que t se acerca hasta a viene dado por

\underset{t \to a}{lím} r (t) = [\underset{t \to a}{lím} f (t)] i + [\underset{t \to a}{lím} g (t)] j,

(3.3)

siempre que los límites $\underset{t \to a}{lím} f (t) y \underset{t \to a}{lím} g (t)$ existen. Del mismo modo, el límite de la función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k$ a medida que t se acerca hasta a viene dado por

\underset{t \to a}{lím} r (t) = [\underset{t \to a}{lím} f (t)] i + [\underset{t \to a}{lím} g (t)] j + [\underset{t \to a}{lím} h (t)] k,

(3.4)

siempre que los límites $\underset{t \to a}{lím} f (t), \underset{t \to a}{lím} g (t) y \underset{t \to a}{lím} h (t)$ existen.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo calcular el límite de una función de valor vectorial.

Ejemplo 3.3

Evaluar el límite de una función de valor vectorial

Para cada una de las siguientes funciones de valores vectoriales, calcule $\underset{t \to 3}{lím} r (t)$ para

$r (t) = (t^{2} - 3 t + 4) i + (4 t + 3) j$
$r (t) = \frac{2 t - 4}{t + 1} i + \frac{t}{t^{2} + 1} j + (4 t - 3) k$

Solución

Utilice la Ecuación 3.3 y sustituya el valor $t = 3$ en las dos expresiones componentes

$\begin{matrix} \underset{t \to 3}{lím} r (t) & = \underset{t \to 3}{lím} [(t^{2} - 3 t + 4) i + (4 t + 3) j] \\ = [\underset{t \to 3}{lím} (t^{2} - 3 t + 4)] i + [\underset{t \to 3}{lím} (4 t + 3)] j \\ = 4 i + 15 j . \end{matrix}$
Utilice la Ecuación 3.4 y sustituya el valor $t = 3$ en las tres expresiones componentes

$\begin{matrix} \underset{t \to 3}{lím} r (t) & = \underset{t \to 3}{lím} (\frac{2 t - 4}{t + 1} i + \frac{t}{t^{2} + 1} j + (4 t - 3) k) \\ = [\underset{t \to 3}{lím} (\frac{2 t - 4}{t + 1})] i + [\underset{t \to 3}{lím} (\frac{t}{t^{2} + 1})] j + [\underset{t \to 3}{lím} (4 t - 3)] k \\ = \frac{1}{2} i + \frac{3}{10} j + 9 k . \end{matrix}$

Punto de control 3.3

Calcule $\underset{t \to −2}{lím} r (t)$ para la función $r (t) = \sqrt{t^{2} - 3 t - 1} i + (4 t + 3) j + sen \frac{(t + 1) π}{2} k .$

Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función de valor vectorial, podemos definir la continuidad en un punto para dicha función.

Definición

Supongamos que f, g y h son funciones de t. Entonces, la función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j$ es continua en el punto $t = a$ si se cumplen las tres siguientes condiciones:

$r (a)$ existe
$\underset{t \to a}{lím} r (t)$ existe
$\underset{t \to a}{lím} r (t) = r (a)$

Del mismo modo, la función de valor vectorial $r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k$ es continua en el punto $t = a$ si se cumplen las tres siguientes condiciones:

$r (a)$ existe
$\underset{t \to a}{lím} r (t)$ existe
$\underset{t \to a}{lím} r (t) = r (a)$

Sección 3.1 ejercicios

Dé las funciones de los componentes $x = f (t)$ y de $y = g (t)$ para la función de valor vectorial $r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j .$

Dado que $r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j,$ halle los siguientes valores (si es posible).

$r (\frac{π}{4})$ grandes.
$r (π)$ grandes.
$r (\frac{π}{2})$

Dibuje la curva de la función de valor vectorial $r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j$ y dé la orientación de la curva. Dibuje las asíntotas como guía del gráfico.

Evalúe $\underset{t \to 0}{lím} 〈 e^{t}, \frac{sen t}{t}, e^{− t} 〉 .$

Dada la función de valor vectorial $r (t) = 〈 cos t, sen t 〉,$ Halle los siguientes valores:

$\underset{t \to \frac{π}{4}}{lím} r (t)$ grandes.
$r (\frac{π}{3})$
¿Es $r (t)$ continua en $t = \frac{π}{3} ?$
Grafique $r (t) .$

Dada la función de valor vectorial $r (t) = 〈 t, t^{2} + 1 〉,$ halle los siguientes valores:

$\underset{t \to −3}{lím} r (t)$ grandes.
$r (−3)$
¿Es $r (t)$ continua en $x = −3 ?$
$r (t + 2) - r (t)$

Supongamos que $r (t) = e^{t} i + sen t j + ln t k .$ Halle los siguientes valores:

$r (\frac{π}{4})$ grandes.
$\underset{t \to π / 4}{lím} r (t)$
¿Es $r (t)$ continua en $t = t = \frac{π}{4} ?$

Calcule el límite de las siguientes funciones de valores vectoriales en el valor indicado de t.

$\underset{t \to 4}{lím} 〈 \sqrt{t - 3}, \frac{\sqrt{t} - 2}{t - 4}, tan (\frac{π}{t}) 〉$

$\underset{t \to π / 2}{lím} r (t)$ por $r (t) = e^{t} i + sen t j + ln t k$

10.

$\underset{t \to \infty}{lím} 〈 e^{−2 t}, \frac{2 t + 3}{3 t - 1}, arctan (2 t) 〉$

11.

$\underset{t \to e^{2}}{lím} 〈 t ln (t), \frac{ln t}{t^{2}}, \sqrt{ln (t^{2})} 〉$

12.

$\underset{t \to π / 6}{lím} 〈 {cos}^{2} t, {sen}^{2} t, 1 〉$

13.

$\underset{t \to \infty}{lím} r (t)$ por $r (t) = 2 e^{− t} i + e^{− t} j + ln (t - 1) k$

14.

Describa la curva definida por la función de valor vectorial $r (t) = (1 + t) i + (2 + 5 t) j + (–1 + 6 t) k .$

Halle el dominio de las funciones de valores vectoriales.

15.

Dominio: $r (t) = 〈 t^{2}, tan t, ln t 〉$

16.

Dominio: $r (t) = 〈 t^{2}, \sqrt{t - 3}, \frac{3}{2 t + 1} 〉$

17.

Dominio: $r (t) = 〈 csc (t), \frac{1}{\sqrt{t - 3}}, ln (t - 2) 〉$

Supongamos que $r (t) = 〈 cos t, t, sen t 〉$ y utilícelo para responder las siguientes preguntas.

18.

¿Para qué valores de t es $r (t)$ es continua?

19.

Dibuje el gráfico de $r (t) .$

20.

Halle el dominio de $r (t) = 2 e^{− t} i + e^{− t} j + ln (t - 1) k .$

21.

¿Para qué valores de t es $r (t) = 2 e^{− t} i + e^{− t} j + ln (t - 1) k$ es continua?

Elimine el parámetro t, escriba la ecuación en coordenadas cartesianas y, a continuación, dibuje los gráficos de las funciones de valores vectoriales.

22.

$r (t) = 2 t i + t^{2} j$ (Pista: Supongamos que $x = 2 t$ y $y = t^{2} .$ Resuelva la primera ecuación para x en términos de t y sustituya este resultado en la segunda ecuación).

23.

$r (t) = t^{3} i + 2 t j$

24.

$r (t) = 2 (senoh t) i + 2 (cosh t) j, t > 0$

25.

$r (t) = 3 (cos t) i + 3 (sen t) j$

26.

$r (t) = 〈 3 sen t, 3 cos t 〉$

Utilice una herramienta gráfica para dibujar cada una de las siguientes funciones de valores vectoriales:

27.

[T] $r (t) = 2 cos t^{2} i + (2 - \sqrt{t}) j$

28.

[T] $r (t) = 〈 e^{cos (3 t)}, e^{− sen (t)} 〉$

29.

[T] $r (t) = 〈 2 - sen (2 t), 3 + 2 cos t 〉$

30.

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36;$ en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario

31.

$r (t) = 〈 t, t^{2} 〉;$ de izquierda a derecha

32.

La línea que pasa por P y Q donde P es $(1, 4, –2)$ y Q es $(3, 9, 6)$

Considere la curva descrita por la función vectorial $r (t) = (50 e^{− t} cos t) i + (50 e^{− t} sen t) j + (5 - 5 e^{− t}) k .$

33.

¿Cuál es el punto inicial de la trayectoria correspondiente a $r (0) ?$

34.

¿Cuál es el valor de $\underset{t \to \infty}{lím} r (t) ?$

35.

[T] Utilice la tecnología para dibujar la curva.

36.

Elimine el parámetro t para demostrar que $z = 5 - \frac{r}{10}$ donde $r^{2} = x^{2} + y^{2} .$

37.

[T] Supongamos que $r (t) = cos t i + sen t j + 0,3 sen (2 t) k .$ Utilice la tecnología para graficar la curva (llamada curva de montaña rusa) en el intervalo $[0, 2 π) .$ Elija al menos dos vistas para determinar los picos y los valles.

38.

[T] Utilice el resultado del problema anterior para construir una ecuación de una montaña rusa con una fuerte caída desde la cima y una fuerte pendiente desde el “valle”. A continuación, utilice la tecnología para representar gráficamente la ecuación.

39.

Utilice los resultados de los dos problemas anteriores para construir la ecuación de la trayectoria de montaña rusa con más de dos puntos de inflexión (picos y valles).

40.

Grafique la curva $r (t) = (4 + cos (18 t)) cos (t) i + (4 + cos (18 t) sen (t)) j + 0,3 sen (18 t) k$ utilizando dos ángulos de visión de su elección para ver la forma general de la curva.
¿La curva se parece a un “Slinky"?
¿Qué cambios habría que hacer en la ecuación para aumentar el número de devanados del Slinky?