Integrales de línea - Cálculo volumen 3

6.2 Integrales de línea

Objetivos de aprendizaje

6.2.1 Calcular una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
6.2.2 Calcular una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
6.2.3 Utilizar una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
6.2.4 Describir el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Estamos familiarizados con las integrales de una sola variable de la forma $\int_{a}^{b} f (x) d x,$ donde el dominio de integración es un intervalo $[a, b] .$ Este intervalo puede considerarse como una curva en el plano xy, ya que el intervalo define un segmento de línea con puntos extremos $(a, 0)$ y $(b, 0)$ —es decir, un segmento de línea situado en el eje x—. Supongamos que queremos integrar sobre cualquier curva del plano, no solo sobre un segmento de línea en el eje x. Esta tarea requiere un nuevo tipo de integral, denominada integral de línea.

Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones en ingeniería y física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del teorema fundamental del cálculo. Además, están estrechamente relacionados con las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.

Integrales de línea escalares

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectoriales. Las integrales de línea escalares son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de líneas vectoriales son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales lineales escalares.

Una integral de línea escalar se define igual que una integral de una sola variable, excepto que para una integral de línea escalar, el integrando es una función de más de una variable y el dominio de integración es una curva en un plano o en el espacio, a diferencia de una curva en el eje x.

Para una integral lineal escalar, dejamos que C sea una curva suave en un plano o en el espacio y que $f$ sea una función con un dominio que incluya a C. Cortamos la curva en trozos pequeños. Para cada pieza, elegimos el punto P de esa pieza y evaluamos $f$ en P. (Podemos hacerlo porque todos los puntos de la curva están en el dominio de $f .$ ) Multiplicamos $f (P)$ por la longitud de arco de la pieza $Δ s,$ añadimos el producto $f (P) Δ s$ sobre todas las piezas, y luego dejar que la longitud de arco de las piezas se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de la función sobre la curva.

Para una descripción formal de una integral de línea escalar, supongamos que $C$ es sea una curva suave en el espacio dada por la parametrización $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉,$ $a \leq t \leq b .$ Supongamos que $f (x, y, z)$ es una función con un dominio que incluye la curva $C .$ Para definir la integral de línea de la función $f$ en $C,$ comenzamos como la mayoría de las definiciones de una integral: cortamos la curva en trozos pequeños. Partición del intervalo de parámetros $[a, b]$ en n subintervalos $[t_{i - 1}, t_{i}]$ de igual anchura para $l \leq i \leq n,$ donde $t_{0} = a$ y $t_{n} = b$ (Figura 6.12). Supongamos que $t_{i}^{*}$ es un valor en el i−ésimo intervalo $[t_{i - l}, t_{i}] .$ Denota los puntos finales de $r (t_{0}), r (t_{1}),…, r (t_{n})$ entre $P_{0},…, P_{n} .$ Puntos P_i dividir curva $C$ en $n$ piezas $C_{1}, C_{2},…, C_{n,}$ con longitudes $Δ s_{1}, Δ s_{2},…, Δ s_{n},$ respectivamente. Supongamos que $P_{i}^{*}$ denotan el punto final de $r (t_{i}^{*})$ por $1 \leq i \leq n .$ Ahora, evaluamos la función $f$ en el punto $P_{i}^{*}$ por $1 \leq i \leq n .$ Observe que $P_{i}^{*}$ está en pieza $C_{i},$ y por lo tanto $P_{i}^{*}$ está en el dominio de $f .$ Multiplique $f (P_{i}^{*})$ por la longitud $Δ s_{1}$ de $C_{i},$ que da el área de la "hoja" con base $C_{i},$ y altura $f (P_{i}^{*}) .$ Esto es análogo al uso de rectángulos para aproximar el área en una integral de una sola variable. Ahora, formamos la suma $\sum_{i = 1}^{n} f (P_{i}^{*}) Δ s_{i} .$ Note la similitud de esta suma con una suma de Riemann; de hecho, esta definición es una generalización de una suma de Riemann a curvas arbitrarias en el espacio. Al igual que con las sumas e integrales de Riemann de la forma $\int_{a}^{b} g (x) d x,$ definimos una integral dejando que la anchura de los trozos de la curva se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de $f$ a lo largo de $C .$ s

Un diagrama de una curva en el cuadrante uno. Se etiquetan varios puntos y segmentos. Empezando por la izquierda, los primeros puntos son P_0 y P_1. El segmento entre ellos está marcado como delta S_1. Los siguientes puntos son P_i-1, P_i y P_i+1. Los segmentos que los conectan son delta S_i y delta S_j+1. El punto P_i estrellado y el punto P_i+1 estrellado se encuentran en cada segmento, respectivamente. Los dos últimos puntos son P_n-1 y P_n, conectados por el segmento S_n.

Figura 6.12 La curva C se ha dividido en n trozos y se ha elegido un punto dentro de cada trozo.

Es posible que haya notado una diferencia entre esta definición de una integral de línea escalar y una integral de una sola variable. En esta definición, las longitudes de arco $Δ s_{1}, Δ s_{2},…, Δ s_{n}$ no son necesariamente lo mismo; en la definición de una integral de una sola variable, la curva en el eje x se divide en trozos de igual longitud. Esta diferencia no tiene ningún efecto en el límite. Cuando reducimos las longitudes de arco a cero, sus valores se acercan lo suficiente como para que cualquier pequeña diferencia sea irrelevante.

Definición

Supongamos que $f$ es una función con un dominio que incluya la curva suave $C$ que está parametrizado por $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉,$ $a \leq t \leq b .$ La integral de línea escalar de $f$ a lo largo de $C$ se

\int_{C} f (x, y, z) d s = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (P_{i}^{*}) Δ s_{i}

(6.5)

si existe este límite $(t_{i}^{*}$ y $Δ s_{i}$ se definen como en los párrafos anteriores). Si C es una curva plana, entonces C puede representarse mediante las ecuaciones paramétricas $x = x (t), y = y (t),$ y $a \leq t \leq b .$ Si C es suave y $f (x, y)$ es una función de dos variables, entonces la integral de línea escalar de $f$ a lo largo de C se define de forma similar como

\int_{C} f (x, y) d s = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (P_{i}^{*}) Δ s_{i},

si existe este límite.

Si los valores de $f$ es una función continua sobre una curva suave C, entonces $\int_{C} f d s$ siempre existe. Dado que $\int_{C} f d s$ se define como un límite de sumas de Riemann, la continuidad de $f$ es suficiente para garantizar la existencia del límite, al igual que la integral $\int_{a}^{b} g (x) d x$ existe si g es continua sobre $[a, b] .$

Antes de ver cómo calcular una integral de línea, tenemos que examinar la geometría captada por estas integrales. Supongamos que $f (x, y) \geq 0$ para todos los puntos $(x, y)$ en una curva plana suave $C .$ Imagine que toma la curva $C$ y proyectándolo "hacia arriba" a la superficie definida por $f (x, y),$ creando así una nueva curva $C^{'}$ que se encuentra en el gráfico de $f (x, y)$ (Figura 6.13). Ahora soltamos una "hoja" de $C^{'}$ hasta el plano xy. La superficie de esta hoja es $\int_{C} f (x, y) d s .$ Si $f (x, y) \leq 0$ para algunos puntos en $C,$ entonces el valor de $\int_{C} f (x, y) d s$ es el área por encima del plano xy menos el área por debajo del plano xy. (Note la similitud con las integrales de la forma $\int_{a}^{b} g (x) d x .)$

Un diagrama en tres dimensiones. La curva original C en el plano (x,y) parece una parábola que se abre hacia la izquierda con vértice en el cuadrante 1. La superficie definida por f(x,y) se muestra siempre sobre el plano (x,y). Una curva en la superficie directamente por encima de la curva original C se marca como C'. Una hoja azul se extiende desde C' hasta C.

Figura 6.13 El área de la hoja azul es

\int_{C} f (x, y) d s .

A partir de esta geometría, podemos ver que la integral de línea $\int_{C} f (x, y) d s$ no depende de la parametrización $r (t)$ de C. Mientras la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización, el área de la hoja formada por la función y la curva es la misma. Este mismo tipo de argumento geométrico puede extenderse para demostrar que la integral de línea de una función de tres variables sobre una curva en el espacio no depende de la parametrización de la curva.

Ejemplo 6.14

Hallar el valor de una integral de línea

Halle el valor de la integral $\int_{C} 2 d s,$ donde $C$ es la mitad superior del círculo unitario.

Solución

La integración es $f (x, y) = 2 .$ La Figura 6.14 muestra el gráfico de $f (x, y) = 2,$ curva C, y la hoja formada por ellos. Observe que esta hoja tiene la misma superficie que un rectángulo con anchura $π$ y longitud 2. Por lo tanto, $\int_{C} 2 d s = 2 π .$

Un gráfico en tres dimensiones. Hay un plano justo encima del plano (x,y). La mitad superior del círculo unitario en los cuadrantes 1 y 2 del plano (x,y) se eleva para formar una hoja semicircular en el plano z.

Figura 6.14 La hoja que está formada por la mitad superior del círculo unitario en un plano y el gráfico de

f (x, y) = 2 .

Para ver que $\int_{C} 2 d s = 2 π$ utilizando la definición de integral de línea, dejamos que $r (t)$ sea una parametrización de C. Entonces, $f (r (t_{i})) = 2$ para cualquier número $t_{i}$ en el dominio de r. Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{C} f d s & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (r (t_{i}^{*})) Δ s_{i} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} 2 Δ s_{i} \\ = 2 \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} Δ s_{i} \\ = 2 (longitud de C) \\ = 2 π . \end{matrix}

Punto de control 6.13

Halle el valor de $\int_{C} (x + y) d s,$ donde $C$ es la curva parametrizada por $x = t,$ $y = t,$ $0 \leq t \leq 1 .$

Observe que en una integral de línea escalar, la integración se hace con respecto a la longitud de arco s, lo que puede hacer que una integral de línea escalar sea difícil de calcular. Para facilitar los cálculos, podemos traducir $\int_{C} f d s$ a una integral con una variable de integración que es t.

Supongamos que $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉$ para que $a \leq t \leq b$ sea una parametrización de $C .$ Ya que estamos asumiendo que $C$ es suave, $r^{'} (t) = 〈 x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t) 〉$ es continua para todos los $t$ en $[a, b] .$ En particular, $x ′ (t), y ′ (t),$ y $z ′ (t)$ existen para todos $t$ en $[a, b] .$ Según la fórmula de la longitud de arco, tenemos

longitud (C_{i}) = Δ s_{i} = \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} ‖ r^{'} (t) ‖ d t .

Si la anchura $Δ t_{i} = t_{i} - t_{i - 1}$ es pequeña, entonces la función $\int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} ‖ r^{'} (t) ‖ d t \approx ‖ r^{'} (t_{i}^{*}) ‖ Δ t_{i},$ $‖ r^{'} (t) ‖$ es casi constante en el intervalo $[t_{i - 1}, t_{i}] .$ Por lo tanto,

\int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} ‖ r^{'} (t) ‖ d t \approx ‖ r^{'} (t_{i}^{*}) ‖ Δ t_{i},

y tenemos

\sum_{i = 1}^{n} f (r (t_{i}^{*})) Δ s_{i} = \sum_{i = 1}^{n} f (r (t_{i}^{*})) ‖ r^{'} (t_{i}^{*}) ‖ Δ t_{i} .

(6.6)

Vea el Figura 6.15.

Un segmento de una curva cóncava creciente hacia abajo marcada como C. Un pequeño segmento de la curva está recuadrado y marcado como delta t_i. En la inserción ampliada, este segmento recuadrado de la curva es casi lineal.

Figura 6.15 Si ampliamos la curva lo suficiente haciendo que

Δ t_{i}

sea muy pequeño, entonces el trozo correspondiente de la curva es aproximadamente lineal.

Observe que

\underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (r (t_{i}^{*})) ‖ r^{'} (t_{i}^{*}) ‖ Δ t_{i} = \int_{a}^{b} f (r (t)) ‖ r^{'} (t) ‖ d t .

En otras palabras, a medida que las anchuras de los intervalos $[t_{i - 1}, t_{i}]$ se reducen a cero, la suma $\sum_{i = 1}^{n} f (r (t_{i}^{*})) ‖ r^{'} (t_{i}^{*}) ‖ Δ t_{i}$ converge a la integral $\int_{a}^{b} f (r (t)) ‖ r^{'} (t) ‖ d t .$ Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 6.3

Evaluación de una integral de línea escalar

Supongamos que $f$ es una función continua con un dominio que incluya la curva suave $C$ con parametrización $r (t), a \leq t \leq b .$ Entonces

\int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) ‖ r^{'} (t) ‖ d t .

(6.7)

Aunque hemos marcado la Ecuación 6.6 como una ecuación, es más preciso considerarla una aproximación porque podemos demostrar que el lado izquierdo de la Ecuación 6.6 se aproxima al lado derecho como $n \to \infty .$ En otras palabras, dejar que las anchuras de las piezas se reduzcan a cero hace que la suma de la derecha se acerque arbitrariamente a la suma de la izquierda. Dado que

‖ r^{'} (t) ‖ = \sqrt{{(x' (t))}^{2} + {(y' (t))}^{2} + {(z' (t))}^{2},}

obtenemos el siguiente teorema, que utilizamos para calcular integrales de línea escalares.

Teorema 6.4

Cálculo de la integral de línea escalar

Supongamos que $f$ es una función continua con un dominio que incluye la curva suave C con parametrización $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉, a \leq t \leq b .$ Entonces

\int_{C} f (x, y, z) d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} d t .

(6.8)

De la misma manera,

\int_{C} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} d t

si C es una curva plana y $f$ es una función de dos variables.

Observe que una consecuencia de este teorema es la ecuación $d s = ‖ r^{'} (t) ‖ d t .$ En otras palabras, el cambio en la longitud del arco puede verse como un cambio en el dominio t, escalado por la magnitud del vector $r^{'} (t) .$

Ejemplo 6.15

Evaluar una integral de línea

Halle el valor de la integral $\int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s,$ donde $C$ es parte de la hélice parametrizada por $r (t) = 〈 cos t, sen t, t 〉,$ $0 \leq t \leq 2 π .$

Solución

Para calcular una integral de línea escalar, empezamos por convertir la variable de integración de la longitud de arco s a t. Entonces, podemos utilizar la Ecuación 6.8 para calcular la integral con respecto a t. Observe que $f (r (t)) = {cos}^{2} t + {sen}^{2} t + t = 1 + t$ y

\begin{matrix} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} & = \sqrt{{(− sen (t))}^{2} + {cos}^{2} (t) + 1} \\ = \sqrt{2} . \end{matrix}

Por lo tanto,

\int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s = \int_{0}^{2 π} (1 + t) \sqrt{2} d t .

Observe que la Ecuación 6.8 ha traducido la difícil integral de línea original en una integral manejable de una sola variable. Dado que

\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} (1 + t) \sqrt{2} d t & = {[\sqrt{2} t + \frac{\sqrt{2} t^{2}}{2}]}_{0}^{2 π} \\ = 2 \sqrt{2} π + 2 \sqrt{2} π^{2}, \end{matrix}

tenemos

\int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s = 2 \sqrt{2} π + 2 \sqrt{2} π^{2} .

Punto de control 6.14

Evalúe $\int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s,$ donde C es la curva con parametrización $r (t) = ⟨ sen (3 t), cos (3 t),t ⟩, 0 \leq t \leq 2 π .$

Ejemplo 6.16

Independencia de la parametrización

Halle el valor de la integral $\int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s,$ donde $C$ es parte de la hélice parametrizada por $r (t) = 〈 cos (2 t), sen (2 t), 2 t 〉, 0 \leq t \leq π .$ Observe que esta función y la curva son las mismas que en el ejemplo anterior; la única diferencia es que la curva ha sido reparametrizada para que el tiempo corra el doble de rápido.

Solución

Como en el ejemplo anterior, utilizamos la Ecuación 6.8 para calcular la integral con respecto a t. Observe que $f (r (t)) = {cos}^{2} (2 t) + {sen}^{2} (2 t) + 2 t = 2 t + 1$ y

\begin{matrix} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z' (t))}^{2}} & = \sqrt{(− sen t + cos t + 4)} \\ = 2 \sqrt{2} \end{matrix}

por lo que tenemos

\begin{matrix} \int_{C} (x^{2} + y^{2} + z) d s & = 2 \sqrt{2} \int_{0}^{π} (1 + 2 t) d t \\ = 2 \sqrt{2} {[t + t^{2}]}_{0}^{π} \\ = 2 \sqrt{2} (π + π^{2}) . \end{matrix}

Observe que esto coincide con la respuesta del ejemplo anterior. El cambio de la parametrización no cambió el valor de la integral de línea. Las integrales de línea escalares son independientes de la parametrización, siempre que la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización.

Punto de control 6.15

Evalúe la integral de línea $\int_{C} (x^{2} + y z) d s,$ donde $C$ es la línea con la parametrización $r (t) = 〈 2 t, 5 t, − t 〉, 0 \leq t \leq 10 .$ Reparametrizar C con la parametrización $s (t) = 〈 4 t, 10 t, −2 t 〉, 0 \leq t \leq 5,$ recalcular la integral de la línea $\int_{C} (x^{2} + y z) d s,$ y observe que el cambio de parametrización no tuvo ningún efecto sobre el valor de la integral.

Ahora que podemos evaluar integrales de línea, podemos utilizarlas para calcular la longitud de arco. Si los valores de $f (x, y, z) = 1,$ entonces

\begin{matrix} \int_{C} f (x, y, z) d s & = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} f (t_{i}^{*}) Δ s_{i} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} Δ s_{i} \\ = \underset{n \to \infty}{lím} longitud (C) \\ = longitud (C) . \end{matrix}

Por lo tanto, $\int_{C} 1 d s$ es la longitud de arco de $C .$

Ejemplo 6.17

Calcular la longitud del arco

Un cable tiene una forma que puede ser modelada con la parametrización $r (t) = ⟨ cos t, sen t, \frac{2}{3} t^{3 / 2} ⟩, 0 \leq t \leq 4 π .$ Halle la longitud del cable.

Solución

La longitud del cable viene dada por $\int_{C} 1 d s,$ donde C es la curva con la parametrización r. Por lo tanto,

\begin{matrix} La longitud del cable & = \int_{C} 1 d s \\ = \int_{0}^{4 π} ‖ r^{'} (t) ‖ d t \\ = \int_{0}^{4 π} \sqrt{{(− sen t)}^{2} + {cos}^{2} t + t} d t \\ = \int_{0}^{4 π} \sqrt{1 + t} d t \\ = {[\frac{2 {(1 + t)}^{3 / 2}}{3}]}_{0}^{4 π} \\ = \frac{2}{3} ({(1 + 4 π)}^{3 / 2} - 1) . \end{matrix}

Punto de control 6.16

Halle la longitud de un cable con parametrización $r (t) = 〈 3 t + 1, 4 - 2 t, 5 + 2 t 〉, 0 \leq t \leq 4 .$

Integrales de líneas vectoriales

El segundo tipo de integrales de línea son las integrales de línea vectoriales, en las que integramos a lo largo de una curva a través de un campo vectorial. Por ejemplo, supongamos que

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k

es un campo vectorial continuo en $ℝ^{3}$ que representa una fuerza sobre una partícula, y sea C una curva suave en $ℝ^{3}$ contenida en el dominio de $F .$ ¿Cómo calcularíamos el trabajo realizado por $F$ al mover una partícula a lo largo de C?

Para responder esta pregunta, primero hay que tener en cuenta que una partícula podría viajar en dos direcciones a lo largo de una curva: una dirección hacia delante y otra hacia atrás. El trabajo realizado por el campo vectorial depende de la dirección en la que se mueve la partícula. Por lo tanto, debemos especificar una dirección a lo largo de la curva C; esta dirección especificada se llama orientación de una curva. La dirección especificada es la dirección positiva a lo largo de C; la dirección opuesta es la dirección negativa a lo largo de C. Cuando a C se le ha dado una orientación, C se llama una curva orientada (Figura 6.16). El trabajo realizado sobre la partícula depende de la dirección a lo largo de la curva en la que esta se mueve.

Una curva cerrada es aquella para la que existe una parametrización $r (t),$ $a \leq t \leq b,$ de manera que $r (a) = r (b),$ y la curva se recorre exactamente una vez. En otras palabras, la parametrización es biunívoca en el dominio $(a, b) .$

Dos imágenes, marcadas como A y B. La imagen A muestra una curva C que es una curva orientada. Es una curva que une dos puntos; es un segmento de línea con curvas. La imagen B, en cambio, es una curva cerrada. No tiene puntos finales y encierra completamente un área.

Figura 6.16 (a) Una curva orientada entre dos puntos. (b) Una curva orientada cerrada.

Supongamos que $r (t)$ es una parametrización de C para $a \leq t \leq b$ de tal manera que la curva es atravesada exactamente una vez por la partícula y esta se mueva en la dirección positiva a lo largo de C. Dividir el intervalo de parámetros $[a, b]$ en n subintervalos $[t_{i - 1}, t_{i}], 0 \leq i \leq n,$ de igual anchura. Denote los puntos finales de $r (t_{0}), r (t_{1}),…, r (t_{n})$ entre $P_{0},…, P_{n} .$ Los puntos _Pi dividen C en n trozos. Denotemos la longitud del trozo desde _Pi-1 hasta _Pi por $Δ s_{i} .$ Para cada i, elija un valor $t_{i}^{*}$ en el subintervalo $[t_{i - 1}, t_{i}] .$ Entonces, el punto final de $r (t_{i}^{*})$ es un punto en el trozo de C entre $P_{i - 1}$ y _Pi (Figura 6.17). Si los valores de $Δ s_{i}$ es pequeño, entonces como la partícula se mueve de $P_{i - 1}$ a $P_{i}$ a lo largo de C, se mueve aproximadamente en la dirección de $T (P_{i}),$ el vector tangente unitario en el punto final de $r (t_{i}^{*}) .$ Supongamos que $P_{i}^{*}$ denotan el punto final de $r (t_{i}^{*}) .$ Entonces, el trabajo realizado por el campo vectorial de fuerzas al mover la partícula de $P_{i - 1}$ a _Pi es $F (P_{i}^{*}) . (Δ s_{i} T (P_{i}^{*})),$ por lo que el trabajo total realizado a lo largo de C es

\sum_{i = 1}^{n} F (P_{i}^{*}) . (Δ s_{i} T (P_{i}^{*})) = \sum_{i = 1}^{n} F (P_{i}^{*}) . T (P_{i}^{*}) Δ s_{i} .

Una imagen de una curva cóncava hacia abajo, que inicialmente aumenta, pero luego disminuye. A lo largo de la curva se marcan varios puntos, así como puntas de flecha a lo largo de la curva que apuntan en la dirección del aumento del valor P. Los puntos son: P_0, P_1, P_i-1, P_i estrellado, P_i, P_n-1 y Pn. Dos flechas tienen sus puntos finales en P_i. El primero es un vector tangente creciente etiquetado como T(P_i starred). El segundo se denomina F(P_i starred) y apunta hacia arriba y hacia la izquierda.

Figura 6.17 La curva C se divide en n trozos y se elige un punto dentro de cada trozo. El producto escalar de cualquier vector tangente en la i−ésima pieza con el correspondiente vector F se aproxima por

F (P_{i}^{*}) . T (P_{i}^{*}) .

Dejando que la longitud de arco de los trozos de C es arbitrariamente pequeña tomando un límite como $n \to \infty$ nos da el trabajo realizado por el campo al mover la partícula a lo largo de C. Por lo tanto, el trabajo realizado por F al mover la partícula en la dirección positiva a lo largo de C se define como

W = \int_{C} F . T d s,

lo que nos da el concepto de integral de línea vectorial.

Definición

La integral vectorial del campo vectorial F a lo largo de la curva suave orientada C es

\int_{C} F . T d s = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} F (P_{i}^{*}) . T (P_{i}^{*}) Δ s_{i}

si existe ese límite.

Con las integrales de línea escalares, no importa ni la orientación ni la parametrización de la curva. Mientras la curva es recorrida exactamente una vez por la parametrización, el valor de la integral de línea no cambia. Con las integrales de líneas vectoriales, la orientación de la curva sí importa. Si pensamos en la integral de línea como un trabajo de cálculo, entonces esto tiene sentido: si sube una montaña, entonces la fuerza gravitatoria de la Tierra hace un trabajo negativo sobre ti. Si baja la montaña exactamente por el mismo camino, la fuerza gravitacional de la Tierra hace un trabajo positivo sobre ti. En otras palabras, la inversión del camino cambia el valor del trabajo de negativo a positivo en este caso. Observe que si C es una curva orientada, entonces dejamos que -C represente la misma curva pero con orientación opuesta.

Al igual que con las integrales de línea escalares, es más fácil calcular una integral de línea vectorial si la expresamos en términos de la función de parametrización r y la variable t. Para traducir la integral $\int_{C} F . T d s$ en términos de t, observe que el vector tangente unitario T a lo largo de C viene dado por $T = \frac{r^{'} (t)}{‖ r^{'} (t) ‖}$ (si suponemos que $‖ r^{'} (t) ‖ \neq 0) .$ Dado que $d s = ‖ r^{'} (t) ‖ d t,$ como vimos al hablar de las integrales lineales escalares, tenemos

F . T d s = F (r (t)) . \frac{r^{'} (t)}{‖ r^{'} (t) ‖} ‖ r^{'} (t) ‖ d t = F (r (t)) . r^{'} (t) d t .

Así, tenemos la siguiente fórmula para calcular las integrales de línea vectorial:

\int_{C} F . T d s = \int_{a}^{b} F (r (t)) . r^{'} (t) d t .

(6.9)

Debido a la Ecuación 6.9, a menudo utilizamos la notación $\int_{C} F . d r$ para la integral de línea $\int_{C} F . T d s .$

Si los valores de $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉,$ entoncesdr denota el diferencial vectorial $〈 x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t) 〉 d t .$

Ejemplo 6.18

Evaluar una integral de línea vectorial

Halle el valor de la integral $\int_{C} F . d r,$ donde $C$ es el semicírculo parametrizado por $r (t) = 〈 cos t, sen t 〉,$ $0 \leq t \leq π$ y $F = 〈 − y, x 〉 .$

Solución

Podemos utilizar el Ecuación 6.9 para convertir la variable de integración de s a t. Entonces tenemos

F (r (t)) = 〈 − sen t, cos t 〉 y r^{'} (t) = 〈 − sen t, cos t 〉 .

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{0}^{π} 〈 − sen t, cos t 〉 . 〈 − sen t, cos t 〉 d t \\ = \int_{0}^{π} {sen}^{2} t + {cos}^{2} t d t \\ = \int_{0}^{π} 1 d t = π . \end{matrix}

Vea el Figura 6.18.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Cuanto más cerca estén las flechas del origen, más pequeñas serán. Cuanto más lejos estén, más grandes serán. Las flechas rodean el origen de forma radial. Se traza una única curva que sigue el patrón radial en los cuadrantes 1 y 2 sobre el intervalo [-1,1]. Es un arco cóncavo hacia abajo que parece una parábola que se abre hacia abajo.

Figura 6.18 Esta figura muestra la curva

r (t) = 〈 cos t, sen t 〉, 0 \leq t \leq π

en el campo vectorial

F = 〈 − y, x 〉 .

Ejemplo 6.19

Invertir la orientación

Halle el valor de la integral $\int_{C} F . d r,$ donde $C$ es el semicírculo parametrizado por $r (t) = 〈 cos (t + π), sen t 〉, 0 \leq t \leq π$ y $F = 〈 − y, x 〉 .$

Solución

Observe que se trata del mismo problema que el Ejemplo 6.18, salvo que se ha recorrido la orientación de la curva. En este ejemplo, la parametrización comienza en $r (0) = 〈 −1, 0 〉$ y termina en $r (π) = 〈 1, 0 〉 .$ Por la Ecuación 6.9,

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{0}^{π} 〈 − sen t, cos (t + π) 〉 . 〈 − sen (t + π), cos t 〉 d t \\ = \int_{0}^{π} 〈 − sen t, − cos t 〉 . 〈 sen t, cos t 〉 d t \\ = \int_{0}^{π} (− {sen}^{2} t - {cos}^{2} t) d t \\ = \int_{0}^{π} −1 d t \\ = − π . \end{matrix}

Observe que es el negativo de la respuesta en el Ejemplo 6.18. Tiene sentido que esta respuesta sea negativa porque la orientación de la curva va en contra del "flujo" del campo vectorial.

Supongamos que C es una curva orientada y supongamos que -C es la misma curva pero con la orientación invertida. Entonces, los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente hecho:

\int_{–C} F . d r = − \int_{C} F . d r .

Es decir, invertir la orientación de una curva cambia el signo de una integral de línea.

Punto de control 6.17

Supongamos que $F = x i + y j$ es un campo vectorial y que C es la curva con parametrización $〈 t, t^{2} 〉$ por $0 \leq t \leq 2 .$ Qué es mayor $\int_{C} F . T d s$ o $\int_{− C} F . T d s ?$

Otra notación estándar para la integral $\int_{C} F . d r$ ¿es $\int_{C} P d x + Q d y + R d z .$ En esta notación, P, Q y R son funciones, y pensamos en dr como vector $〈 d x, d y, d z 〉 .$ Para justificar esta convención, recordemos que $d r = T d s = r^{'} (t) d t = 〈 \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t} 〉 d t .$ Por lo tanto,

F . d r = 〈 P, Q, R 〉 . 〈 d x, d y, d z 〉 = P d x + Q d y + R d z .

Si los valores de $d r = 〈 d x, d y, d z 〉,$ entonces $\frac{d r}{d t} = 〈 \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t} 〉,$ lo que implica que $d r = 〈 \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t} 〉 d t .$ Por lo tanto

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{C} P d x + Q d y + R d z \\ = \int (P (r (t)) \frac{d x}{d t} + Q (r (t)) \frac{d y}{d t} + R (r (t)) \frac{d z}{d t}) d t . \end{matrix}

(6.10)

Ejemplo 6.20

Hallar el valor de una integral de la forma $\int_{C} P d x + Q d y + R d z$

Halle el valor de la integral $\int_{C} z d x + x d y + y d z,$ donde C es la curva parametrizada por $r (t) = 〈 t^{2}, \sqrt{t}, t 〉, 1 \leq t \leq 4 .$

Solución

Como en los ejemplos anteriores, para calcular esta integral de línea debemos realizar un cambio de variables para escribir todo en términos de t. En este caso, la Ecuación 6.10 nos permite realizar este cambio:

\begin{matrix} \int_{C} z d x + x d y + y d z & = \int_{1}^{4} (t (2 t) + t^{2} (\frac{1}{2 \sqrt{t}}) + \sqrt{t}) d t \\ = \int_{1}^{4} (2 t^{2} + \frac{t^{3 / 2}}{2} + \sqrt{t}) d t \\ = {[\frac{2 t^{3}}{3} + \frac{t^{5 / 2}}{5} + \frac{2 t^{3 / 2}}{3}]}_{t = 1}^{t = 4} \\ = \frac{793}{15} . \end{matrix}

Punto de control 6.18

Halle el valor de $\int_{C} 4 x d x + z d y + 4 y^{2} d z,$ donde $C$ es la curva parametrizada por $r (t) = 〈 4 cos (2 t), 2 sen (2 t), 3 〉, 0 \leq t \leq \frac{π}{4} .$

Hemos aprendido a integrar curvas orientadas suaves. Supongamos ahora que C es una curva orientada que no es suave, pero que puede escribirse como la unión de un número finito de curvas suaves. En este caso, decimos que C es una curva suave a trozos. En concreto, la curva C es suave a trozos si C puede escribirse como una unión de n curvas suaves $C_{1}, C_{2},…, C_{n}$ tal que el punto final de $C_{i}$ es el punto de partida de $C_{i + 1}$ (Figura 6.19). Cuando las curvas $C_{i}$ cumplen la condición de que el punto final de $C_{i}$ es el punto de partida de $C_{i + 1},$ escribimos su unión como $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n} .$

Tres curvas: C_1, C_2 y C_3. Uno de los extremos de C_2 es también un extremo de C_1, y el otro extremo de C_2 es también un extremo de C_3. Los otros extremos de C_1 y C_3 no se conectan a ninguna otra curva. C_1 y C_3 parecen ser líneas casi rectas mientras que C_2 es una curva cóncava creciente hacia abajo. En cada segmento de la curva hay tres puntas de flecha que apuntan en la misma dirección: C_1 a C_2, C_2 a C_3, y C_3 a su otro extremo.

Figura 6.19 La unión de

C_{1}, C_{2}, C_{3}

es una curva suave a trozos.

El siguiente teorema resume varias propiedades clave de las integrales de línea vectoriales.

Teorema 6.5

Propiedades de las integrales vectoriales

Supongamos que F y G son campos vectoriales continuos con dominios que incluyen la curva suave orientada C. Entonces

$\int_{C} (F + G) . d r = \int_{C} F . d r + \int_{C} G . d r$
$\int_{C} k F . d r = k \int_{C} F . d r,$ donde k es una constante
$\int_{− C} F . d r = − \int_{C} F . d r$
Supongamos en cambio que C es una curva suave a trozos en los dominios de F y G, donde $C = C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ y $C_{1}, C_{2},…, C_{n}$ son curvas suaves tales que el punto final de $C_{i}$ es el punto de partida de $C_{i + 1} .$ Entonces

$\int_{C} F . d s = \int_{C_{1}} F . d s + \int_{C_{2}} F . d s + \dots + \int_{C_{n}} F . d s .$

Observe las similitudes entre estos elementos y las propiedades de las integrales de una sola variable. Las propiedades i. y ii. dicen que las integrales de línea son lineales, lo cual es cierto también para las integrales de una sola variable. La propiedad iii. dice que invertir la orientación de una curva cambia el signo de la integral. Si pensamos en la integral como el cálculo del trabajo realizado sobre una partícula que viaja a lo largo de C, entonces esto tiene sentido. Si la partícula se mueve hacia atrás en vez de hacia delante, el valor del trabajo realizado tiene el signo contrario. Esto es análogo a la ecuación $\int_{a}^{b} f (x) d x = − \int_{b}^{a} f (x) d x .$ Por último, si $[a_{1}, a_{2}], [a_{2}, a_{3}],…, [a_{n - 1}, a_{n}]$ son intervalos, entonces

\int_{a_{1}}^{a_{n}} f (x) d x = \int_{a_{1}}^{a_{2}} f (x) d x + \int_{a_{1}}^{a_{3}} f (x) d x + \dots + \int_{a_{n - 1}}^{a_{n}} f (x) d x,

que es análoga a la propiedad iv.

Ejemplo 6.21

Usar propiedades para calcular una integral de línea vectorial

Halle el valor de la integral $\int_{C} F . T d s,$ donde C es el rectángulo (orientado en sentido contrario a las agujas del reloj) en un plano con vértices $(0, 0), (2, 0), (2, 1), y (0, 1),$ y donde $F = 〈 x - 2 y, y - x 〉$ (Figura 6.20).

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas que siguen un ángulo de aproximadamente 90 grados con respecto al origen en los cuadrantes 1 y 3 apuntan al origen. A medida que las flechas se desvían de este ángulo, se alejan del mismo y se hacen más pequeñas. Arriba, apuntan hacia arriba y a la izquierda, y abajo, apuntan hacia abajo y a la derecha. Se dibuja un rectángulo en el cuadrante 1 de 0 a 2 en el eje x y de 0 a 1 en el eje y. C_1 es la base, C_2 es la pierna derecha, C_3 es la parte superior y C_4 es la pierna izquierda.

Figura 6.20 Rectángulo y campo vectorial para el Ejemplo 6.21.

Solución

Observe que la curva C es la unión de sus cuatro lados, y cada lado es suave. Por lo tanto, C es suave a trozos. Supongamos que $C_{1}$ representan el lado de $(0, 0)$ al $(2, 0),$ supongamos que $C_{2}$ representan el lado de $(2, 0)$ al $(2, 1),$ supongamos que $C_{3}$ representan el lado de $(2, 1)$ al $(0, 1),$ y supongamos que $C_{4}$ representan el lado de $(0, 1)$ al $(0, 0)$ (Figura 6.20). Entonces,

\int_{C} F . T d r = \int_{C_{1}} F . T d r + \int_{C_{2}} F . T d r + \int_{C_{3}} F . T d r + \int_{C_{4}} F . T d r .

Queremos calcular cada una de las cuatro integrales del lado derecho utilizando la Ecuación 6.8. Antes de hacer esto, necesitamos una parametrización de cada lado del rectángulo. Aquí hay cuatro parametrizaciones (nótese que atraviesan C en sentido contrario a las agujas del reloj):

\begin{matrix} C_{1} : 〈 t, 0 〉, 0 \leq t \leq 2 \\ C_{2} : 〈 2, t 〉, 0 \leq t \leq 1 \\ C_{3} : 〈 2 - t, 1 〉, 0 \leq t \leq 2 \\ C_{4} : 〈 0, 1 - t 〉, 0 \leq t \leq 1 \end{matrix}

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{C_{1}} F . T d r & = \int_{0}^{2} F (r (t)) . r^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{2} 〈 t - 2 (0), 0 - t 〉 . 〈 1, 0 〉 d t = \int_{0}^{1} t d t \\ = {[\frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{2} = 2. \end{matrix}

Observe que el valor de esta integral es positivo, lo que no debe sorprender. Al desplazarnos por la curva C1 de izquierda a derecha, nuestro movimiento fluye en la dirección general del propio campo vectorial. En cualquier punto a lo largo de C1, el vector tangente a la curva y el vector correspondiente en el campo forman un ángulo que es menor de 90°. Por lo tanto, el vector tangente y el vector fuerza tienen un producto escalar positivo a lo largo de C1, y la integral de línea tendrá valor positivo.

Los cálculos para las otras tres integrales de línea se hacen de forma similar:

\begin{matrix} \int_{C_{2}} F . d r & = \int_{0}^{1} 〈 2 - 2 t, t - 2 〉 . 〈 0, 1 〉 d t \\ = \int_{0}^{1} (t - 2) d t \\ = {[\frac{t^{2}}{2} - 2 t]}_{0}^{1} = - \frac{3}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{C_{3}} F . T d s & = \int_{0}^{2} 〈 (2 - t) - 2, 1 - (2 - t) 〉 . 〈 –1, 0 〉 d t \\ = \int_{0}^{2} t d t = 2, \end{matrix}

\begin{matrix} \int_{C_{4}} F . d r & = \int_{0}^{1} 〈 −2 (1 - t), 1 - t 〉 . 〈 0, −1 〉 d t \\ = \int_{0}^{1} (t - 1) d t \\ = {[\frac{t^{2}}{2} - t]}_{0}^{1} = - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Por lo tanto, tenemos $\int_{C} F . d r = 2 .$

Punto de control 6.19

Calcule la integral de línea $\int_{C} F . d r,$ donde F es un campo vectorial $〈 y^{2}, 2 x y + 1 〉$ y C es un triángulo con vértices $(0, 0),$ $(4, 0),$ y $(0, 5),$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Aplicaciones de las integrales de línea

Las integrales de línea escalares tienen muchas aplicaciones. Pueden utilizarse para calcular la longitud o la masa de un cable, la superficie de una lámina de una altura determinada o el potencial eléctrico de un cable cargado dada una densidad de carga lineal. Las integrales vectoriales son muy útiles en física. Pueden utilizarse para calcular el trabajo realizado sobre una partícula cuando se mueve a través de un campo de fuerzas, o el caudal de un fluido a través de una curva. En este caso, calculamos la masa de un cable mediante una integral de línea escalar y el trabajo realizado por una fuerza mediante una integral de línea vectorial.

Supongamos que un trozo de cable está modelado por la curva C en el espacio. La masa por unidad de longitud (la densidad lineal) del cable es una función continua $ρ (x, y, z) .$ Podemos calcular la masa total del cable utilizando la integral de línea escalar $\int_{C} ρ (x, y, z) d s .$ La razón es que la masa es la densidad multiplicada por la longitud, y por lo tanto la densidad de un pequeño trozo de cable se puede aproximar por $ρ (x *, y *, z *) Δ s$ para algún punto $(x *, y *, z *)$ en la pieza. Dejando que la longitud de los trozos se reduzca a cero con un límite se obtiene la integral de línea $\int_{C} ρ (x, y, z) d s .$

Ejemplo 6.22

Calcular la masa de un cable

Calcule la masa de un resorte en forma de curva parametrizada por $〈 t, 2 cos t, 2 sen t 〉,$ $0 \leq t \leq \frac{π}{2},$ con una función de densidad dada por $ρ (x, y, z) = e^{x} + y z$ kg/m (Figura 6.21).

Un diagrama tridimensional. Se dibuja una curva cóncava descendente creciente y luego ligeramente decreciente desde (0,2,0) hasta (pi/2, 0, 2). La flecha de la curva apunta a este último punto final.

Figura 6.21 El cable del Ejemplo 6.22.

Solución

Para calcular la masa del resorte, debemos encontrar el valor de la integral de línea escalar $\int_{C} (e^{x} + y z) d s,$ donde C es la hélice dada. Para calcular esta integral, la escribimos en términos de t utilizando la Ecuación 6.8:

\begin{matrix} \int_{C} e^{x} + y z d s & = \int_{0}^{π / 2} ((e^{t} + 4 cos t sen t) \sqrt{1 + {(−2 cos t)}^{2} + {(2 sen t)}^{2}}) d t \\ = \int_{0}^{π / 2} ((e^{t} + 4 cos t sen t) \sqrt{5}) d t \\ = \sqrt{5} {[e^{t} + 2 {sen}^{2} t]}_{t = 0}^{t = π / 2} \\ = \sqrt{5} (e^{π / 2} + 1) . \end{matrix}

Por lo tanto, la masa es $\sqrt{5} (e^{π / 2} + 1)$ kg.

Punto de control 6.20

Calcule la masa de un resorte en forma de hélice parametrizado por $r (t) = 〈 cos t, sen t, t 〉, 0 \leq t \leq 6 π,$ con una función de densidad dada por $ρ (x, y, z) = x + y + z$ kg/m.

Cuando definimos por primera vez las integrales de línea vectoriales, utilizamos el concepto de trabajo para motivar la definición. Por lo tanto, no es sorprendente que el cálculo del trabajo realizado por un campo vectorial que representa una fuerza sea un uso estándar de las integrales de líneas vectoriales. Recordemos que si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en un campo de fuerza F, entonces el trabajo requerido para mover el objeto viene dado por $\int_{C} F . d r .$

Ejemplo 6.23

Calcular el trabajo

Cuánto trabajo se requiere para mover un objeto en un campo de fuerza vectorial $F = 〈 y z, x y, x z 〉$ a lo largo de la trayectoria $r (t) = 〈 t^{2}, t, t^{4} 〉,$ $0 \leq t \leq 1 ?$ Vea el Figura 6.22.

Solución

Supongamos que C denota la trayectoria dada. Tenemos que encontrar el valor de $\int_{C} F . d r .$ Para ello, utilizamos Ecuación 6.9:

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{0}^{1} (〈 t^{5}, t^{3}, t^{6} 〉 . 〈 2 t, 1, 4 t^{3} 〉) d t \\ = \int_{0}^{1} (2 t^{6} + t^{3} + 4 t^{9}) d t \\ = {[\frac{2 t^{7}}{7} + \frac{t^{4}}{4} + \frac{2 t^{10}}{5}]}_{t = 0}^{t = 1} = \frac{131}{140} . \end{matrix}

Un diagrama tridimensional de la curva y el campo vectorial del ejemplo. La curva es una curva cóncava ascendente que comienza cerca del origen y por encima del eje x. A medida que la curva se desplaza hacia la izquierda sobre el plano (x,y), la altura también aumenta. Las flechas del campo vectorial se alargan a medida que aumenta la componente z.

Figura 6.22 La curva y el campo vectorial del Ejemplo 6.23.

Flujo y circulación

Cerramos esta sección discutiendo dos conceptos clave relacionados con las integrales de línea: el flujo a través de una curva plana y la circulación a lo largo de una curva plana. El flujo se utiliza en aplicaciones para calcular el flujo de fluidos a través de una curva, y el concepto de circulación es importante para caracterizar los campos de gradiente conservador en términos de integrales de línea. Estos dos conceptos se utilizan en gran medida en el resto de este capítulo. La idea de flujo es especialmente importante para el teorema de Green, y en dimensiones superiores para el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

Supongamos que C es una curva plana y supongamos que F es un campo vectorial en el plano. Imagine que C es una membrana a través de la cual fluye un fluido, pero C no impide su flujo. En otras palabras, C es una membrana idealizada invisible para el fluido. Supongamos que F representa el campo de velocidad del fluido. ¿Cómo podríamos cuantificar la velocidad a la que el fluido atraviesa C?

Recordemos que la integral de línea de F a lo largo de C es $\int_{C} F . T d s$ ; en otras palabras, la integral de línea es el producto escalar del campo vectorial con el vector tangencial unitario con respecto a la longitud de arco. Si sustituimos el vector tangencial unitario por el vector normal unitario $N (t)$ y en su lugar calculamos la integral $\int_{C} F . N d s,$ determinamos el flujo a través de C. Para ser precisos, la definición de integral $\int_{C} F . N d s$ es lo mismo que la integral $\int_{C} F . T d s,$ excepto que la T en la suma de Riemann se sustituye por N. Por lo tanto, el flujo a través de C se define como

\int_{C} F . N d s = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} F (P_{i}^{*}) . N (P_{i}^{*}) Δ s_{i},

donde $P_{i}^{*}$ y $Δ s_{i}$ se definen igual que para la integral $\int_{C} F . T d s .$ Por lo tanto, una integral de flujo es una integral que es perpendicular a una integral de línea vectorial, porque N y T son vectores perpendiculares.

Si F es un campo de velocidad de un fluido y C es una curva que representa una membrana, entonces el flujo de F a través de C es la cantidad de fluido que fluye a través de C por unidad de tiempo, o la tasa de flujo.

Más formalmente, supongamos que C es una curva plana parametrizada por $r (t) = 〈 x (t), y (t) 〉,$ $a \leq t \leq b .$ Supongamos que $n (t) = 〈 y^{'} (t), − x^{'} (t) 〉$ es el vector que es normal a C en el punto final de $r (t)$ y apunta a la derecha cuando atravesamos C en dirección positiva (Figura 6.23). Entonces, $N (t) = \frac{n (t)}{‖ n (t) ‖}$ es el vector normal unitario a C en el punto final de $r (t)$ que apunta a la derecha al atravesar C.

Definición

El flujo de F a través de C es la integral de línea $\int_{C} F . \frac{n (t)}{‖ n (t) ‖} d s .$

Diagrama simple de una curva cóncava creciente hacia abajo C en el campo vectorial F, sin plano de coordenadas. Hacia la parte superior de la curva, la normal n se dibuja perpendicular a la curva C. Otra flecha F se dibuja compartiendo el punto final de n. Este flujo apunta hacia arriba y hacia la derecha en un ángulo de aproximadamente 90 grados con respecto a n. Las flechas del campo vectorial a la izquierda de n se dibujan apuntando hacia arriba. Las flechas después de n apuntan en la misma dirección que el flujo.

Figura 6.23 El flujo del campo vectorial F a través de la curva C se calcula mediante una integral similar a una integral de línea vectorial.

A continuación damos una fórmula para calcular el flujo a través de una curva. Esta fórmula es análoga a la utilizada para calcular una integral de línea vectorial (vea Ecuación 6.9).

Teorema 6.6

Calcular el flujo a través de una curva

Supongamos que F es un campo vectorial y supongamos que C es una curva suave con parametrización $r (t) = 〈 x (t), y (t) 〉, a \leq t \leq b .$ Supongamos que $n (t) = 〈 y^{'} (t), − x^{'} (t) 〉 .$ El flujo de F a través de C es

\int_{C} F . N d s = \int_{a}^{b} F (r (t)) . n (t) d t

(6.11)

Prueba

La prueba de la Ecuación 6.11 es similar a la de la Ecuación 6.8. Antes de derivar la fórmula, hay que tener en cuenta que $‖ n (t) ‖ = ‖ 〈 y' (t), − x' (t) 〉 ‖ = \sqrt{{(y' (t))}^{2} + {(x' (t))}^{2}} = ‖ r^{'} (t) ‖ .$ Por lo tanto,

\begin{matrix} \int_{C} F . N d s & = \int_{C} F . \frac{n (t)}{‖ n (t) ‖} d s \\ = \int_{a}^{b} F . \frac{n (t)}{‖ n (t) ‖} ‖ r^{'} (t) ‖ d t \\ = \int_{a}^{b} F (r (t)) . n (t) d t . \end{matrix}

□

Ejemplo 6.24

Flujo a través de una curva

Calcule el flujo de $F = 〈 2 x, 2 y 〉$ a través de un círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj (Figura 6.24).

Un círculo unitario en un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas apuntan hacia fuera del origen en un patrón radial. Los vectores más cortos están cerca del origen y los más largos están más lejos. Se dibuja un círculo unitario alrededor del origen para ajustar el patrón, y las puntas de flecha se dibujan en el círculo en sentido contrario a las agujas del reloj.

Figura 6.24 Un círculo unitario en campo vectorial

F = 〈 2 x, 2 y 〉 .

Solución

Para calcular el flujo, primero necesitamos una parametrización del círculo unitario. Podemos utilizar la parametrización estándar $r (t) = 〈 cos t, sen t 〉,$ $0 \leq t \leq 2 π .$ El vector normal a un círculo unitario es $〈 cos t, sen t 〉 .$ Por lo tanto, el flujo es

\begin{matrix} \int_{C} F . N d s & = \int_{0}^{2 π} 〈 2 cos t, 2 sen t 〉 . 〈 cos t, sen t 〉 d t \\ = \int_{0}^{2 π} (2 {cos}^{2} t + 2 {sen}^{2} t) d t = 2 \int_{0}^{2 π} ({cos}^{2} t + {sen}^{2} t) d t \\ = 2 \int_{0}^{2 π} d t = 4 π . \end{matrix}

Punto de control 6.21

Calcule el flujo de $F = 〈 x + y, 2 y 〉$ a través del segmento de línea de $(0, 0)$ al $(2, 3),$ donde la curva se orienta de izquierda a derecha.

Supongamos que $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉$ es un campo vectorial bidimensional. Recordemos que la integral $\int_{C} F . T d s$ se escribe a veces como $\int_{C} P d x + Q d y .$ Análogamente, el flujo $\int_{C} F . N d s$ se escribe a veces con la notación $\int_{C} − Q d x + P d y,$ porque el vector normal unitario N es perpendicular a la tangente unitaria T. Rotando el vector $d r = 〈 d x, d y 〉$ en 90° da como resultado el vector $〈 d y, − d x 〉 .$ Por lo tanto, la integral de línea en el Ejemplo 6.21 puede escribirse como $\int_{C} −2 y d x + 2 x d y .$

Ahora que hemos definido el flujo, podemos centrarnos en la circulación. La integral de línea del campo vectorial F a lo largo de una curva cerrada orientada se llama circulación de F a lo largo de C. Las integrales de línea de circulación tienen su propia notación $\oint_{C} F . T d s .$ El círculo en el símbolo integral denota que C es "circular" en el sentido de que no tiene puntos finales. El Ejemplo 6.18 muestra un cálculo de la circulación.

Para ver de dónde viene el término circulación y qué mide, dejemos que v represente el campo de velocidad de un fluido y que C sea una curva cerrada orientada. En un punto concreto P, cuanto más cerca esté la dirección de v(P) de la dirección de T(P), mayor será el valor del producto escalar $v (P) . T (P) .$ El valor máximo de $v (P) . T (P)$ se produce cuando los dos vectores apuntan exactamente en la misma dirección; el valor mínimo de $v (P) . T (P)$ se produce cuando los dos vectores apuntan en direcciones opuestas. Así, el valor de la circulación $\oint_{C} v . T d s$ mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de C.

Ejemplo 6.25

Calcular la circulación

Supongamos que $F = 〈 - y, x 〉$ es el campo vectorial del Ejemplo 6.16 y que C represente el círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj. Calcule la circulación de F a lo largo de C.

Solución

Utilizamos la parametrización estándar del círculo unitario $r (t) = 〈 cos t, sen t 〉, 0 \leq t \leq 2 π .$ Entonces, $F (r (t)) = 〈 − sen t, cos t 〉$ y $r^{'} (t) = 〈 − sen t, cos t 〉 .$ Por lo tanto, la circulación de F a lo largo de C es

\begin{matrix} \oint_{C} F . T d s & = \int_{0}^{2 π} 〈 − sen t, cos t 〉 . 〈 − sen t, cos t 〉 d t \\ = \int_{0}^{2 π} ({sen}^{2} t + {cos}^{2} t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} d t = 2 π . \end{matrix}

Observe que la circulación es positiva. La razón es que la orientación de C "fluye" con la dirección de F. En cualquier punto de la circunferencia, el vector tangente y el vector de F forman un ángulo inferior a 90°, y por tanto el producto escalar correspondiente es positivo.

En el Ejemplo 6.25, ¿qué pasaría si hubiéramos orientado el círculo unitario en el sentido de las agujas del reloj? Denotamos el círculo unitario orientado en el sentido de las agujas del reloj por $− C .$ Entonces

\oint_{− C} F . T d s = − \oint_{C} F . T d s = −2 π .

Observe que la circulación es negativa en este caso. La razón es que la orientación de la curva fluye en contra de la dirección de F.

Punto de control 6.22

Calcule la circulación de $F (x, y) = 〈 - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}} 〉$ a lo largo de un círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ejemplo 6.26

Calcular el trabajo

Calcule el trabajo realizado sobre una partícula que recorre la circunferencia C de radio 2 centrada en el origen, orientada en sentido contrario a las agujas del reloj, por el campo $F (x, y) = 〈 –2, y 〉 .$ Supongamos que la partícula comienza su movimiento en $(1, 0) .$

Solución

El trabajo realizado por F sobre la partícula es la circulación de F a lo largo de C $\oint_{C} F . T d s .$ Utilizamos la parametrización $r (t) = 〈 2 cos t, 2 sen t 〉, 0 \leq t \leq 2 π$ para C. Entonces, $r^{'} (t) = 〈 −2 sen t, 2 cos t 〉$ y $F (r (t)) = 〈 –2, 2 sen t 〉 .$ Por lo tanto, la circulación de F a lo largo de C es

\begin{matrix} \oint_{C} F . T d s & = \int_{0}^{2 π} 〈 –2, 2 sen t 〉 . 〈 −2 sen t, 2 cos t 〉 d t \\ = \int_{0}^{2 π} (4 sen t + 4 sen t cos t) d t \\ = {[−4 cos t + 4 {sen}^{2} t]}_{0}^{2 π} \\ = (−4 cos (2 π) + 2 {sen}^{2} (2 π)) - (−4 cos (0) + 4 {sen}^{2} (0)) \\ = −4 + 4 = 0, \end{matrix}

El campo de fuerza no hace ningún trabajo sobre la partícula.

Observe que la circulación de F a lo largo de C es nula. Además, observe que como F es el gradiente de $f (x, y) = –2 x + \frac{y^{2}}{2},$ F es conservativo. Demostramos en una sección posterior que bajo ciertas condiciones amplias, la circulación de un campo vectorial conservativo a lo largo de una curva cerrada es cero.

Punto de control 6.23

Calcule el trabajo realizado por el campo $F (x, y) = 〈 2 x, 3 y 〉$ en una partícula que atraviesa el círculo unitario. Supongamos que la partícula comienza su movimiento en $(–1, 0) .$

Sección 6.2 ejercicios

39.

¿Verdadero o falso? La integral de línea $\int_{C}^{} f (x, y) d s$ es igual a una integral definida si C es una curva suave definida en $[a, b]$ y si la función $f$ es continua en alguna región que contiene la curva C.

40.

¿Verdadero o falso? Las funciones vectoriales $r_{1} = t i + t^{2} j,$ $0 \leq t \leq 1,$ y $r_{2} = (1 - t) i + {(1 - t)}^{2} j,$ $0 \leq t \leq 1,$ definen la misma curva orientada.

41.

¿Verdadero o falso? $\int_{− C}^{} (P d x + Q d y) = \int_{C}^{} (P d x - Q d y)$

42.

¿Verdadero o falso? Una curva suave a trozos C consiste en un número finito de curvas suaves que se unen de extremo a extremo.

43.

¿Verdadero o falso? Si C viene dado por $x (t) = t, y (t) = t, 0 \leq t \leq 1,$ entonces $\int_{C}^{} x y d s = \int_{0}^{1} t^{2} d t .$

En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para evaluar las integrales de línea sobre la trayectoria indicada.

44.

[T] $\int_{C}^{} (x + y) d s$

$C : x = t, y = (1 - t), z = 0$ de (0, 1, 0) a (1, 0, 0)

45.

[T] $\int_{C}^{} (x - y) d s$

$C : r (t) = 4 t i + 3 t j$ cuando $0 \leq t \leq 2$

46.

[T] $\int_{C}^{} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d s$

$C : r (t) = sen t i + cos t j + 8 t k$ cuando $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$

47.

[T] Evalúe $\int_{C}^{} x y^{4} d s,$ donde C es la mitad derecha del círculo $x^{2} + y^{2} = 16$ y se recorre en el sentido de las agujas del reloj.

48.

[T] Evalúe $\int_{C}^{} 4 x^{3} d s,$ donde C es el segmento de línea desde $(–2, –1)$ a (1, 2).

En los siguientes ejercicios, calcule el trabajo realizado.

49.

Calcule el trabajo realizado por el campo vectorial $F (x, y, z) = x i + 3 x y j - (x + z) k$ en una partícula que se mueve a lo largo de un segmento de línea que va desde $(1, 4, 2)$ al $(0, 5, 1) .$

50.

Calcule el trabajo realizado por una persona que pesa 150 libras caminando exactamente una vuelta por una escalera circular de caracol de radio 3 pies si la persona sube 10 pies.

51.

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza $F (x, y, z) = - \frac{1}{2} x i - \frac{1}{2} y j + \frac{1}{4} k$ en una partícula mientras se mueve a lo largo de la hélice $r (t) = cos t i + sen t j + t k$ desde el punto $(1, 0, 0)$ al punto $(–1, 0, 3 π) .$

52.

Calcule el trabajo realizado por el campo vectorial $F (x, y) = y i + 2 x j$ al mover un objeto a lo largo de la trayectoria C, la línea recta que une los puntos (1, 0) y (0, 1).

53.

Calcule el trabajo realizado por la fuerza $F (x, y) = 2 y i + 3 x j + (x + y) k$ en el movimiento de un objeto a lo largo de una curva $r (t) = cos (t) i + sen (t) j + \frac{1}{6} k,$ donde $0 \leq t \leq 2 π .$

54.

Halle la masa de un cable en forma de círculo de radio 2 centrado en (3, 4) con densidad lineal de masa $ρ (x, y) = y^{2} .$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea.

55.

Evalúe $\int_{C} F . d r,$ donde $F (x, y) = −1 j,$ y C es la parte del gráfico de $y = \frac{1}{2} x^{3} - x$ a partir de $(2, 2)$ al $(–2, –2) .$

56.

Evalúe $\int_{γ}^{} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{−1} d s,$ donde $γ$ es la hélice $x = cos t, y = sen t, z = t (0 \leq t \leq T) .$

57.

Evalúe $\int_{C}^{} y z d x + x z d y + x y d z$ sobre el segmento de línea de $(1, 1, 1)$ al $(3, 2, 0) .$

58.

Supongamos que C es el segmento de línea que va del punto (0, 1, 1) al punto (2, 2, 3). Evalúe la integral de línea $\int_{C}^{} y d s .$

59.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar la integral de línea $\int_{C} y^{2} d x + x d y,$ donde C es el arco de la parábola $x = 4 - y^{2}$ de (-5, -3) a (0, 2).

60.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} (x + 3 y^{2}) d y$ sobre la trayectoria C dada por $x = 2 t, y = 10 t,$ donde $0 \leq t \leq 1 .$

61.

[T] Utilice un CAS para evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} x y d x + y d y$ sobre la trayectoria C dada por $x = 2 t, y = 10 t,$ donde $0 \leq t \leq 1 .$

62.

Evalúe la integral de línea $\int_{C}^{} (2 x - y) d x + (x + 3 y) d y,$ donde C se encuentra a lo largo del eje x de $x = 0 a x = 5 .$

63.

[T] Utilice un CAS para evaluar $\int_{C}^{} \frac{y}{2 x^{2} - y^{2}} d s,$ donde C es $x = t, y = t, 1 \leq t \leq 5 .$

64.

[T] Utilice un CAS para evaluar $\int_{C} x y d s,$ donde C es $x = t^{2}, y = 4 t, 0 \leq t \leq 1 .$

En los siguientes ejercicios, halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobre un objeto que se mueve por la trayectoria indicada.

65.

$F (x, y) = − x i - 2 y j$

$C : y = x^{3} de (0, 0) a (2, 8)$

66.

$F (x, y) = 2 x i + y j$

C: en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1)

67.

$F (x, y, z) = x i + y j - 5 z k$

$C : r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k, 0 \leq t \leq 2 π$

68.

Supongamos que F es un campo vectorial $F (x, y) = (y^{2} + 2 x e^{y} + 1) i + (2 x y + x^{2} e^{y} + 2 y) j .$ Calcule el trabajo de la integral $\int_{C}^{} F . d r,$ donde C es la trayectoria $r (t) = sen t i + cos t j, 0 \leq t \leq \frac{π}{2} .$

69.

Calcule el trabajo realizado por la fuerza $F (x, y, z) = 2 x i + 3 y j - z k$ a lo largo de la trayectoria $r (t) = t i + t^{2} j + t^{3} k,$ donde $0 \leq t \leq 1 .$

70.

Evalúe $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = \frac{1}{x + y} i + \frac{1}{x + y} j$ y C es el segmento del círculo unitario que va en sentido contrario a las agujas del reloj desde $(1, 0)$ a (0, 1).

71.

La fuerza $F (x, y, z) = z y i + x j + z^{2} x k$ actúa sobre una partícula que viaja desde el origen hasta el punto (1, 2, 3). Calcule el trabajo realizado si la partícula se desplaza:

a lo largo de la trayectoria $(0, 0, 0) \to (1, 0, 0) \to (1, 2, 0) \to (1, 2, 3)$ a lo largo de segmentos de línea recta que unen cada par de puntos finales;
a lo largo de la línea recta que une los puntos inicial y final.
¿El trabajo es el mismo en las dos trayectorias?

72.

Calcule el trabajo realizado por el campo vectorial $F (x, y, z) = x i + 3 x y j - (x + z) k$ en una partícula que se mueve a lo largo de un segmento de línea que va de (1, 4, 2) a (0, 5, 1).

73.

¿Cuánto trabajo se requiere para mover un objeto en el campo vectorial $F (x, y) = y i + 3 x j$ a lo largo de la parte superior de la elipse $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ de (2, 0) a $(–2, 0) ?$

74.

Un campo vectorial viene dado por $F (x, y) = (2 x + 3 y) i + (3 x + 2 y) j .$ Evalúe la integral de línea del campo alrededor de una circunferencia de radio unitario recorrida en sentido de las agujas del reloj.

75.

Evalúe la integral de línea de la función escalar $x y$ a lo largo de la trayectoria parabólica $y = x^{2}$ que conecta el origen con el punto (1, 1).

76.

Halle $\int_{C}^{} y^{2} d x + (x y - x^{2}) d y$ a lo largo de C: $y = 3 x$ de (0, 0) a (1, 3).

77.

Halle $\int_{C}^{} y^{2} d x + (x y - x^{2}) d y$ a lo largo de C: $y^{2} = 9 x$ de (0, 0) a (1, 3).

En los siguientes ejercicios, utilice un CAS para evaluar las integrales de línea dadas.

78.

[T] Evalúe $F (x, y, z) = x^{2} z i + 6 y j + y z^{2} k,$ donde C está representado por $r (t) = t i + t^{2} j + ln t k, 1 \leq t \leq 3 .$

79.

[T] Evalúe la integral de línea $\int_{γ}^{} x e^{y} d s$ donde, $γ$ es el arco de la curva $x = e^{y}$ a partir de $(1, 0)$ al $(e, 1) .$

80.

[T] Evalúe la integral $\int_{γ}^{} x y^{2} d s,$ donde $γ$ es un triángulo con vértices (0, 1, 2), (1, 0, 3) y $(0, –1, 0) .$

81.

[T] Evalúe la integral de línea $\int_{γ}^{} (y^{2} - x y) d s,$ donde $γ$ es curva $y = ln x$ desde (1, 0) hacia $(e, 1) .$

82.

[T] Evalúe la integral de línea $\int_{γ}^{} x y^{4} d s,$ donde $γ$ es la mitad derecha del círculo $x^{2} + y^{2} = 16 .$

83.

[T] Evalúe $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y, z) = x^{2} y i + (x - z) j + x y z k$ y

C $r (t) = t i + t^{2} j + 2 k, 0 \leq t \leq 1 .$

84.

Evalúe $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = 2 x sen (y) i + (x^{2} cos (y) - 3 y^{2}) j$ y

C es cualquier camino desde $(–1, 0)$ a (5, 1).

85.

Calcule la integral de línea de $F (x, y, z) = 12 x^{2} i - 5 x y j + x z k$ sobre la trayectoria C definida por $y = x^{2},$ $z = x^{3}$ del punto (0, 0, 0) al punto (2, 4, 8).

86.

Calcule la integral de línea de $\int_{C}^{} (1 + x^{2} y) d s,$ donde C es la elipse $r (t) = 2 cos t i + 3 sen t j$ a partir de $0 \leq t \leq π .$

En los siguientes ejercicios, halle el flujo.

87.

Calcule el flujo de $F = x^{2} i + y j$ a través de un segmento de línea de (0, 0) a (1, 2).

88.

Supongamos que $F = 5 i$ y supongamos que C es la curva $y = 0, 0 \leq x \leq 4 .$ Calcule el flujo a través de C.

89.

Supongamos que $F = 5 j$ y supongamos que C es la curva $y = 0, 0 \leq x \leq 4 .$ Calcule el flujo a través de C.

90.

Supongamos que $F = − y i + x j$ y que C $r (t) = cos t i + sen t j$ $(0 \leq t \leq 2 π) .$ Calcule el flujo a través de C.

91.

Supongamos que $F = (x^{2} + y^{3}) i + (2 x y) j .$ Calcule el flujo F orientado en sentido contrario a las agujas del reloj a través de la curva C $x^{2} + y^{2} = 9 .$

92.

Calcule la integral de línea de $\int_{C}^{} z^{2} d x + y d y + 2 y d z,$ donde C consta de dos partes $C_{1}$ y $C_{2} .$ $C_{1}$ es la intersección del cilindro $x^{2} + y^{2} = 16$ y el plano $z = 3$ de (0, 4, 3) a $(−4, 0, 3) .$ $C_{2}$ es un segmento de línea desde $(−4, 0, 3)$ a (0, 1, 5).

93.

Un resorte está hecho de un alambre fino retorcido en forma de hélice circular $x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = t .$ Halle la masa de dos vueltas del resorte si el hilo tiene una densidad de masa constante.

94.

Un alambre fino se dobla en forma de semicírculo de radio a. Si la densidad lineal de la masa en el punto P es directamente proporcional a su distancia desde la línea que pasa por los puntos extremos, calcule la masa del alambre.

95.

Un objeto se mueve en un campo de fuerza $F (x, y, z) = y^{2} i + 2 (x + 1) y j$ en sentido contrario a las agujas del reloj desde el punto (2, 0) a lo largo de la trayectoria elíptica $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ al $(–2, 0),$ y de vuelta al punto (2, 0) a lo largo del eje x. ¿Cuánto trabajo realiza el campo de fuerza sobre el objeto?

96.

Calcule el trabajo realizado cuando un objeto se mueve en un campo de fuerza $F (x, y, z) = 2 x i - (x + z) j + (y - x) k$ a lo largo de la trayectoria dada por $r (t) = t^{2} i + (t^{2} - t) j + 3 k,$ $0 \leq t \leq 1 .$

97.

Si un campo de fuerza inverso F viene dado por $F (x, y, z) = \frac{k}{{‖ r ‖}^{3}} r,$ donde k es una constante, calcule el trabajo realizado por F cuando su punto de aplicación se mueve a lo largo del eje x desde $A (1, 0, 0) para B (2, 0, 0) .$

98.

David y Sandra planean evaluar la integral de línea $\int_{C}^{} F . d r$ a lo largo de una trayectoria en el plano xy desde (0, 0) hasta (1, 1). El campo de fuerza es $F (x, y) = (x + 2 y) i + (− x + y^{2}) j .$ David elige la trayectoria que recorre el eje x desde (0, 0) hasta (1, 0) y luego recorre la línea vertical $x = 1$ desde (1, 0) hasta el punto final (1, 1). Sandra elige la trayectoria directa a lo largo de la línea diagonal $y = x$ de (0, 0) a (1, 1). ¿De quién es la integral de línea más grande y por cuánto?

6.2 Integrales de línea

Objetivos de aprendizaje

Integrales de línea escalares

Definición

Ejemplo 6.14

Hallar el valor de una integral de línea

Solución

Punto de control 6.13

Teorema 6.3

Evaluación de una integral de línea escalar

Teorema 6.4

Cálculo de la integral de línea escalar

Ejemplo 6.15

Evaluar una integral de línea

Solución

Punto de control 6.14

Ejemplo 6.16

Independencia de la parametrización

Solución

Punto de control 6.15

Ejemplo 6.17

Calcular la longitud del arco

Solución

Punto de control 6.16

Integrales de líneas vectoriales

Definición

Ejemplo 6.18

Evaluar una integral de línea vectorial

Solución

Ejemplo 6.19

Invertir la orientación

Solución

Punto de control 6.17

Ejemplo 6.20

Hallar el valor de una integral de la forma ∫CPdx+Qdy+Rdz∫CPdx+Qdy+Rdz

Solución

Punto de control 6.18

Teorema 6.5

Propiedades de las integrales vectoriales

Ejemplo 6.21

Usar propiedades para calcular una integral de línea vectorial

Solución

Punto de control 6.19

Aplicaciones de las integrales de línea

Ejemplo 6.22

Calcular la masa de un cable

Solución

Punto de control 6.20

Ejemplo 6.23

Calcular el trabajo

Solución

Flujo y circulación

Definición

Teorema 6.6

Calcular el flujo a través de una curva

Prueba

Ejemplo 6.24

Flujo a través de una curva

Solución

Punto de control 6.21

Ejemplo 6.25

Calcular la circulación

Solución

Punto de control 6.22

Ejemplo 6.26

Calcular el trabajo

Solución

Punto de control 6.23

Sección 6.2 ejercicios

Hallar el valor de una integral de la forma $\int_{C} P d x + Q d y + R d z$