Ecuaciones clave - Cálculo volumen 3

Campo vectorial en $ℝ^{2}$	$F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉$ o $F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j$
Campo vectorial en $ℝ^{3}$	$F (x, y, z) = 〈 P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) 〉$ o $F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k$

Cálculo de una integral de línea escalar	$\int_{C} f (x, y, z) d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} d t$
Cálculo de una integral de línea vectorial	$\int_{C} F . d s = \int_{C} F . T d s = \int_{a}^{b} F (r (t)) . r^{'} (t) d t$ o $\int_{C} P d x + Q d y + R d z = \int_{a}^{b} (P (r (t)) \frac{d x}{d t} + Q (r (t)) \frac{d y}{d t} + R (r (t)) \frac{d z}{d t}) d t$
Calcular el flujo	$\int_{C} F . \frac{n (t)}{‖ n (t) ‖} d s = \int_{a}^{b} F (r (t)) . n (t) d t$

Teorema fundamental de las integrales de línea	$\int_{C} ∇ f . d r = f (r (b)) - f (r (a))$
Circulación de un campo conservativo sobre la curva C que encierra una región simplemente conectada	$\oint_{C} ∇ f . d r = 0$

Teorema de Green, forma de circulación	$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} Q_{x} - P_{y} d A,$ donde C es el borde de D
Teorema de Green, forma de flujo	$\oint_{C} F . d r = \iint_{D} Q_{x} - P_{y} d A,$ donde C es el borde de D
Teorema de Green, versión ampliada	$\oint_{\partial D} F . d r = \iint_{D} Q_{x} - P_{y} d A$

Rizo	$\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}) i + (P_{z} - R_{x}) j + (Q_{x} - P_{y}) k$
Divergencia	$\nabla . F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$
La divergencia del rizo es cero	$\nabla . (\nabla \times F) = 0$
El rizo de un gradiente es el vector cero	$\nabla \times (∇ f) = 0$

Integral de superficie escalar	$\int \int_{S} f (x, y, z) d S = \int \int_{D} f (r (u, v)) \| \| t_{u} \times t_{v} \| \| d A$
Integral de flujo	$\iint_{S} F . N d S = \iint_{S} F . d S = \iint_{D} F (r (u, v)) . (t_{u} \times t_{v}) d A$

teorema de Stokes

\int_{C} F . d r = \iint_{S} rizo F . d S

Teorema de la divergencia

∭_{E} div F d V = \iint_{S} F . d S