Términos clave - Cálculo volumen 3

Términos clave

aproximación lineal: dada una función $f (x, y)$ y un plano tangente a la función en un punto $(x_{0}, y_{0}),$ podemos aproximar $f (x, y)$ para los puntos cercanos a $(x_{0}, y_{0})$ utilizando la fórmula del plano tangente

conjunto abierto: un conjunto $S$ que no contiene ninguno de sus puntos límite

conjunto cerrado: un conjunto $S$ que contiene todos sus puntos límite

conjunto conectado: un conjunto abierto $S$ que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos

curva de nivel de una función de dos variables: el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f (x, y) = c$ para algún número real $c$ en el rango de $f$

derivada direccional: la derivada de una función en la dirección de un vector unitario dado

derivada parcial: una derivada de una función de más de una variable independiente en la que todas las variables menos una se mantienen constantes

derivadas parciales de orden superior: derivadas parciales de segundo orden o superiores, independientemente de que sean derivadas parciales mixtas

derivadas parciales mixtas: derivadas parciales de segundo orden o superiores, en las que al menos dos de las diferenciaciones son con respecto a variables diferentes

diagrama de árbol: ilustra y deriva fórmulas para la regla de la cadena generalizada, en la que se contabiliza cada variable independiente

diferenciable: una función $f (x, y, z)$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$ si $f (x, y)$ puede expresarse en la forma $f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) + E (x, y),$
donde el término de error $E (x, y)$ satisface $\underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} = 0$

diferencial total: el diferencial total de la función $f (x, y)$ a las $(x_{0}, y_{0})$ está dado por la fórmula $d z = f_{x} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y$

discriminante: el discriminante de la función $f (x, y)$ está dado por la fórmula $D = f_{x x} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0}) - {(f_{x y} (x_{0}, y_{0}))}^{2}$

ecuación diferencial parcial: una ecuación que implica una función desconocida de más de una variable independiente y una o más de sus derivadas parciales

función de dos variables: una función $z = f (x, y)$ que aplica cada par ordenado $(x, y)$ en un subconjunto $D$ de $ℝ^{2}$ a un único número real $z$

función objetivo: la función que debe ser maximizada o minimizada en un problema de optimización

gradiente: el gradiente de la función $f (x, y)$ se define como $\nabla f (x, y) = (\partial f / \partial x) i + (\partial f / \partial y) j,$ que puede generalizarse a una función de cualquier número de variables independientes

gráfico de una función de dos variables: un conjunto de triples ordenadas $(x, y, z)$ que satisface la ecuación $z = f (x, y)$ trazado en el espacio cartesiano tridimensional

líneas de contorno: un gráfico de las distintas curvas de nivel de una función determinada $f (x, y)$

método de los multiplicadores de Lagrange: un método para resolver un problema de optimización sujeto a una o más restricciones

Multiplicador de Lagrange: la constante (o constantes) utilizada en el método de los multiplicadores de Lagrange; en el caso de una constante, se representa por la variable $λ$

plano tangente: dada una función $f (x, y)$ que es diferenciable en un punto $(x_{0}, y_{0}),$ la ecuación del plano tangente a la superficie $z = f (x, y)$ viene dada por $z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})$

problema de optimización: cálculo de un valor máximo o mínimo de una función de varias variables, a menudo utilizando multiplicadores de Lagrange

punto crítico de una función de dos variables

el punto

(x_{0}, y_{0})

se llama punto crítico de

f (x, y)

si se cumple una de las dos condiciones siguientes

$f_{x} (x_{0}, y_{0}) = f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$
Al menos uno de $f_{x} (x_{0}, y_{0})$ y $f_{y} (x_{0}, y_{0})$ no existe

punto de silla: dada la función $z = f (x, y),$ el punto $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ es un punto de silla si $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0$ y $f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0,$ pero $f$ no tienen un extremo local en $(x_{0}, y_{0})$

punto interior: un punto $P_{0}$ de $R$ es un punto límite si existe un disco $δ$ centrado en $P_{0}$ contenido completamente en $R$

punto límite: un punto $P_{0}$ de $R$ es un punto límite si cada disco $δ$ centrado en $P_{0}$ contiene puntos tanto dentro como fuera de $R$

región: un subconjunto abierto, conectado y no vacío de $ℝ^{2}$

regla de la cadena generalizada: la regla de la cadena ampliada a las funciones de más de una variable independiente, en las que cada variable independiente puede depender de una o varias otras variables

restricción: una desigualdad o ecuación que implica una o más variables que se utiliza en un problema de optimización; la restricción impone un límite a las posibles soluciones del problema

superficie: el gráfico de una función de dos variables, $z = f (x, y)$

superficie de nivel de una función de tres variables: el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $f (x, y, z) = c$ para algún número real $c$ en el rango de $f$

traza vertical: el conjunto de triples ordenadas $(c, y, z)$ que resuelve la ecuación $f (c, y) = z$ para una constante dada $x = c$ o el conjunto de triples ordenadas $(x, d, z)$ que resuelve la ecuación $f (x, d) = z$ para una constante dada $y = d$

variable intermedia: dada una composición de funciones (por ejemplo $f (x (t), y (t))),$ las variables intermedias son las variables que son independientes en la función externa pero que dependen de otras variables también; en la función $f (x (t), y (t)),$ las variables $x y y$ son ejemplos de variables intermedias

$δ$ bola: todos los puntos de $ℝ^{3}$ que se encuentran a una distancia inferior a $δ$ a partir de $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$

$δ$ disco: un disco abierto de radio $δ$ centrado en el punto $(a, b)$