Integrales dobles sobre regiones rectangulares

5.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares

Objetivos de aprendizaje

5.1.1 Reconocer cuándo una función de dos variables es integrable sobre una región rectangular.
5.1.2 Reconocer y utilizar algunas de las propiedades de las integrales dobles.
5.1.3 Evaluar una integral doble sobre una región rectangular escribiéndola como una integral iterada.
5.1.4 Utilizar una integral doble para calcular el área de una región, el volumen bajo una superficie o el valor medio de una función sobre una región plana.

En esta sección investigamos las integrales dobles y mostramos cómo podemos utilizarlas para calcular el volumen de un sólido sobre una región rectangular en el plano $x y$ . Muchas de las propiedades de las integrales dobles son similares a las que ya hemos estudiado para las integrales simples.

Volúmenes e integrales dobles

Comenzamos considerando el espacio sobre una región rectangular R. Consideremos una función continua $f (x, y) \geq 0$ de dos variables definidas en el rectángulo cerrado R:

R = [a, b] \times [c, d] = {(x, y) \in ℝ^{2} | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}

Aquí $[a, b] \times [c, d]$ denota el producto cartesiano de los dos intervalos cerrados $[a, b]$ y $[c, d] .$ Se compone de pares rectangulares $(x, y)$ de manera que $a \leq x \leq b$ y $c \leq y \leq d .$ El gráfico de $f$ representa una superficie por encima del plano $x y$ con ecuación $z = f (x, y)$ donde $z$ es la altura de la superficie en el punto $(x, y) .$ Supongamos que $S$ es el sólido que está por encima de $R$ y por debajo del gráfico de $f$ (Figura 5.2). La base del sólido es el rectángulo $R$ en el plano $x y$ . Queremos calcular el volumen $V$ del sólido $S .$

En el espacio xyz, existe una superficie z = f(x, y). En el eje x se dibujan las líneas que denotan a y b; en el eje y se dibujan las líneas de c y d. Cuando la superficie se proyecta sobre el plano xy, forma un rectángulo con vértices (a, c), (a, d), (b, c) y (b, d).

Figura 5.2 El gráfico de

f (x, y)

sobre el rectángulo

R

en el plano

x y

es una superficie curva.

Dividimos la región $R$ en pequeños rectángulos $R_{i j},$ cada uno de ellos con área $Δ A$ y con lados $Δ x$ y $Δ y$ (Figura 5.3). Para ello, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $m$ subintervalos y dividimos el intervalo $[c, d]$ en $n$ subintervalos. Por lo tanto, $Δ x = \frac{b - a}{m},$ $Δ y = \frac{d - c}{n},$ y $Δ A = Δ x Δ y .$

En el plano xy hay un rectángulo con vértices (a, c), (a, d), (b, c) y (b, d). Entre a y b en el eje x se trazan líneas desde a, x1, x2, ..., xi, ..., b con distancia delta x entre cada línea; entre c y d en el eje y se trazan líneas desde c, y1, y2, ..., yj, ..., d con distancia delta y entre cada línea. Entre los subrectángulos resultantes, el de la segunda columna y tercera fila hacia arriba tiene un punto marcado (x*23, y*23). El rectángulo Rij está marcado con la esquina superior derecha (xi, yj). Dentro de este rectángulo se marca el punto (x*ij, y*ij).

Figura 5.3 El rectángulo

R

se divide en pequeños rectángulos

R_{i j},

cada uno de ellos con área

Δ A .

El volumen de una caja rectangular delgada sobre $R_{i j}$ es $f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A,$ donde $(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*})$ es un punto de muestra arbitrario en cada $R_{i j}$ como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5.4 Una caja rectangular delgada sobre

R_{i j}

con altura

f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) .

Utilizando la misma idea para todos los subrectángulos, obtenemos un volumen aproximado del sólido $S$ cuando $V \approx \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A .$ Esta suma se conoce como suma doble de Riemann y se puede usar para aproximar el valor del volumen del sólido. Aquí la suma doble significa que para cada subrectángulo evaluamos la función en el punto elegido, multiplicamos por el área de cada rectángulo y luego sumamos todos los resultados.

Como hemos visto en el caso de una sola variable, obtenemos una mejor aproximación al volumen real si m y n son mayores.

V = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A o V = \underset{Δ x, Δ y \to 0}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A .

Observe que la suma se aproxima a un límite en cualquiera de los dos casos y el límite es el volumen del sólido con la base R. Ahora estamos preparados para definir la integral doble.

Definición

La integral doble de la función $f (x, y)$ sobre la región rectangular $R$ en el plano $x y$ se define como

\iint_{R} f (x, y) d A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i}^{*}, y_{j}^{*}) Δ A .

(5.1)

Si $f (x, y) \geq 0,$ entonces el volumen V del sólido S, que se encuentra por encima de $R$ en el plano $x y$ y por debajo del gráfico de f, es la integral doble de la función $f (x, y)$ sobre el rectángulo $R .$ Si la función es alguna vez negativa, entonces la integral doble puede considerarse un volumen “señalado” de forma similar a como definimos el área neta señalada en La integral definida.

Ejemplo 5.1

Establecer una integral doble y aproximarla mediante sumas dobles

Considere la función $z = f (x, y) = 3 x^{2} - y$ sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2]$ (Figura 5.5).

Establezca una integral doble para calcular el valor del volumen señalado del sólido S que se encuentra por encima de $R$ y "bajo" el gráfico de $f .$
Divida R en cuatro cuadrados con $m = n = 2,$ y elija el punto de muestra como el vértice superior derecho de cada cuadrado $(1, 1), (2, 1), (1, 2),$ y $(2, 2)$ (Figura 5.6) para aproximar el volumen señalado del sólido S que se encuentra por encima de $R$ y "bajo" el gráfico de $f .$
Divida R en cuatro cuadrados con $m = n = 2,$ y elija el punto de muestra como punto medio de cada cuadrado: $(1 / 2, 1 / 2), (3 / 2, 1 / 2), (1 / 2, 3 / 2), y (3 / 2, 3 / 2)$ para aproximarse al volumen señalado.

Figura 5.5 La función $z = f (x, y)$ graficada sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2] .$

Solución

Como podemos ver, la función $z = f (x, y) = 3 x^{2} - y^{}$ está por encima del plano. Para calcular el volumen señalado de S, tenemos que dividir la región R en pequeños rectángulos $R_{i j},$ cada uno de ellos con área $Δ A$ y con lados $Δ x$ y $Δ y,$ y elegir $(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*})$ como puntos de muestra en cada $R_{i j} .$ Por lo tanto, se establece una integral doble como

$V = \iint_{R} (3 x^{2} - y) d A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} [3 {(x_{i j}^{*})}^{2} - y_{i j}^{*}] Δ A .$
Aproximar el volumen señalado mediante una suma de Riemann con $m = n = 2$ tenemos $Δ A = Δ x Δ y = 1 \times 1 = 1 .$ Además, los puntos de muestra son (1, 1), (2, 1), (1, 2) y (2, 2) como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5.6 Subrectángulos para la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2] .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} V & = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A \\ = \sum_{i = 1}^{2} (f (x_{i 1}^{*}, y_{i 1}^{*}) + f (x_{i 2}^{*}, y_{i 2}^{*})) Δ A \\ = f (x_{11}^{*}, y_{11}^{*}) Δ A + f (x_{21}^{*}, y_{21}^{*}) Δ A + f (x_{12}^{*}, y_{12}^{*}) Δ A + f (x_{22}^{*}, y_{22}^{*}) Δ A \\ = f (1, 1) (1) + f (2, 1) (1) + f (1, 2) (1) + f (2, 2) (1) \\ = (3 - 1) (1) + (12 - 1) (1) + (3 - 2) (1) + (12 - 2) (1) \\ = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. \end{matrix}$
Aproximar el volumen señalado mediante una suma de Riemann con $m = n = 2,$ tenemos $Δ A = Δ x Δ y = 1 \times 1 = 1 .$ En este caso los puntos de muestra son (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2)
y (3/2, 3/2).
Por lo tanto

$\begin{matrix} V & = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{2} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A \\ = f (x_{11}^{*}, y_{11}^{*}) Δ A + f (x_{21}^{*}, y_{21}^{*}) Δ A + f (x_{12}^{*}, y_{12}^{*}) Δ A + f (x_{22}^{*}, y_{22}^{*}) Δ A \\ = f (1 / 2, 1 / 2) (1) + f (3 / 2, 1 / 2) (1) + f (1 / 2, 3 / 2) (1) + f (3 / 2, 3 / 2) (1) \\ = (\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) (1) + (\frac{27}{4} - \frac{1}{2}) (1) + (\frac{3}{4} - \frac{3}{2}) (1) + (\frac{27}{4} - \frac{3}{2}) (1) \\ = \frac{2}{4} + \frac{25}{4} + (- \frac{3}{4}) + \frac{21}{4} = \frac{45}{4} \end{matrix} .$

Análisis

Observe que las respuestas aproximadas difieren debido a la elección de los puntos de muestra. En cualquier caso, estamos introduciendo algún error porque estamos utilizando solo unos pocos puntos de muestra. Por lo tanto, tenemos que investigar cómo podemos conseguir una respuesta precisa.

Punto de control 5.1

Utilice la misma función $z = f (x, y) = 3 x^{2} - y^{}$ sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2] .$

Divida R en los mismos cuatro cuadrados con $m = n = 2,$ y elija los puntos de muestra como el vértice superior izquierdo de cada cuadrado $(0, 1), (1, 1), (0, 2),$ y $(1, 2)$ (Figura 5.6) para aproximar el volumen señalado del sólido S que se encuentra por encima de $R$ y "bajo" el gráfico de $f .$

Observe que desarrollamos el concepto de integral doble utilizando una región rectangular R. Este concepto puede extenderse a cualquier región general. Sin embargo, cuando una región no es rectangular, es posible que los subrectángulos no encajen todos perfectamente en R, sobre todo si el área base es curva. Examinamos esta situación con más detalle en la siguiente sección, donde estudiamos regiones que no siempre son rectangulares y los subrectángulos pueden no encajar perfectamente en la región R. Además, las alturas pueden no ser exactas si la superficie $z = f (x, y)$ es curva. Sin embargo, los errores en los lados y la altura donde las piezas pueden no encajar perfectamente dentro del sólido S se acercan a 0 a medida que m y n se acercan al infinito. Además, la integral doble de la función $z = f (x, y)$ existe siempre que la función $f$ no sea demasiado discontinua. Si la función está delimitada y es continua sobre R excepto en un número finito de curvas suaves, entonces la integral doble existe y decimos que $f$ es integrable sobre R.

Dado que $Δ A = Δ x Δ y = Δ y Δ x,$ podemos expresar $d A$ cuando $d x d y$ o $d y d x .$ Esto significa que, cuando utilizamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región $R$ denotada por $\iint_{R} f (x, y) d A$ se puede escribir como $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ o $\iint_{R} f (x, y) d y d x .$

Ahora vamos a enumerar algunas de las propiedades que pueden ser útiles para calcular integrales dobles.

Propiedades de las integrales dobles

Las propiedades de las integrales dobles son muy útiles a la hora de calcularlas o de trabajar con ellas. Enumeramos aquí seis propiedades de las integrales dobles. Las propiedades 1 y 2 se denominan linealidad de la integral, la propiedad 3 es la aditividad de la integral, la propiedad 4 es la monotonicidad de la integral y la propiedad 5 se utiliza para hallar los límites de la integral. La propiedad 6 se utiliza si $f (x, y)$ es el producto de dos funciones $g (x)$ y $h (y) .$

Teorema 5.1

Propiedades de las integrales dobles

Supongamos que las funciones $f (x, y)$ y $g (x, y)$ son integrables sobre la región rectangular R; S y T son subregiones de R, y supongamos que m y M son números reales.

La suma $f (x, y) + g (x, y)$ es integrable y

$\iint_{R} [f (x, y) + g (x, y)] d A = \iint_{R} f (x, y) d A + \iint_{R} g (x, y) d A .$
Si c es una constante, entonces $c f (x, y)$ es integrable y

$\iint_{R} c f (x, y) d A = c \iint_{R} f (x, y) d A .$
Si los valores de $R = S \cup T$ y $S \cap T = \emptyset$ exceptuando una superposición en los límites, entonces

$\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{S} f (x, y) d A + \iint_{T} f (x, y) d A .$
Si $f (x, y) \geq g (x, y)$ por $(x, y)$ en $R,$ entonces

$\iint_{R} f (x, y) d A \geq \iint_{R} g (x, y) d A .$
Si los valores de $m \leq f (x, y) \leq M,$ entonces

$m \times A (R) \leq \iint_{R} f (x, y) d A \leq M \times A (R) .$
En caso de que $f (x, y)$ se pueda factorizar como un producto de una función $g (x)$ de $x$ solamente y una función $h (y)$ de $y$ solamente, entonces sobre la región $R = {(x, y) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d},$ la integral doble se puede escribir como

$\iint_{R} f (x, y) d A = (\int_{a}^{b} g (x) d x) (\int_{c}^{d} h (y) d y) .$

Estas propiedades se utilizan en la evaluación de integrales dobles, como veremos más adelante. Seremos hábiles en el uso de estas propiedades una vez que nos familiaricemos con las herramientas de cálculo de las integrales dobles. Así que vamos a eso ahora.

Integrales iteradas

Hasta ahora hemos visto cómo establecer una integral doble y cómo obtener un valor aproximado para esta. También podemos imaginar que la evaluación de integrales dobles mediante la definición puede ser un proceso muy largo si elegimos valores mayores para $m$ y $n .$ Por lo tanto, necesitamos una técnica práctica y conveniente para calcular integrales dobles. En otras palabras, tenemos que aprender a calcular integrales dobles sin emplear la definición que utiliza límites y sumas dobles.

La idea básica es que la evaluación se hace más fácil si podemos dividir una integral doble en integrales simples integrando primero con respecto a una variable y luego con respecto a la otra. La herramienta clave que necesitamos se llama integral iterada.

Definición

Supongamos que $a, b, c,$ y $d$ son números reales. Definimos una integral iterada para una función $f (x, y)$ sobre la región rectangular $R$ $= [a, b] \times [c, d]$ cuando

$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x$
(5.2)
$\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y .$
(5.3)

La notación $\int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x$ significa que integramos $f (x, y)$ con respecto a y manteniendo constante x. Del mismo modo, la notación $\int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y$ significa que integramos $f (x, y)$ con respecto a x manteniendo constante y. El hecho de que las integrales dobles puedan dividirse en integrales iteradas se expresa en el teorema de Fubini. Piense en este teorema como una herramienta esencial para evaluar integrales dobles.

Teorema 5.2

Teorema de Fubini

Supongamos que $f (x, y)$ es una función de dos variables que es continua sobre una región rectangular $R = {(x, y) \in ℝ^{2} | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} .$ Entonces vemos en la Figura 5.7 que la integral doble de $f$ sobre la región es igual a una integral iterada,

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{R} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y .

De forma más general, el teorema de Fubini es cierto si $f$ está delimitada en $R$ y $f$ es discontinua solo en un número finito de curvas continuas. En otras palabras, $f$ tiene que ser integrable sobre $R .$

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, en el espacio xyz, se muestra una superficie dada por la función f(x, y). Se elige un punto x en el eje x, y en este punto, está escrito fijar x. Desde este punto se proyecta un plano perpendicular al plano xy a lo largo de la línea con valor x. Este plano está marcado como Área A(x), y todo el espacio debajo de la superficie está marcado como V. De forma similar, en la figura b, en el espacio xyz, se muestra una superficie que está dada por la función f(x, y). Se elige un punto y en el eje y, y en este punto, está escrito fijar y. A partir de este punto, se proyecta un plano perpendicular al plano xy a lo largo de la línea con valor y. Este plano está marcado como Área A(y), y todo el espacio debajo de la superficie está marcado como V.

Figura 5.7 (a) Integrando primero con respecto a

y

y luego con respecto a

x

para calcular el área

A (x)

y luego el volumen V; (b) integrando primero con respecto a

x

y luego con respecto a

y

para calcular el área

A (y)

y luego el volumen V.

Ejemplo 5.2

Utilizar el teorema de Fubini

Utilice el teorema de Fubini para calcular la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A$ donde $f (x, y) = x$ y $R = [0, 2] \times [0, 1] .$

Solución

El teorema de Fubini ofrece una forma más fácil de evaluar la integral doble mediante el uso de una integral iterada. Observe cómo los valores límite de la región R se convierten en los límites superior e inferior de la integración.

\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = \iint_{R} f (x, y) d x d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 1} \int_{x = 0}^{x = 2} x d x d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 1} [{\frac{x^{2}}{2} |}_{x = 0}^{x = 2}] d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 1} 2 d y = {2 y |}_{y = 0}^{y = 1} = 2 . \end{matrix}

La integración doble de este ejemplo es lo suficientemente sencilla como para utilizar directamente el teorema de Fubini, lo que nos permite convertir una integral doble en una integral iterada. En consecuencia, ahora estamos preparados para convertir todas las integrales dobles en integrales iteradas y demostrar cómo las propiedades enumeradas anteriormente pueden ayudarnos a evaluar integrales dobles cuando la función $f (x, y)$ es más compleja. Observe que el orden de integración puede cambiarse (vea el Ejemplo 5.7).

Ejemplo 5.3

Ilustrar las propiedades i y ii

Evalúe la integral doble $\iint_{R} (x y - 3 x y^{2}) d A$ donde $R = {(x, y) | 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2} .$

Solución

Esta función tiene dos trozos: uno es $x y$ y el otro es $3 x y^{2} .$ Además, el segundo trozo tiene una constante $3 .$ Observe cómo utilizamos las propiedades i y ii para ayudar a evaluar la integral doble.

\begin{matrix} \iint_{R} (x y - 3 x y^{2}) d A \\ = \iint_{R} x y d A + \iint_{R} (−3 x y^{2}) d A & Propiedad i: La integral de una suma es la suma de las integrales. \\ = \int_{y = 1}^{y = 2} \int_{x = 0}^{x = 2} x y d x d y - \int_{y = 1}^{y = 2} \int_{x = 0}^{x = 2} 3 x y^{2} d x d y & Convierta las integrales dobles en integrales iteradas. \\ = \int_{y = 1}^{y = 2} {(\frac{x^{2}}{2} y) |}_{x = 0}^{x = 2} d y - 3 \int_{y = 1}^{y = 2} {(\frac{x^{2}}{2} y^{2}) |}_{x = 0}^{x = 2} d y & Integre con respecto a x, manteniendo y constante. \\ = \int_{y = 1}^{y = 2} 2 y d y - \int_{y = 1}^{y = 2} 6 y^{2} d y & Propiedad ii: Colocar la constante antes de la integral. \\ = 2 \int_{1}^{2} y d y - 6 \int_{1}^{2} y^{2} d y & Integre con respecto a y . \\ = {2 \frac{y^{2}}{2} |}_{1}^{2} - {6 \frac{y^{3}}{3} |}_{1}^{2} \\ = {y^{2} |}_{1}^{2} - {2 y^{3} |}_{1}^{2} \\ = (4 - 1) - 2 (8 - 1) \\ = 3 - 2 (7) = 3 - 14 = –11. \end{matrix}

Ejemplo 5.4

Ilustrar la propiedad v.

Sobre la región $R = {(x, y) | 1 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 2},$ tenemos $2 \leq x^{2} + y^{2} \leq 13 .$ Halle un límite inferior y superior para la integral $\iint_{R} (x^{2} + y^{2}) d A .$

Solución

Para un límite inferior, integre la función constante 2 sobre la región $R .$ Para un límite superior, integre la función constante 13 sobre la región $R .$

\begin{matrix} \int_{1}^{2} \int_{1}^{3} 2 d x d y & = & \int_{1}^{2} [{2 x |}_{1}^{3}] d y = \int_{1}^{2} 2 (2) d y = {4 y |}_{1}^{2} = 4 (2 - 1) = 4 \\ \int_{1}^{2} \int_{1}^{3} 13 d x d y & = & \int_{1}^{2} [{13 x |}_{1}^{3}] d y = \int_{1}^{2} 13 (2) d y = {26 y |}_{1}^{2} = 26 (2 - 1) = 26. \end{matrix}

Por lo tanto, obtenemos $4 \leq \iint_{R} (x^{2} + y^{2}) d A \leq 26 .$

Ejemplo 5.5

Ilustrar la propiedad vi

Evalúe la integral $\iint_{R} e^{y} cos x d A$ sobre la región $R = {(x, y) | 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, 0 \leq y \leq 1} .$

Solución

Este es un gran ejemplo para la propiedad vi porque la función $f (x, y)$ es claramente el producto de dos funciones de una sola variable $e^{y}$ y $cos x .$ Así podemos dividir la integral en dos partes y luego integrar cada una como un problema de integración de una sola variable.

\begin{matrix} \iint_{R} e^{y} cos x d A & = \int_{0}^{1} \int_{0}^{π / 2} e^{y} cos x d x d y \\ = (\int_{0}^{1} e^{y} d y) (\int_{0}^{π / 2} cos x d x) \\ = ({e^{y} |}_{0}^{1}) ({sen x |}_{0}^{π / 2}) \\ = e - 1 \end{matrix}

Punto de control 5.2

Utilice las propiedades de la integral doble y el teorema de Fubini para evaluar la integral

$\int_{0}^{1} \int_{–1}^{3} (3 - x + 4 y) d y d x .$
Demuestre que $0 \leq \iint_{R} sen π x cos π y d A \leq \frac{1}{32}$ donde $R = (0, \frac{1}{4}) (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) .$

Como hemos dicho antes, cuando utilizamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región $R$ denotada por $\iint_{R} f (x, y) d A$ se puede escribir como $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ o $\iint_{R} f (x, y) d y d x .$ El siguiente ejemplo muestra que los resultados son los mismos independientemente del orden de integración que elijamos.

Ejemplo 5.6

Evaluar una integral iterada de dos maneras

Volvamos a la función $f (x, y) = 3 x^{2} - y$ del Ejemplo 5.1, esta vez sobre la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 3] .$ Utilice el teorema de Fubini para evaluar $\iint_{R} f (x, y) d A$ de dos maneras diferentes:

Primero integre con respecto a y y luego con respecto a x;
Primero integre con respecto a x y luego con respecto a y.

Solución

La Figura 5.7 muestra cómo funciona el cálculo de dos maneras diferentes.

Primero integre con respecto a y y luego integre con respecto a x:

$\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = 3} (3 x^{2} - y) d y d x \\ = \int_{x = 0}^{x = 2} (\int_{y = 0}^{y = 3} (3 x^{2} - y) d y) d x = \int_{x = 0}^{x = 2} [{3 x^{2} y - \frac{y^{2}}{2} |}_{y = 0}^{y = 3}] d x \\ = \int_{x = 0}^{x = 2} (9 x^{2} - \frac{9}{2}) d x = {3 x^{3} - \frac{9}{2} x |}_{x = 0}^{x = 2} = 15. \end{matrix}$
Primero integre con respecto a x y luego integre con respecto a y:

$\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = \int_{y = 0}^{y = 3} \int_{x = 0}^{x = 2} (3 x^{2} - y) d x d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 3} (\int_{x = 0}^{x = 2} (3 x^{2} - y) d x) d y = \int_{y = 0}^{y = 3} [{x^{3} - x y |}_{x = 0}^{x = 2}] d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 3} (8 - 2 y) d y = {8 y - y^{2} |}_{y = 0}^{y = 3} = 15. \end{matrix}$

Análisis

Con cualquier orden de integración, la integral doble nos da una respuesta de 15. Podríamos interpretar esta respuesta como un volumen en unidades cúbicas del sólido $S$ debajo de la función $f (x, y) = 3 x^{2} - y$ sobre la región $R = [0, 2] \times [0, 3] .$ Sin embargo, recuerde que la interpretación de una integral doble como un volumen (no señalado) solo funciona cuando la integración $f$ es una función no negativa sobre la región base $R .$

Punto de control 5.3

Evalúe $\int_{y = −3}^{y = 2} \int_{x = 3}^{x = 5} (2 - 3 x^{2} + y^{2}) d x d y .$

En el siguiente ejemplo vemos que puede ser beneficioso cambiar el orden de integración para facilitar el cálculo. Volveremos sobre esta idea varias veces en este capítulo.

Ejemplo 5.7

Cambiar el orden de integración

Consideremos la integral doble $\iint_{R} x sen (x y) d A$ sobre la región $R = {(x, y) | 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2}$ (Figura 5.8).

Exprese la integral doble de dos maneras diferentes.
Analice si evaluar la integral doble de una forma es más fácil que la otra y por qué.
Evalúe la integral.

Figura 5.8 La función $z = f (x, y) = x sen (x y)$ sobre la región rectangular $R = [0, π] \times [1, 2] .$

Solución

Podemos expresar $\iint_{R} x sen (x y) d A$ de las siguientes dos maneras: primero integrando con respecto a $y$ y luego con respecto a $x;$ segundo integrando con respecto a $x$ y luego con respecto a $y .$

$\begin{matrix} \iint_{R} x sen (x y) d A \\ = \int_{x = 0}^{x = π} \int_{y = 1}^{y = 2} x sen (x y) d y d x & Integramos primero con respecto a y . \\ = \int_{y = 1}^{y = 2} \int_{x = 0}^{x = π} x sen (x y) d x d y & Integramos primero con respecto a x . \end{matrix}$
Si queremos integrar primero con respecto a y y luego integrar con respecto a $x,$ vemos que podemos utilizar la sustitución $u = x y,$ que da $d u = x d y .$ Por lo tanto, la integral interna es simplemente $\int sen u d u$ y podemos cambiar los límites para que sean funciones de x,

$\iint_{R} x sen (x y) d A = \int_{x = 0}^{x = π} \int_{y = 1}^{y = 2} x sen (x y) d y d x = \int_{x = 0}^{x = π} [\int_{u = x}^{u = 2 x} sen (u) d u] d x .$

Sin embargo, integrar con respecto a $x$ primero y luego integrar con respecto a $y$ requiere integración por partes para la integral interna, con $u = x$ y $d v = sen (x y) d x .$
Entonces $d u = d x$ y $v = - \frac{cos (x y)}{y},$ así que

$\iint_{R} x sen (x y) d A = \int_{y = 1}^{y = 2} \int_{x = 0}^{x = π} x sen (x y) d x d y = \int_{y = 1}^{y = 2} [- {\frac{x cos (x y)}{y} |}_{x = 0}^{x = π} + \frac{1}{y} \int_{x = 0}^{x = π} cos (x y) d x] d y .$

Como la evaluación se complica, solo haremos el cálculo que es más fácil de hacer, que es claramente el primer método.
Evalúe la integral doble utilizando la manera más fácil.

$\begin{matrix} \iint_{R} x sen (x y) d A & = \int_{x = 0}^{x = π} \int_{y = 1}^{y = 2} x sen (x y) d y d x \\ = \int_{x = 0}^{x = π} [\int_{u = x}^{u = 2 x} sen (u) d u] d x = \int_{x = 0}^{x = π} [{− cos u |}_{u = x}^{u = 2 x}] d x = \int_{x = 0}^{x = π} (− cos 2 x + cos x) d x \\ = {- \frac{1}{2} sen 2 x + sen x |}_{x = 0}^{x = π} = 0, \end{matrix}$

Punto de control 5.4

Evalúe la integral $\iint_{R} x e^{x y} d A$ donde $R = [0, 1] \times [0, ln 5] .$

Aplicaciones de las integrales dobles

Las integrales dobles son muy útiles para calcular el área de una región delimitada por curvas de funciones. Describimos esta situación con más detalle en la siguiente sección. Sin embargo, si la región tiene forma rectangular, podemos calcular su área integrando la función constante $f (x, y) = 1$ sobre la región $R .$

Definición

El área de la región $R$ viene dada por $A (R) = \iint_{R} 1 d A .$

Esta definición tiene sentido porque usar $f (x, y) = 1$ y evaluar la integral la convierten en un producto de la longitud y la anchura. Comprobemos esta fórmula con un ejemplo y veamos cómo funciona.

Ejemplo 5.8

Calcular el área mediante una integral doble

Calcule el área de la región $R = {(x, y) | 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2}$ utilizando una integral doble, es decir, integrando 1 sobre la región $R .$

Solución

La región es rectangular con longitud 3 y anchura 2, por lo que sabemos que el área es 6. Obtenemos la misma respuesta cuando utilizamos una integral doble:

A (R) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} 1 d x d y = \int_{0}^{2} [{x |}_{0}^{3}] d y = \int_{0}^{2} 3 d y = 3 \int_{0}^{2} d y = 3 {y |}_{0}^{2} = 3 (2) = 6 .

Ya hemos visto cómo se pueden utilizar las integrales dobles para calcular el volumen de un sólido limitado por encima por una función $f (x, y)$ sobre una región $R$ siempre que $f (x, y) \geq 0$ para todos los $(x, y)$ en $R .$ He aquí otro ejemplo para ilustrar este concepto.

Ejemplo 5.9

Volumen de un paraboloide elíptico

Calcular el volumen $V$ del sólido $S$ que está delimitado por el paraboloide elíptico $2 x^{2} + y^{2} + z = 27,$ los planos $x = 3$ y $y = 3,$ y los tres planos de coordenadas.

Solución

Primero, observe el gráfico de la superficie $z = 27 - 2 x^{2} - y^{2}$ en la Figura 5.9(a) y sobre la región cuadrada $R_{1} = [−3, 3] \times [−3, 3] .$ Sin embargo, necesitamos el volumen del sólido delimitado por el paraboloide elíptico $2 x^{2} + y^{2} + z = 27,$ los planos $x = 3$ y $y = 3,$ y los tres planos de coordenadas.

Esta figura está formada por dos figuras marcadas como a y b. En la figura a, en el espacio xyz, se muestra la superficie z = 20 menos 2 x 2 menos y2 para x y y desde 3 negativo hasta 3 positivo. La forma parece una hoja que se ha clavado en las esquinas y se ha forzado suavemente en el centro. En la figura b, en el espacio xyz, se muestra la superficie z = 20 menos 2 x 2 menos y2 para x y y desde 0 a 3 positivo. La superficie es la esquina superior de la figura de la parte a, y debajo de la superficie se marca el sólido S.

Figura 5.9 (a) La superficie

z = 27 - 2 x^{2} - y^{2}

por encima de la región cuadrada

R_{1} = [−3, 3] \times [−3, 3] .

(b) El sólido S se encuentra debajo de la superficie

z = 27 - 2 x^{2} - y^{2}

por encima de la región cuadrada

R_{2} = [0, 3] \times [0, 3] .

Ahora veamos el gráfico de la superficie en la Figura 5.9(b). Determinamos el volumen V evaluando la integral doble sobre $R_{2} :$

\begin{matrix} V & = \iint_{R} z d A = \iint_{R} (27 - 2 x^{2} - y^{2}) d A \\ = \int_{y = 0}^{y = 3} \int_{x = 0}^{x = 3} (27 - 2 x^{2} - y^{2}) d x d y & Convierta a integral iterada. \\ = \int_{y = 0}^{y = 3} {[27 x - \frac{2}{3} x^{3} - y^{2} x] |}_{x = 0}^{x = 3} d y & Integre con respecto a x . \\ = \int_{y = 0}^{y = 3} (63 - 3 y^{2}) d y = 63 y - {y^{3} |}_{y = 0}^{y = 3} = 162 . \end{matrix}

Punto de control 5.5

Calcule el volumen del sólido delimitado arriba por el gráfico de $f (x, y) = x y sen (x^{2} y)$ y abajo por el plano $x y$ en la región rectangular $R = [0, 1] \times [0, π] .$

Recordemos que hemos definido el valor medio de una función de una variable en un intervalo $[a, b]$ cuando

f_{ave} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

De forma similar, podemos definir el valor medio de una función de dos variables sobre una región R. La principal diferencia es que dividimos entre un área en vez de entre la anchura de un intervalo.

Definición

El valor medio de una función de dos variables en una región $R$ es

f_{ave} = \frac{1}{Área R} \iint_{R} f (x, y) d A .

(5.4)

En el siguiente ejemplo calculamos el valor medio de una función sobre una región rectangular. Este es un buen ejemplo de cómo obtener información útil para una integración haciendo mediciones individuales sobre una cuadrícula, en vez de intentar hallar una expresión algebraica para una función.

Ejemplo 5.10

Calcular la precipitación media de tormentas

El mapa meteorológico en la Figura 5.10 muestra un sistema de tormentas inusualmente húmedo asociado a los restos del huracán Karl, que arrojó entre 4 y 8 pulgadas (100 a 200 mm) de lluvia en algunas partes del Medio Oeste el 22 y el 23 de septiembre de 2010. El área de precipitaciones medía 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur. Calcule la precipitación media en toda la zona en esos dos días.

Un mapa de Wisconsin y Minnesota en el que aparecen muchas ciudades con números. Los números más altos se encuentran en una banda estrecha, y el mapa se colorea en consecuencia. El mapa se parece a unas líneas de contorno, pero en vez de elevaciones, utiliza estos números.

Figura 5.10 Efectos del huracán Karl, que arrojó entre 4 y 8 pulgadas (100 a 200 mm) de lluvia en algunas partes del suroeste de Wisconsin, el sur de Minnesota y el sureste de Dakota del Sur en un tramo de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.

Solución

Coloque el origen en la esquina suroeste del mapa para que todos los valores puedan considerarse en el primer cuadrante y, por tanto, todos sean positivos. Ahora divida todo el mapa en seis rectángulos $(m = 2 y n n = 3),$ como se muestra en la Figura 5.11. Supongamos que $f (x, y)$ denota la precipitación de la tormenta en pulgadas en un punto aproximadamente $x$ millas al este del origen y y millas al norte del origen. Supongamos que $R$ representa toda el área de $250 \times 300 = 75.000$ millas cuadradas. Entonces el área de cada subrectángulo es

Δ A = \frac{1}{6} (75.000) = 12.500 .

Supongamos que $(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*})$ son aproximadamente los puntos medios de cada subrectángulo $R_{i j} .$ Observe la región codificada por colores en cada uno de estos puntos y estime las precipitaciones. La precipitación en cada uno de estos puntos se puede estimar como:

A $(x_{11}, y_{11})$ la precipitación es de 0,08.

A $(x_{12}, y_{12})$ la precipitación es de 0,08.

A $(x_{13}, y_{13})$ la precipitación es de 0,01.

A $(x_{21}, y_{21})$ la precipitación es de 1,70.

A $(x_{22}, y_{22})$ la precipitación es de 1,74.

A $(x_{23}, y_{23})$ la precipitación es de 3,00.

Otra versión del mapa de tormentas anterior, pero esta vez con líneas dibujadas para x = 100, 200 y 300 y para y = 125 y 250. Hay un punto en el centro de cada uno de los rectángulos resultantes.

Figura 5.11 Precipitación de tormentas con ejes rectangulares y mostrando los puntos medios de cada subrectángulo.

Según nuestra definición, la precipitación media de la tormenta en toda el área durante esos dos días fue de

\begin{matrix} f_{ave} & = \frac{1}{Área R} \iint_{R} f (x, y) d x d y = \frac{1}{75.000} \iint_{R} f (x, y) d x d y \\ ≅ \frac{1}{75.000} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{2} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A \\ ≅ \frac{1}{75.000} [f (x_{11}^{*}, y_{11}^{*}) Δ A + f (x_{12}^{*}, y_{12}^{*}) Δ A \\ + f (x_{13}^{*}, y_{13}^{*}) Δ A + f (x_{21}^{*}, y_{21}^{*}) Δ A + f (x_{22}^{*}, y_{22}^{*}) Δ A + f (x_{23}^{*}, y_{23}^{*}) Δ A] \\ ≅ \frac{1}{75.000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] Δ A \\ ≅ \frac{1}{75.000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12.500 \\ ≅ \frac{5}{30} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] \\ ≅ 1,10. \end{matrix}

Durante el 22 y el 23 de septiembre de 2010, esta área tuvo una precipitación de tormenta media de aproximadamente 1,10 pulgadas.

Punto de control 5.6

Se muestran líneas de contorno para una función $f (x, y)$ en el rectángulo $R = [−3, 6] \times [−1, 4] .$

Se muestran líneas de contorno en las que el punto más alto es de aproximadamente 18 y está centrado cerca de (4, 1 negativo). A partir de este punto, los valores disminuyen a 16, 14, 12, 10, 8 y 6 aproximadamente cada 0,5 a 1 de distancia. El punto más bajo es el cuatro negativo cerca de (3 negativo, 4). Hay mínimos de 2 cerca de (1 negativo, 0).

Utilice la regla del punto medio con $m = 3$ y $n = 2$ para estimar el valor de $\iint_{R} f (x, y) d A .$
Estime el valor medio de la función $f (x, y) .$

Sección 5.1 ejercicios

En los siguientes ejercicios, utilice la regla del punto medio con $m = 4$ y $n = 2$ para estimar el volumen del sólido delimitado por la superficie $z = f (x, y),$ los planos verticales $x = 1,$ $x = 2,$ $y = 1,$ y $y = 2,$ y el plano horizontal $z = 0 .$

$f (x, y) = 4 x + 2 y + 8 x y$

$f (x, y) = 16 x^{2} + \frac{y}{2}$

En los siguientes ejercicios, estime el volumen del sólido debajo de la superficie $z = f (x, y)$ y por encima de la región rectangular R mediante una suma de Riemann con $m = n = 2$ y que los puntos de muestra sean las esquinas inferiores izquierdas de los subrectángulos de la partición.

$f (x, y) = sen x - cos y,$ $R = [0, π] \times [0, π]$

$f (x, y) = cos x + cos y,$ $R = [0, π] \times [0, \frac{π}{2}]$

Utilice la regla del punto medio con $m = n = 2$ para estimar $\iint_{R} f (x, y) d A,$ donde los valores de la función f en $R = [8, 10] \times [9, 11]$ se indican en la siguiente tabla.

	y
x	9	9,5	10	10,5	11
8	9,8	5	6,7	5	5,6
8,5	9,4	4,5	8	5,4	3,4
9	8,7	4,6	6	5,5	3,4
9,5	6,7	6	4,5	5,4	6,7
10	6,8	6,4	5,5	5,7	6,8

Los valores de la función f en el rectángulo $R = [0, 2] \times [7, 9]$ se indican en la siguiente tabla. Estime la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A$ utilizando una suma de Riemann con $m = n = 2 .$ Seleccione los puntos de la muestra para que sean las esquinas superiores derechas de los subcuadrados de R.

	$y_{0} = 7$	$y_{1} = 8$	$y_{2} = 9$
$x_{0} = 0$	10,22	10,21	9,85
$x_{1} = 1$	6,73	9,75	9,63
$x_{2} = 2$	5,62	7,83	8,21

La profundidad de una piscina infantil de 4 ft por 4 ft, medida a intervalos de 1 ft, se indica en la siguiente tabla.

Estime el volumen de agua de la piscina mediante una suma de Riemann con $m = n = 2 .$ Seleccione los puntos de muestra utilizando la regla del punto medio en $R = [0, 4] \times [0, 4] .$
Aproxime la profundidad media de la piscina.

y

x 0 1 2 3 4

0 1 1,5 2 2,5 3

1 1 1,5 2 2,5 3

2 1 1,5 1,5 2,5 3

3 1 1 1,5 2 2,5

4 1 1 1 1,5 2

En la siguiente tabla se da la profundidad de un agujero de 3 ft por 3 ft en el suelo, medido a intervalos de 1 ft.

Estime el volumen del agujero mediante una suma de Riemann con $m = n n = 3$ y que los puntos de la muestra sean las esquinas superiores izquierdas de los subcuadrados de R.
Aproxime la profundidad media del agujero.

y

x 0 1 2 3

0 6 6,5 6,4 6

1 6,5 7 7,5 6,5

2 6,5 6,7 6,5 6

3 6 6,5 5 5,6

Las curvas de nivel $f (x, y) = k$ de la función f se dan en el siguiente gráfico, donde k es una constante.

Aplique la regla del punto medio con $m = n = 2$ para estimar la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A,$ donde $R = [0,2, 1] \times [0, 0,8] .$
Estime el valor medio de la función f en R.

10.

Las curvas de nivel $f (x, y) = k$ de la función f se dan en el siguiente gráfico, donde k es una constante.

Aplique la regla del punto medio con $m = n = 2$ para estimar la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A,$ donde $R = [0,1, 0,5] \times [0,1, 0,5] .$
Estime el valor medio de la función f en R.

11.

El sólido que se encuentra debajo de la superficie $z = \sqrt{4 - y^{2}}$ y por encima de la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 2]$ se ilustra en el siguiente gráfico. Evalúe la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A,$ donde $f (x, y) = \sqrt{4 - y^{2}},$ al calcular el volumen del sólido correspondiente.

Un cuarto de cilindro con centro en el eje x y con radio 2. Tiene una altura 2 como se muestra.

12.

El sólido que se encuentra debajo del plano $z = y + 4$ y por encima de la región rectangular $R = [0, 2] \times [0, 4]$ se ilustra en el siguiente gráfico. Evalúe la integral doble $\iint_{R} f (x, y) d A,$ donde $f (x, y) = y + 4,$ al calcular el volumen del sólido correspondiente.

En el espacio xyz, se crea una forma con lados dados por y = 0, x = 0, y = 4, x = 2, z = 0, y el plano que va desde z = 4 a lo largo del eje y hasta z = 8 a lo largo del plano formado por y = 4.

En los siguientes ejercicios, calcule las integrales intercambiando el orden de integración.

13.

$\int_{–1}^{1} (\int_{−2}^{2} (2 x + 3 y + 5) d x) d y$

14.

$\int_{0}^{2} (\int_{0}^{1} (x + 2 e^{y} - 3) d x) d y$

15.

$\int_{1}^{27} (\int_{1}^{2} (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) d y) d x$

16.

$\int_{1}^{16} (\int_{1}^{8} (\sqrt[4]{x} + 2 \sqrt[3]{y}) d y) d x$

17.

$\int_{ln 2}^{ln 3} (\int_{0}^{l} e^{x + y} d y) d x$

18.

$\int_{0}^{2} (\int_{0}^{1} 3^{x + y} d y) d x$

19.

$\int_{1}^{6} (\int_{2}^{9} \frac{\sqrt{y}}{x^{2}} d y) d x$

20.

$\int_{1}^{9} (\int_{4}^{2} \frac{\sqrt{x}}{y^{2}} d y) d x$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales iteradas eligiendo el orden de integración.

21.

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{π / 2} sen (2 x) cos (3 y) d x d y$

22.

$\int_{π / 12}^{π / 8} \int_{π / 4}^{π / 3} [cot x + tan (2 y)] d x d y$

23.

$\int_{1}^{e} \int_{1}^{e} [\frac{1}{x} sen (ln x) + \frac{1}{y} cos (ln y)] d x d y$

24.

$\int_{1}^{e} \int_{1}^{e} \frac{sen (ln x) cos (ln y)}{x y} d x d y$

25.

$\int_{1}^{2} \int_{1}^{2} (\frac{ln y}{x} + \frac{x}{2 y + 1}) d y d x$

26.

$\int_{1}^{e} \int_{1}^{2} x^{2} ln (x) d y d x$

27.

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \int_{1}^{2} y arctan (\frac{1}{x}) d y d x$

28.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 / 2} (arcsen x + arcsen y) d y d x$

29.

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} x e^{x + 4 y} d y d x$

30.

$\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x e^{x - y} d y d x$

31.

$\int_{1}^{e} \int_{1}^{e} (\frac{ln y}{\sqrt{y}} + \frac{ln x}{\sqrt{x}}) d y d x$

32.

$\int_{1}^{e} \int_{1}^{e} (\frac{x ln y}{\sqrt{y}} + \frac{y ln x}{\sqrt{x}}) d y d x$

33.

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}) d y d x$

34.

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \frac{y}{x + y^{2}} d y d x$

En los siguientes ejercicios, calcule el valor medio de la función sobre los rectángulos dados.

35.

$f (x, y) = − x + 2 y,$ $R = [0, 1] \times [0, 1]$

36.

$f (x, y) = x^{4} + 2 y^{3},$ $R = [1, 2] \times [2, 3]$

37.

$f (x, y) = senoh x + senoh y,$ $R = [0, 1] \times [0, 2]$

38.

$f (x, y) = arctan (x y),$ $R = [0, 1] \times [0, 1]$

39.

Supongamos que f y g son dos funciones continuas tales que $0 \leq m_{1} \leq f (x) \leq M_{1}$ para cualquier $x \in [a, b]$ y $0 \leq m_{2} \leq g (y) \leq M_{2}$ para cualquier $y \in [c, d] .$ Demuestre que la siguiente desigualdad es verdadera:

$m_{1} m_{2} (b - a) (c - d) \leq \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x) g (y) d y d x \leq M_{1} M_{2} (b - a) (c - d) .$

En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad v. de las integrales dobles y la respuesta del ejercicio anterior para demostrar que las siguientes inecuaciones son verdaderas.

40.

$\frac{1}{e^{2}} \leq \iint_{R} e^{– x^{2} - y^{2}} d A \leq 1,$ donde $R = [0, 1] \times [0, 1]$

41.

$\frac{π^{2}}{144} \leq \iint_{R} sen x cos y d A \leq \frac{π^{2}}{48},$ donde $R = [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}] \times [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$

42.

$0 \leq \iint_{R} e^{− y} cos x d A \leq {(\frac{π}{2})}^{2},$ donde $R = [0, \frac{π}{2}] \times [0, \frac{π}{2}]$

43.

$0 \leq \iint_{R} (ln x) (ln y) d A \leq {(e - 1)}^{2},$ donde $R = [1, e] \times [1, e]$

44.

$(m_{1} + m_{2}) (b - a) (c - d) \leq \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} [f (x) + g (y)] d y d x \leq (M_{1} + M_{2}) (b - a) (c - d) .$

En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad v. de las integrales dobles y la respuesta del ejercicio anterior para demostrar que las siguientes inecuaciones son verdaderas.

45.

$\frac{2}{e} \leq \iint_{R} (e^{– x^{2}} + e^{− y^{2}}) d A \leq 2,$ donde $R = [0, 1] \times [0, 1]$

46.

$\frac{π^{2}}{36} \leq \iint_{R} (sen x + cos y) d A \leq \frac{π^{2} \sqrt{3}}{36},$ donde $R = [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}] \times [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$

47.

$\frac{π}{2} e^{− π / 2} \leq \iint_{R} (cos x + e^{− y}) d A \leq π,$ donde $R = [0, \frac{π}{2}] \times [0, \frac{π}{2}]$

48.

$\frac{1}{e} \leq \iint_{R} (e^{− y} - ln x) d A \leq 2,$ donde $R = [0, 1] \times [0, 1]$

En los siguientes ejercicios, la función f está dada en términos de integrales dobles.

Determine la forma explícita de la función f.
Calcule el volumen del sólido bajo la superficie $z = f (x, y)$ y por encima de la región R.
Calcule el valor medio de la función f en R.
Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para trazar $z = f (x, y)$ y $z = f_{ave}$ en el mismo sistema de coordenadas.

49.

[T] $f (x, y) = \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} (x s + y t) d s d t,$ donde $(x, y) \in R = [0, 1] \times [0, 1]$

50.

[T] $f (x, y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} [cos (s) + cos (t)] d t d s,$ donde $(x, y) \in R = [0, 3] \times [0, 3]$

51.

Demuestre que si f y g son continuas en $[a, b]$ y $[c, d],$ respectivamente, entonces

$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} [f (x) + g (y)] d y d x = (d - c) \int_{a}^{b} f (x) d x$

$+ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} g (y) d y d x = (b - a) \int_{c}^{d} g (y) d y + \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x) d x d y .$

52.

Demuestre que $\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} y f (x) + x g (y) d y d x = \frac{1}{2} (d^{2} - c^{2}) (\int_{a}^{b} f (x) d x) + \frac{1}{2} (b^{2} - a^{2}) (\int_{c}^{d} g (y) d y) .$

53.

[T] Considere la función $f (x, y) = e^{– x^{2} - y^{2}},$ donde $(x, y) \in R = [−1, 1] \times [−1, 1] .$

Utilice la regla del punto medio con $m = n = 2, 4,…, 10$ para estimar la integral doble $I = \iint_{R} e^{– x^{2} - y^{2}} d A .$ Redondee sus respuestas a las centésimas más cercanas.
Para $m = n = 2,$ calcule el valor medio de f sobre la región R. Redondee su respuesta a las centésimas más cercanas.
Utilice un CAS para graficar en el mismo sistema de coordenadas el sólido cuyo volumen está dado por $\iint_{R} e^{– x^{2} - y^{2}} d A$ y el plano $z = f_{ave} .$

54.

[T] Considere la función $f (x, y) = sen (x^{2}) cos (y^{2}),$ donde $(x, y) \in R = [−1, 1] \times [−1, 1] .$

Utilice la regla del punto medio con $m = n = 2, 4,…, 10$ para estimar la integral doble $I = \iint_{R} sen (x^{2}) cos (y^{2}) d A .$ Redondee sus respuestas a las centésimas más cercanas.
Para $m = n = 2,$ calcule el valor medio de f sobre la región R. Redondee su respuesta a las centésimas más cercanas.
Utilice un CAS para graficar en el mismo sistema de coordenadas el sólido cuyo volumen está dado por $\iint_{R} sen (x^{2}) cos (y^{2}) d A$ y el plano $z = f_{ave} .$

En los siguientes ejercicios, las funciones $f_{n}$ están dadas, donde $n \geq 1$ es un número natural.

Calcule el volumen de los sólidos $S_{n}$ debajo de las superficies $z = f_{n} (x, y)$ y por encima de la región R.
Determinar el límite de los volúmenes de los sólidos $S_{n}$ a medida que n aumenta sin límite.

55.

$f (x, y) = x^{n} + y^{n} + x y, (x, y) \in R = [0, 1] \times [0, 1]$

56.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{n}} + \frac{1}{y^{n}}, (x, y) \in R = [1, 2] \times [1, 2]$

57.

Demuestre que el valor medio de una función f en una región rectangular $R = [a, b] \times [c, d]$ es $f_{ave} \approx \frac{1}{m n} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}),$ donde $(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*})$ son los puntos de muestra de la partición de R, donde $1 \leq i \leq m$ y $1 \leq j \leq n .$

58.

Utilice la regla del punto medio con $m = n$ para demostrar que el valor medio de una función f en una región rectangular $R = [a, b] \times [c, d]$ se aproxima por

f_{ave} \approx \frac{1}{n^{2}} \sum_{i, j = 1}^{n} f (\frac{1}{2} (x_{i - 1} + x_{i}), \frac{1}{2} (y_{j - 1} + y_{j})) .

59.

Un mapa de isotermas es un gráfico que conecta los puntos que tienen la misma temperatura en un momento dado durante un periodo determinado. Utilice el ejercicio anterior y aplique la regla del punto medio con $m = n = 2$ para hallar la temperatura media en la región indicada en la siguiente figura.

Unas líneas de contorno que muestran la temperatura de la superficie en grados Fahrenheit. Dado el mapa, la regla del punto medio daría rectángulos con valores 71, 72, 40 y 43.

	y
x	0	1	2	3	4
0	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1,5	2	2,5	3
2	1	1,5	1,5	2,5	3
3	1	1	1,5	2	2,5
4	1	1	1	1,5	2

	y
x	0	1	2	3
0	6	6,5	6,4	6
1	6,5	7	7,5	6,5
2	6,5	6,7	6,5	6
3	6	6,5	5	5,6