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La distribución normal estándar

6.1 La distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica.

La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = x–μ σ x–μ σ produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ. La puntuación zindica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media.

Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z para una determinada x es:

z= x – μ σ z= x – μ σ

La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ. Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.

Ejemplo 6.1

Supongamos que X ~ N(5, 6). Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces:

z= x–μ σ = 17–5 6 =2 z= x–μ σ = 17–5 6 =2

Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2σ) por encima o a la derecha de la media μ = 5.

Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x–μ σ x–μ σ = 1–5 6 1–5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales)

Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67σ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5

La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
  • Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
  • Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.
Esta curva de frecuencia ilustra la regla empírica. La curva normal se muestra sobre un eje horizontal. El eje está marcado con los puntos –3s, –2s, –1s, m, 1s, 2s, 3s. Las líneas verticales conectan el eje con la curva en cada punto identificado. El pico de la curva se alinea con el punto m.
Figura 6.3

Ejemplo 6.2

Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.

  • Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1σ = (–1)(6) = –6 y 1σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
  • Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2σ = (–2)(6) = –12 y 2σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
  • Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3σ = (–3)(6) = –18 y 3σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.