11.5 Prueba de homogeneidad
La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.
Nota
El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba.
Hipótesis
H0: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales.
Ha: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.
Estadístico de pruebaUtilice un estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.
Grados de libertad (df)df = número de columnas – 1
RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.
Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.
Ejemplo 11.11
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¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la Tabla 11.18. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas?
| Dormitorio | Apartamento | Con los padres | Otra | |
| Hombres | 72 | 84 | 49 | 45 |
| Mujeres | 91 | 86 | 88 | 35 |
Solución
H0: La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias.
Ha: La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias.
Grados de libertad (df):
df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3
Distribución de la prueba:
Calcule el estadístico de prueba: = 10,129
El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con tres grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 7,815. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ2 de 10,129. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.
Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H0. Esto significa que las distribuciones no son iguales.
Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales.
Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias.
Inténtelo 11.11
¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la Tabla 11.19. ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05.
| Deporte | Sedán | Utilitario | Camioneta | Van/suv | |
|---|---|---|---|---|---|
| Familia | 5 | 15 | 35 | 17 | 28 |
| Sencillo | 45 | 65 | 37 | 46 | 7 |
Inténtelo 11.11
Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la Tabla 11.20 se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada.
| Tipo de solicitud aceptada | Brown | Columbia | Cornell | Dartmouth | Penn | Yale |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Regular | 2.115 | 1.792 | 5.306 | 1.734 | 2.685 | 1.245 |
| Decisión anticipada | 577 | 627 | 1.228 | 444 | 1.195 | 761 |
Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de prueba, dibuje el gráfico de la distribución χ2 y muestre el valor crítico y el valor calculado del estadístico de prueba, y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad.