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La distribución uniforme

5.2 La distribución uniforme

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos.

El enunciado matemático de la distribución uniforme es

f(x) = 1 b–a 1 b–a para a ≤ x ≤ b

donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x.

Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son

μ= a+b 2 μ= a+b 2 y σ= (b–a) 2 12 σ= (b–a) 2 12

Inténtelo

Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b. Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica.

1 12 4 10 4 14 11
7 11 4 13 2 4 6
3 10 0 12 6 9 10
5 13 4 10 14 12 11
6 10 11 0 11 13 2
Tabla 5.1

Ejemplo 5.2

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive.

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a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos?

Solución

a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U(0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f (x) = 1 15 – 0 1 15 – 0 = 1 15 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15.

Calcule P (x < 12,5). Dibuje un gráfico.

P(x<k)=(base)(altura)=(12,5–0)( 1 15 )=0,8333 P(x<k)=(base)(altura)=(12,5–0)( 1 15 )=0,8333

La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333.

Esto muestra el gráfico de la función f(x) = 1/15. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/15) hasta el punto (15, 1/15). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (15, 1/15) y crea un rectángulo. En el interior del rectángulo se sombrea una región desde x = 0 hasta x = 12,5.
Figura 5.11

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b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ, y la desviación típica, σ.

Solución

b. μ = a + b 2 a + b 2 = 15 + 0 2 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos.

σ = (b–a)2 12 = (15–0)2 12 (b–a)2 12= (15–0)2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos.

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c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces?

NOTA

Esto pide calcular el percentil 90.

Solución

c. Calcule el percentil 90. Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90.

P(x<k)=(base)(altura)=(k–0)( 1 15 ) P(x<k)=(base)(altura)=(k–0)( 1 15 )

0,90=( k )( 1 15 ) 0,90=( k )( 1 15 )

k=(0,90)(15)=13,5 k=(0,90)(15)=13,5

El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos.

gráfico de f(X) = 1/15 que muestra una región delimitada que consiste en una línea horizontal que se extiende hacia la derecha desde el punto 1/15 en el eje y, una línea vertical ascendente desde un punto arbitrario en el eje x y los ejes x y y. Dentro de esta zona hay una región sombreada donde ocurren los puntos 0-k. El área de esta región de probabilidad es igual a 0,90.
Figura 5.12

Inténtelo 5.2

La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive.

  1. Calcule a y b y describa lo que representan.
  2. Escriba la distribución.
  3. Calcule la media y la desviación típica.
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas?