Supongamos que A = una infracción por exceso de velocidad en el último año y B = un usuario de teléfono móvil mientras conduce. Si A y B son independientes, entonces P(A $\cap$ B) = P(A)P(B). A $\cap$ B es el caso de que un conductor recibiera una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también utilizara un teléfono móvil mientras conducía. Supongamos que se encuestaron 755 personas en un estudio sobre conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad durante el año pasado que usaron el teléfono móvil mientras conducían. De los 755, 70 tenían una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaba el teléfono móvil mientras conducían y 450 no.

Supongamos que y = número esperado de conductores que usaron un teléfono móvil mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad.

Si A y B son independientes, entonces P(A $\cap$ B) = P(A)P(B). Por sustitución,

$$\frac{y}{755}=\left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right)$$

Resuelva para y: y = $\frac{(70)(305)}{755}=\mathrm{28,3}$

Se espera que unas 28 personas de la muestra usen teléfonos móviles mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad.

En una prueba de independencia planteamos las hipótesis nula y alternativa con palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores, la hipótesis nula afirma que los factores son independientes y la hipótesis alternativa afirma que no son independientes (dependientes). Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es:

$H_0$: Ser usuario de un teléfono móvil mientras se conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son hechos independientes; en otras palabras, no tienen ningún efecto entre sí.

Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que unas 28 personas usaran el móvil mientras conducen y recibieran una infracción por exceso de velocidad.

La prueba de independencia es siempre de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están cerca, entonces el estadístico de prueba es muy grande y se encuentra en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, al igual que en una bondad de ajuste.

El número de grados de libertad para la prueba de independencia es:

df = (número de columnas – 1)(número de filas – 1)

La siguiente fórmula calcula el número esperado (E):

$$E=\frac{\text{(total de filas)(total de columnas)}}{\text{número total de encuestados}}$$

Un grupo de voluntarios dedica de una a nueve horas cada semana a personas mayores con discapacidades. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes de institutos universitarios de cuatro años y no estudiantes. En la Tabla 11.14 se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que ofrecen a la semana.

Translation missing: es.problem

¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?

Solución

La tabla observada y la pregunta al final del problema: “¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?”, le indican que se trata de una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario. Esta prueba es siempre de cola derecha.

H₀: El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario.

H_a: El número de horas de voluntariado depende del tipo de voluntario.

Los resultados esperados están en la Tabla 11.15.

Tipo de voluntario	de 1 a 3 horas	de 4 a 6 horas	de 7 a 9 horas
Estudiantes de colegios comunitarios	90,57	115,19	49,24
Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años	103,00	131,00	56,00
No estudiantes	104,42	132,81	56,77

Tabla 11.15 Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (previsto) La tabla contiene los valores (datos) esperados (E).

Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es

$$E=\frac{(\text{total de la fila})(\text{total de la columna})}{\text{número total de encuestados}}=\frac{\left(255\right)\left(298\right)}{839}=\mathrm{90,57}$$

Calcule el estadístico de prueba: χ² = 12,99 (calculadora o computadora)

Distribución para la prueba: ${\chi }_4^2$

df = (3 columnas – 1)(3 filas – 1) = (2)(2) = 4

Gráfico:

Figura 11.8

El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 9,488. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba ${\chi }_c^2$ de 12,99. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H₀. Esto significa que los factores no son independientes.

Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntariado dependen el uno del otro.

Para el ejemplo de la Tabla 11.15, de haber otro tipo de voluntarios, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad?

El De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 estudiantes realizó una prueba que medía el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. La Tabla 11.17 muestra los resultados. El De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela son eventos independientes.