Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes del idioma en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión.

Los diagramas de Venn deben su nombre a su inventor, John Venn, profesor de matemáticas en Cambridge y ministro anglicano. Su trabajo principal se llevó a cabo a finales de la década de 1870 y dio lugar a toda una rama de las matemáticas y a una nueva forma de abordar los problemas de lógica. Desarrollaremos las reglas de probabilidad que acabamos de abarcar utilizando esta poderosa forma de demostrar los postulados de la probabilidad, que incluye la regla de la adición, la regla de la multiplicación, la regla del complemento, la independencia y la probabilidad condicional.

Ejemplo 3.27

Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A interseca a B = $A\cap B=\text{{6}}$ y A unión B = $A\cup B=\text{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.}$. El diagrama de Venn es el siguiente:

Figura 3.6

La Figura 3.6 muestra la relación más básica entre estos números. En primer lugar, los números están en grupos llamados conjuntos; conjunto A y conjunto B. Algunos números están en ambos conjuntos; decimos que en el conjunto A $\cap$ en el conjunto B. La palabra “y” significa inclusivo, es decir, que tiene las características tanto de A como de B, o en este caso, que forma parte tanto de A como de B. Esta condición se llama INTERSECCIÓN de los dos conjuntos. Todos los miembros que forman parte de ambos conjuntos constituyen la intersección de los dos conjuntos. La intersección se escribe como $A\cap B$ donde $\cap$ es el símbolo matemático de la intersección. La afirmación $A\cap B$ se lee como "A interseca B". Puede recordarlo pensando en la intersección de dos calles.

También están los números que forman un grupo que, para ser miembro, el número debe estar en uno u otro grupo. El número no tiene que estar en AMBOS grupos, sino solamente en uno de los dos. Estos números se llaman la UNIÓN de los dos conjuntos y en este caso son los números 1-5 (de A exclusivamente), 7-9 (del conjunto B exclusivamente) y también el 6, que está en ambos conjuntos A y B. El símbolo de la UNIÓN es $\cup$, por lo tanto $A\cup B=$ los números 1-9, pero excluye los números 10, 11 y 12. Los valores 10, 11 y 12 forman parte del universo, pero no están en ninguno de los dos conjuntos.

Traducir la palabra “Y” al símbolo lógico matemático $\cap$, intersección, y la palabra "O" al símbolo matemático $\cup$, la unión, proporciona una forma muy precisa de discutir los temas de la probabilidad y la lógica. La terminología general de las tres áreas del diagrama de Venn en la Figura 3.6 se muestra en la Figura 3.7.

Ejemplo 3.28

Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = {TT, TH} y B = {TT, HT}. Por lo tanto, $A\cap B=\text{{TT}}$. $A\cup B=\text{{TH, TT, HT}}$.

El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = {HH, HT, TH, TT}. El resultado HH no es NI A NI B. El diagrama de Venn es el siguiente:

Figura 3.7

Ejemplo 3.29

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Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O.

Figura 3.8

El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–.

Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–.

1. P(O) = ___________
2. P(R) = ___________
3. $P(O\cap R)=$ ___________
4. $P(O\cup R)=$ ____________
5. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento.
6. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo.

Solución

a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–.

Ejemplo 3.30

El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial.

Figura 3.9

Si se selecciona un estudiante al azar, calcule

• la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P(C) = 0,40
• la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P(PT) = 0,50
• la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial $P(C\cap \mathrm{PT})=\mathrm{0,05}$
• la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. $P\text{(}C|PT\text{)}=\frac{P\text{(}C\cap PT\text{)}}{P\text{(}PT\text{)}}=\frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,50}}=\mathrm{0,1}$
• la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club o trabaje a tiempo parcial $P(C\cup \mathrm{PT})=P\left(C\right)+P\left(\mathrm{PT}\right)–P(C\cap \mathrm{PT})=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,50}–\mathrm{0,05}=\mathrm{0,85}$

Para resolver el Ejemplo 3.30 tuvimos que recurrir al concepto de probabilidad condicional de la sección anterior. Allí utilizamos diagramas de árbol para seguir los cambios en las probabilidades, porque el espacio muestral cambiaba a medida que dibujábamos sin reemplazo. En resumen, la probabilidad condicional es la posibilidad de que algo ocurra dado que algún otro evento ya ha ocurrido. Dicho de otro modo, la probabilidad de que algo ocurra condicionada a la situación de que otra cosa también sea cierta. En el Ejemplo 3.30 la probabilidad P(C$|$PT) es la probabilidad condicional de que el estudiante extraído al azar sea socio del club, condicionada al hecho de que el estudiante también trabaje a tiempo parcial. Esto nos permite ver la relación entre los diagramas de Venn y los postulados de probabilidad.

Ejemplo 3.31

Se observa un conjunto de 20 perros pastores alemanes. 12 son machos, 8 son hembras, 10 tienen alguna coloración marrón y 5 tienen algunas secciones blancas de pelaje. Responda lo siguiente utilizando los diagramas de Venn.

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Dibuje un diagrama de Venn que muestre simplemente los conjuntos de perros machos y hembras.

Solución

El siguiente diagrama de Venn demuestra la situación de eventos mutuamente excluyentes en la que los resultados son eventos independientes. Si un perro no puede ser a la vez macho y hembra, entonces no hay intersección. Ser macho excluye ser hembra y ser hembra excluye ser macho: en este caso, el sexo característico es, por tanto, mutuamente excluyente. Un diagrama de Venn muestra esto como dos conjuntos sin intersección. Se dice que la intersección es el conjunto nulo utilizando el símbolo matemático ∅.

Figura 3.10

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Dibuje un segundo diagrama de Venn que ilustre que 10 de los perros machos tienen coloración marrón.

Solución

El siguiente diagrama de Venn muestra la superposición entre macho y marrón en el que se coloca el número 10. Esto representa $\text{Macho}\cap \text{Marrón}$: macho y marrón. Es la intersección de estas dos características. La unión de macho y marrón, entonces es simplemente las dos áreas circuladas menos la superposición. En términos adecuados, $\text{Macho}\cup \text{Marrón}=\text{Macho}+\text{Marrón}–\text{Macho}\cap \text{Marrón}$ nos dará el número de perros en la unión de estos dos conjuntos. Si no restáramos la intersección, habríamos contado dos veces algunos de los perros.

Figura 3.11

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Ahora dibuje una situación que represente un escenario en el que la región no sombreada represente "Sin pelaje blanco y hembra", o pelaje blanco′ $\cap$ Hembra. El primo arriba de “pelaje" indica “sin pelaje blanco”. El primo por encima de un conjunto significa que no está en ese conjunto, por ejemplo $\mathrm{A}\prime$ significa que no $\mathrm{A}$. A veces, la notación utilizada es una línea por encima de la letra. Por ejemplo, $\overline{A}$ = $\mathrm{A}\prime$.

Solución

Figura 3.12

La regla de la suma de probabilidades

Antes conocimos la regla de la adición, pero sin la ayuda de los diagramas de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a visualizar el proceso de recuento inherente al cálculo de la probabilidad. Para reafirmar la regla de la suma de probabilidades:

$$P(A\cup B)=P\left(\mathrm{A}\right)+P\left(B\right)–P(A\cap B)$$

Recuerde que la probabilidad es simplemente la proporción de los objetos que nos interesan en relación con el número total de objetos. Por eso podemos ver la utilidad de los diagramas de Venn. El Ejemplo 3.31 muestra cómo podemos utilizar los diagramas de Venn para contar el número de perros en la unión de marrón y macho recordándonos que hay que restar la intersección de marrón y macho. Podemos ver el efecto de esto directamente en las probabilidades en la regla de adición.

Ejemplo 3.32

Tomemos una muestra de 50 estudiantes que están en una clase de estadística. 20 son de primer año y 30 de segundo. 15 estudiantes obtienen una "B" en el curso, y 5 estudiantes obtienen una "B" y son de primer año.

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Halle la probabilidad de seleccionar un estudiante que obtenga una "B" o que sea de primer año. Estamos traduciendo la palabra O el símbolo matemático de la regla de adición, que es la unión de los dos conjuntos.

Solución

Sabemos que hay 50 estudiantes en nuestra muestra, por lo que conocemos el denominador de nuestra fracción para darnos la probabilidad. Solo tenemos que hallar el número de estudiantes que cumplen las características que nos interesan, es decir, cualquier estudiante de primer año y cualquier estudiante que haya obtenido una calificación de "B". Con la regla de adición de la probabilidad, podemos pasar directamente a las probabilidades.

Supongamos que "A" = el número de estudiantes de primer año y "B" = la calificación de "B". A continuación, podemos ver el proceso para utilizar los diagramas de Venn para resolver esto.

La $P\left(A\right)=\frac{20}{50}=\mathrm{0,40}$, $P\left(B\right)=\frac{15}{50}=\mathrm{0,30}$ y $P(A\cap B)=\frac{5}{50}=\mathrm{0,10}$.

Por lo tanto, $P(A\cap B)=\mathrm{0,40}+\mathrm{0,30}–\mathrm{0,10}=\mathrm{0,60}$.

Figura 3.13

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, como en el ejemplo en el que diagramamos los perros macho y hembra, la regla de adición se simplifica a solo $P(A\cup B)=P\left(\mathrm{A}\right)+P\left(B\right)–0$. Esto es cierto porque, como vimos antes, la unión de eventos mutuamente excluyentes es el conjunto nulo, ∅. Los siguientes diagramas lo demuestran.

Figura 3.14

La regla de la multiplicación de la probabilidad

Reformulando la regla de multiplicación de la probabilidad utilizando la notación de los diagramas de Venn, tenemos:

$$P(A\cap B)=P\left(A\right|B)\cdot P(B)$$

La regla de la multiplicación puede modificarse con un poco de álgebra en la siguiente regla condicional. A continuación, se pueden utilizar diagramas de Venn para demostrar el proceso.

La regla condicional: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$

Utilizando los mismos datos del Ejemplo 3.32 de arriba, halle la probabilidad de que alguien obtenga una "B" si es un "novato".

$$P(A|B)=\frac{\mathrm{0,10}}{\mathrm{0,30}}=\frac{1}{3}$$

Figura 3.15

La regla de multiplicación también debe modificarse si los dos eventos son independientes. Los eventos independientes se definen como una situación en la que la probabilidad condicional es simplemente la probabilidad del evento de interés. Formalmente, la independencia de los eventos se define como $P\left(A\right|B)=P(A)$ o $P\left(B\right|A)=P(B)$. Al lanzar monedas, el resultado de la segunda tirada es independiente del resultado de la primera; las monedas no tienen memoria. La regla de multiplicación de la probabilidad para eventos independientes pasa a ser:

$$P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$$

Una forma fácil de recordar esto es considerar lo que queremos decir con la palabra "y". Vemos que la regla de multiplicación ha traducido la palabra "y" a la notación Venn para intersección. Por lo tanto, el resultado debe cumplir las dos condiciones de primer año y nota de "B" en el ejemplo anterior. Es más difícil, menos probable, cumplir dos condiciones que una sola o alguna otra. Podemos intentar ver la lógica de la regla de la multiplicación de la probabilidad debido a que las fracciones multiplicadas entre sí se hacen más pequeñas.

El desarrollo de las reglas de la probabilidad con el uso de los diagramas de Venn puede mostrarse como una ayuda al querer calcular probabilidades a partir de datos dispuestos en una tabla de contingencia.

Ejemplo 3.33

La Tabla 3.11 es de una muestra de 200 personas a las que se les preguntó por su nivel de estudios. Las columnas representan la educación más alta que completaron y las filas separan a los individuos por hombres y mujeres.

	Menos de un grado de escuela secundaria	Graduado de la escuela secundaria	Algunos años de educación universitaria	Graduado universitario	Total
Hombres	5	15	40	60	120
Mujeres	8	12	30	30	80
Total	13	27	70	90	200

Tabla 3.11

Ahora, podemos utilizar esta tabla para responder a preguntas de probabilidad. Los siguientes ejemplos están diseñados para ayudar a entender el formato anterior, al tiempo que conectan los conocimientos con los diagramas de Venn y las reglas de probabilidad.

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¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya terminado la universidad y sea mujer?

Solución

Se trata de una tarea sencilla que consiste en hallar el valor en el que se cruzan las dos características en la tabla y, a continuación, aplicar el postulado de la probabilidad, que establece que la probabilidad de un evento es la proporción de resultados que coinciden con el evento en el que estamos interesados como proporción de todos los resultados posibles totales.

P(graduado universitario $\cap$ mujer) = $\frac{30}{200}=\mathrm{0,15}$

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¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una mujer o a alguien que haya terminado la universidad?

Solución

Esta tarea implica el uso de la regla de la suma para resolver esta probabilidad.

P(graduado universitario $\cup$ Mujer) = P(F) + P(CG)- P(F $\cap$ CG)

P(graduado universitario $\cup$ mujer) = $\frac{80}{200}+\frac{90}{200}–\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=\mathrm{0,70}$

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¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un graduado de secundaria si solo seleccionamos del grupo de hombres?

Solución

Aquí debemos utilizar la regla de la probabilidad condicional (la regla de la multiplicación modificada) para resolver esta probabilidad.

P(Graduación escuela secundaria $|$ Hombre = $\frac{P(\text{Graduado de escuela secundaria}\cap \text{Hombres})}{\text{P}\left(\text{Hombres}\right)}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=\mathrm{0,125}$

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¿Podemos concluir que el nivel de educación alcanzado por estas 200 personas es independiente del sexo de la persona?

Solución

Hay dos maneras de abordar esta prueba. El primer método trata de comprobar si la intersección de dos eventos es igual al producto de los eventos por separado recordando que si dos eventos son independientes entonces P(A)*P(B) = P(A $\cap$ B). Para simplificar, podemos utilizar los valores calculados anteriormente.

¿P(Graduado universitario) $\cap$ Mujer) = P(Graduado universitario) ⋅ P(M)?

$\frac{30}{200}\ne \frac{90}{200}\cdot \frac{80}{200}$ porque 0,15 ≠ 0,18.

Por lo tanto, aquí el sexo y la educación no son independientes.

El segundo método consiste en comprobar si la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A. De nuevo, para simplificar, podemos utilizar un valor ya calculado anteriormente.

¿P(Graduado de escuela secundaria $|$ Hombre) = P(Graduado de escuela secundaria)?

$\frac{15}{120}\ne \frac{27}{200}$porque 0,125 ≠ 0,135.

Por lo tanto, de nuevo el sexo y la educación no son independientes.