Volúmenes de revolución: capas cilíndricas

6.3 Volúmenes de revolución: capas cilíndricas

Objetivos de aprendizaje

6.3.1 Calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de las capas cilíndricas.
6.3.2 Comparar los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución.

En esta sección, examinaremos el método de las capas cilíndricas, el último método para hallar el volumen de un sólido de revolución. Podemos utilizar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos del disco y de las arandelas, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de las capas cilíndricas, integramos el eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La posibilidad de elegir qué variable de integración utilizaremos puede ser una ventaja importante con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido, a veces, hace que el método de las capas cilíndricas sea más atractivo de usar que el método de las arandelas. En la última parte de esta sección, repasaremos todos los métodos para hallar el volumen que hemos estudiado y establecemos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método debe utilizar en una situación determinada.

El método de las capas cilíndricas

De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región $R,$ delimitada por encima del gráfico de una función $y = f (x),$ abajo por el eje $x −eje,$ y a la izquierda y derecha por las líneas $x = a$ y $x = b,$ respectivamente, como se muestra en la Figura 6.25(a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y, como se muestra en la Figura 6.25(b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de $x$ giraban en torno al eje $x$ o a una línea paralela a él.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es una curva creciente en el primer cuadrante. La curva se denomina "y=f(x)". La curva comienza en el eje y en y = a. Debajo de la curva, sobre el eje x, hay una región sombreada denominada "R". La región sombreada está limitada a la derecha por la línea x = b. El segundo gráfico es un sólido tridimensional. Se ha creado girando la región sombreada de "a" alrededor del eje y.

Figura 6.25 (a) Región delimitada por el gráfico de una función de

x .

b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del

y .

Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo $[a, b]$ utilizando una partición normal, $P = {x_{0}, x_{1},…, x_{n}}$ y, para $i = 1, 2,…, n,$ elija un punto $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ de altura $f (x_{i}^{*})$ y la anchura $Δ x .$ En la Figura 6.26(a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y, en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una capa cilíndrica, hueca en el centro. Tiene un eje vertical en el centro. También hay una curva que se une a la parte superior del cilindro. La segunda imagen es un conjunto de cilindros concéntricos, uno dentro de otro formando un anidamiento de cilindros.

Figura 6.26 (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del

y,

el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original.

Para calcular el volumen de esta capa, considere la Figura 6.27.

Esta figura es un gráfico en el primer cuadrante. La curva es creciente y está marcada como "y=f(x)". La curva comienza en el eje y en f(x*). Debajo de la curva hay un rectángulo sombreado. El rectángulo comienza en el eje x. La anchura del rectángulo es delta x. Los dos lados del rectángulo se denominan "xsub(i-1)" y "xsubi".

Figura 6.27 Calcular el volumen de la capa.

La capa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anulares (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior $x_{i}$ y radio interior $x_{i - 1} .$ Por lo tanto, el área de la sección transversal es $π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2} .$ La altura del cilindro es $f (x_{i}^{*}) .$ Entonces el volumen de la capa es

\begin{matrix} V_{capa} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Tenga en cuenta que $x_{i} - x_{i - 1} = Δ x,$ por lo que tenemos

V_{capa} = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) Δ x .

Además, $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ es a la vez el punto medio del intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ y el radio medio de la capa, y podemos aproximar esto por $x_{i}^{*} .$ Entonces tenemos

V_{capa} \approx 2 π f (x_{i}^{*}) x_{i}^{*} Δ x .

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana (Figura 6.28).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera está marcada como "a" y es un cilindro hueco alrededor del eje y. En la parte delantera de este cilindro hay una línea vertical denominada "línea de corte". La altura del cilindro es "y=f(x)". La segunda figura se denomina "b" y es un bloque rectangular sombreado. La altura del rectángulo es "f(x*), la anchura del rectángulo es "2pix*", y el grosor del rectángulo es "delta x".

Figura 6.28 (a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana.

En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura $f (x_{i}^{*}),$ anchura $2 π x_{i}^{*},$ y espesor $Δ x$ (Figura 6.28). El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos

V_{capa} \approx f (x_{i}^{*}) (2 π x_{i}^{*}) Δ x,

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos

V \approx \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) .

Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función $2 π x f (x) .$ Tomando el límite como $n \to \infty$ nos da

V = \underset{n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas.

Regla: el método de las capas cilíndricas

Supongamos que $f (x)$ es continua y no negativa. Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x),$ abajo por el eje $x,$ a la izquierda por la línea $x = a,$ y a la derecha por la línea $x = b .$ Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ en torno al eje y viene dado por

V = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

(6.6)

Veamos un ejemplo.

Ejemplo 6.12

El método de las capas cilíndricas 1

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = 1 / x$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[1, 3] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $y .$

Solución

Primero debemos graficar la región $R$ y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene tres imágenes. El primero es un sólido que se ha formado girando la curva y = 1/x alrededor del eje y. El sólido comienza en el eje x y se detiene donde y = 1. La segunda imagen está marcada como "a" y es el gráfico de y=1/x en el primer cuadrante. Debajo de la curva hay una región sombreada denominada "R". La región está delimitada por la curva, el eje x, a la izquierda en x = 1 y a la derecha en x = 3. La tercera imagen está marcada como "b" y es la mitad del sólido formado por la rotación de la región sombreada alrededor del eje y.

Figura 6.29 (a) La región

R

bajo el gráfico de

f (x) = 1 / x

en el intervalo

[1, 3] .

(b) El sólido de revolución que se genera al girar

R

alrededor del eje

y .

Entonces el volumen del sólido viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{1}^{3} (2 π x (\frac{1}{x})) d x \\ = \int_{1}^{3} 2 π d x = {2 π x |}_{1}^{3} = 4 π {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 6.12

Definamos R como la región delimitada por el gráfico de $f (x) = x^{2}$ y abajo por el eje x en el intervalo $[1, 2] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $y .$

Ejemplo 6.13

El método de las capas cilíndricas 2

Definamos R como la región delimitada por el gráfico de $f (x) = 2 x - x^{2}$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 2] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $y .$

Solución

Primer gráfico de la región $R$ y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es la curva f(x)=2x-x^2. Es una parábola invertida que interseca el eje x en el origen ant en x = 2. Debajo de la curva, la región del primer cuadrante está sombreada y está marcada como "R". La segunda figura es un gráfico de la misma curva. En el gráfico hay un sólido que se forma al girar la región de "a" sobre el eje y.

Figura 6.30 (a) La región

R

bajo el gráfico de

f (x) = 2 x - x^{2}

en el intervalo

[0, 2] .

b) El volumen de revolución obtenido al girar

R

alrededor del eje

y .

Entonces el volumen del sólido viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 π x (2 x - x^{2})) d x = 2 π \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}] |}_{0}^{2} = \frac{8 π}{3} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 6.13

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = 3 x - x^{2}$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 2] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $y .$

Al igual que con el método de los discos y el de las arandelas, también podemos aplicar el método de las capas cilíndricas a los sólidos de revolución que resultan, que giran alrededor del eje $x,$ cuando queremos integrar con respecto a $y .$ La regla análoga para este tipo de sólido se da aquí.

Regla: método de las capas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x

Supongamos que $g (y)$ es continua y no negativa. Defina $Q$ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de $g (y),$ a la izquierda por el eje $y,$ abajo por la línea $y = c,$ y arriba por la línea $y = d .$ Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $Q$ alrededor del eje $x$ viene dada por

V = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y .

Ejemplo 6.14

Método de las capas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x

Defina $Q$ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de $g (y) = 2 \sqrt{y}$ y a la izquierda por el eje $y$ por $y \in [0, 4] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $Q$ alrededor del eje de la x.

Solución

En primer lugar, debemos graficar la región $Q$ y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y es la curva g(y)=2raíz cuadrada(y). Es una curva creciente en el primer cuadrante que comienza en el origen. Entre el eje y y la curva, hay una región sombreada denominada "Q". La región sombreada está limitada arriba por la línea y = 4. El segundo gráfico es la misma curva en "a" y marcada como "b". También tiene una región sólida que se ha formado girando la curva en "a" alrededor del eje x. El sólido comienza en el eje y y se detiene en x = 4.

Figura 6.31 (a) La región

Q

a la izquierda de la función

g (y)

en el intervalo

[0, 4] .

(b) El sólido de revolución que se genera al girar

Q

alrededor del eje

x .

Rotule la región sombreada $Q .$ Entonces el volumen del sólido viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y \\ = \int_{0}^{4} (2 π y (2 \sqrt{y})) d y = 4 π \int_{0}^{4} y^{3 / 2} d y \\ = {4 π [\frac{2 y^{5 / 2}}{5}] |}_{0}^{4} = \frac{256 π}{5} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 6.14

Defina $Q$ como la región delimitada a la derecha por el gráfico de $g (y) = 3 / y$ y a la izquierda por el eje $y$ por $y \in [1, 3] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $Q$ alrededor del eje $x .$

En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución para el que el gráfico de una función gira en torno a una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Para ello, es necesario volver a examinar el desarrollo del método de las capas cilíndricas. Recordemos que el volumen de una de las capas viene dado por

\begin{matrix} V_{capa} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Esto se basó en una capa con un radio exterior de $x_{i}$ y un radio interior de $x_{i - 1} .$ Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje $y,$ tenemos un radio exterior e interior diferente. Supongamos, por ejemplo, que giramos la región alrededor de la línea $x = − k,$ donde $k$ es alguna constante positiva. Entonces, el radio exterior de la capa es $x_{i} + k$ y el radio interior es $x_{i - 1} + k .$ Sustituyendo estos términos en la expresión del volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea $x = − k,$ el volumen de una capa viene dado por

\begin{matrix} V_{capa} & = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{(x_{i} + k) + (x_{i - 1} + k)}{2}) ((x_{i} + k) - (x_{i - 1} + k)) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) ((\frac{x_{i} + x_{i - 2}}{2}) + k) Δ x . \end{matrix}

Como antes, observamos que $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ es el punto medio del intervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ y puede ser aproximado por $x_{i}^{*} .$ Entonces, el volumen aproximado de la capa es

V_{capa} \approx 2 π (x_{i}^{*} + k) f (x_{i}^{*}) Δ x .

El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que

V = \int_{a}^{b} (2 π (x + k) f (x)) d x .

También podríamos girar la región alrededor de otras rectas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. En concreto, el término $x$ en la integral debe sustituirse por una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona, analice el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.15

Región de revolución que gira en torno a una línea

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = x$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[1, 2] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor de la línea $x = −1 .$

Solución

En primer lugar, grafique la región $R$ y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico está marcado como "a" y es la línea f(x)=x, una línea diagonal que pasa por el origen. Hay una región sombreada por encima del eje x bajo la línea denominada "R". Esta región está limitada a la izquierda por la línea x = 1 y a la derecha por la línea x = 2. También está la línea vertical x = –1 en el gráfico. La segunda figura tiene los mismos gráficos que la "a" y está marcada como "b". En el gráfico también hay un sólido formado por la rotación de la región "R" del primer gráfico alrededor de la línea x = –1.

Figura 6.32 (a) La región

R

entre el gráfico de

f (x)

y la intersección en eje

x

en el intervalo

[1, 2] .

(b) El sólido de revolución que se genera al girar

R

alrededor de la línea

x = −1 .

Observe que el radio de una capa viene dado por $x + 1 .$ Entonces el volumen del sólido viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) f (x)) d x \\ = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) x) d x = 2 π \int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x \\ = {2 π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{23 π}{3} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 6.15

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = x^{2}$ y abajo por el eje $x$ en el intervalo $[0, 1] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor de la línea $x = –2 .$

En nuestro último ejemplo en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el que la región de revolución está limitada por los gráficos de dos funciones.

Ejemplo 6.16

Región de revolución limitada por los gráficos de dos funciones

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de la función $f (x) = \sqrt{x}$ y abajo por el gráfico de la función $g (x) = 1 / x$ en el intervalo $[1, 4] .$ Halle el volumen del sólido de revolución que se genera al girar $R$ alrededor del eje $y .$

Solución

En primer lugar, grafique la región $R$ y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura tiene dos gráficos. El primer gráfico se denomina "a" y tiene dos curvas. Las curvas son los gráficos de f(x)=raíz cuadrada(x) y g(x)=1/x. En el primer cuadrante las curvas se intersecan en (1,1). Entre las curvas del primer cuadrante hay una región sombreada denominada "R", limitada a la derecha por la línea x = 4. El segundo gráfico se denomina "b" y es el mismo que el de "a". También en este gráfico hay un sólido que se formó al girar la región "R" de la figura "a" alrededor del eje y.

Figura 6.33 (a) La región

R

entre el gráfico de

f (x)

y el gráfico de

g (x)

en el intervalo

[1, 4] .

(b) El sólido de revolución que se genera al girar

R

alrededor del eje

y .

Observe que el eje de revolución es el eje $y,$ por lo que el radio de una capa viene dado simplemente por $x .$ No necesitamos hacer ningún ajuste en el término xde nuestro integrando. Sin embargo, la altura de una capa viene dada por $f (x) - g (x),$ por lo que en este caso tenemos que ajustar el término $f (x)$ del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{4} (2 π x (f (x) - g (x))) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π x (\sqrt{x} - \frac{1}{x})) d x = 2 π \int_{1}^{4} (x^{3 / 2} - 1) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{5 / 2}}{5} - x] |}_{1}^{4} = \frac{94 π}{5} {al cuadrado}^{3} . \end{matrix}

Punto de control 6.16

Defina $R$ como la región delimitada arriba por el gráfico de $f (x) = x$ y abajo por el gráfico de $g (x) = x^{2}$ en el intervalo $[0, 1] .$ Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar $R$ alrededor del eje $y .$

¿Qué método debemos utilizar?

Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La Figura 6.34 describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje $x .$ Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje $y .$

Esta imagen de una tabla que compara los diferentes métodos para hallar los volúmenes de los sólidos de revolución. Las columnas de la tabla están marcadas como "comparación", "método de los discos", "método de las arandelas" y "método de las capas". Las filas están marcadas como "fórmula de volumen", "sólido", "intervalo para la partición", "rectángulos", "región típica" y "rectángulo". En la columna del método de los discos, la fórmula se da como la integral definida de a a b de pi por [f(x)]^2. El sólido no tiene cavidad en el centro, la partición es [a,b], los rectángulos son verticales, y la región típica es una región sombreada por encima del eje x y por debajo de la curva de f(x). En la columna del método de las arandelas, la fórmula se da como la integral definida de a a b de pi por [f(x)]^2-[g(x)]^2. El sólido tiene una cavidad en el centro, la partición es [a,b], los rectángulos son verticales, y la región típica es una región sombreada por encima de la curva de g(x) y por debajo de la curva de f(x). En la columna del método de la capa, la fórmula se da como la integral definida de c a d de 2pi por yg(y). El sólido tiene o no una cavidad en el centro, la partición es [c,d] los rectángulos son horizontales, y la región típica es una región sombreada por encima del eje x y por debajo de la curva de g(y).

Figura 6.34

Veamos un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos.

Ejemplo 6.17

Selección del mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje $x,$ y establezca la integral para encontrar el volumen (no evaluar la integral).

La región delimitada por los gráficos de $y = x,$ $y = 2 - x,$ y la intersección en $x .$
La región delimitada por los gráficos de $y = 4 x - x^{2}$ y el eje $x .$

Solución

En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Figura 6.35 (a) La región $R$ delimitado por dos rectas y el eje $x .$ (b) El sólido de revolución que se genera al girar $R$ alrededor del eje $x .$

Al observar la región, si queremos integrar con respecto a $x,$ tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región en $[0, 1]$ y $[1, 2] .$ En este caso, utilizando el método de los discos, tendríamos

$V = \int_{0}^{1} (π x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (π {(2 - x)}^{2}) d x .$

Si en vez de ello utilizáramos el método de las capas, usaríamos funciones de $y$ para representar las curvas, produciendo

$\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} (2 π y [(2 - y) - y]) d y \\ = \int_{0}^{1} (2 π y [2 - 2 y]) d y . \end{matrix}$

Ninguna de estas integrales es particularmente compleja, pero como el método de las capas requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, es probable que en este caso utilicemos el método de las capas.
En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Figura 6.36 (a) La región $R$ entre la curva y el eje $x .$ (b) El sólido de revolución que se genera al girar $R$ alrededor del eje $x .$

AL observar la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por lo tanto, podemos descartar el método de las capas. El sólido no tiene ninguna cavidad en el centro, por lo que podemos utilizar el método de los discos. Entonces

$V = \int_{0}^{4} π {(4 x - x^{2})}^{2} d x .$

Punto de control 6.17

Seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje $x,$ y establecer la integral para hallar el volumen (no evaluar la integral): la región limitada por los gráficos de $y = 2 - x^{2}$ y $y = x^{2} .$

Sección 6.3 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de las capas como el de las arandelas. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar un corte típico a mano.

114.

[T] Limitado por las curvas $y = 3 x, x = 0,$ y $y = 3$ girado alrededor del eje $y .$

115.

[T] Limitado por las curvas $y = 3 x, y = 0, y x = 3$ girado alrededor del eje $y .$

116.

[T] Limitado por las curvas $y = 3 x, y = 0, y y = 3$ girado alrededor del $x .$

117.

[T] Limitado por las curvas $y = 3 x, y = 0, y x = 3$ girado alrededor del $x .$

118.

[T] Limitado por las curvas $y = 2 x^{3}, y = 0, y x = 2$ girado alrededor del $y .$

119.

[T] Limitado por las curvas $y = 2 x^{3}, y = 0, y x = 2$ girado alrededor del $x .$

En los siguientes ejercicios, utilice las capas para calcular el volumen de los sólidos dados. Observe que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje $x$ y se giran alrededor del eje $y .$

120.

$y = 1 - x^{2}, x = 0, y x = 1$

121.

$y = 5 x^{3}, x = 0, y x = 1$

122.

$y = \frac{1}{x}, x = 1, y x = 100$

123.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, y x = 1$

124.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}, x = 0, y x = 3$

125.

$y = sen x^{2}, x = 0, y x = \sqrt{π}$

126.

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x = 0, y x = \frac{1}{2}$

127.

$y = \sqrt{x}, x = 0, y x = 1$

128.

$y = {(1 + x^{2})}^{3}, x = 0, y x = 1$

129.

$y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, y x = 2$

En los siguientes ejercicios, utilice las capas para hallar el volumen generado por la rotación de las regiones entre la curva dada y $y = 0$ alrededor del eje $x .$

130.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, x = 1$ y el eje x

131.

$y = x^{2}, x = 0, x = 2$ y el eje x

132.

$y = \frac{x^{3}}{2}, x = 0, x = 2,$ y el eje x

133.

$y = \frac{2}{x^{2}}, x = 1, x = 2,$ y el eje x

134.

$x = \frac{1}{1 + y^{2}}, y = 1, y y = 4$

135.

$x = \frac{1 + y^{2}}{y}, y = 1, y = 4,$ y el eje y

136.

$x = cos y, y = 0, y y = π$

137.

$x = y^{3} - 2 y^{2}, x = 0, x = 9,$ y el eje y

138.

$x = \sqrt{y} + 1, x = 1, x = 3,$ y el eje x

139.

$x = \sqrt[3]{27 y} y x = \frac{3 y}{4}$

En los siguientes ejercicios calcule el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado.

140.

$y = 3 - x, y = 0, x = 0, y x = 2$ girado alrededor del $y .$

141.

$y = x^{3}, x = 0, y y = 8$ girado alrededor del $y .$

142.

$y = x^{2}, y = x,$ girado alrededor del $y .$

143.

$y = \sqrt{x}, y = 0, y x = 1$ girado alrededor de la línea $x = 2 .$

144.

$y = \frac{1}{4 - x}, x = 1, x = 2 y y = 0$ girado alrededor de la línea $x = 4 .$

145.

$y = \sqrt{x} y y = x^{2}$ girado alrededor del $y .$

146.

$y = \sqrt{x} y y = x^{2}$ girado alrededor de la línea $x = 2 .$

147.

$x = y^{3}, x = \frac{1}{y}, x = 1, y x = 2$ girado alrededor del $x .$

148.

$x = y^{2} y y = x$ girado alrededor de la línea $y = 2 .$

149.

[T] A la izquierda de $x = sen (π y),$ derecha de $y = x,$ alrededor del eje $y .$

En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen que se genera cuando la función gira alrededor del eje especificado. A continuación, utilice el método que haya elegido para hallar el volumen.

150.

[T] $y = x^{2}$ y $y = 4 x$ girado alrededor del $y .$

151.

[T] $y = cos (π x), y = sen (π x), x = \frac{1}{4}, y x = \frac{5}{4}$ girado alrededor del $y .$ Este ejercicio requiere una técnica avanzada. Puede utilizar la tecnología para realizar la integración.

152.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, y x = 4$ girado alrededor del $y .$

153.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, y x = 4$ girado alrededor del $x .$

154.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, y x = 2$ girado alrededor del $x .$

155.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, y x = 2$ girado alrededor del $y .$

156.

[T] $x = sen (π y^{2})$ y $x = \sqrt{2} y$ girado alrededor del $x .$

157.

[T] $x = y^{2}, x = y^{2} - 2 y + 1, y x = 2$ girado alrededor del $y .$

En los siguientes ejercicios, utilice el método de las capas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que están representados en las figuras adjuntas.

158.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una esfera de radio $r .$

Esta figura tiene dos imágenes. El primero es un círculo de radio r. El segundo es un balón de baloncesto.

159.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cono de radio $r$ y altura $h .$

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un cono invertido de radio r y altura h. La segunda es un cono de helado.

160.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un elipsoide $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ girado alrededor del $x .$

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es una elipse donde a es la distancia horizontal desde el centro hasta el borde y b es la distancia vertical desde el centro hasta el borde superior. El segundo es una sandía.

161.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cilindro de radio $r$ y altura $h .$

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un cilindro de radio r y altura h. La segunda es una vela cilíndrica.

162.

Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una rosquilla que se crea cuando el círculo $x^{2} + y^{2} = 4$ se gira alrededor de la línea $x = 4 .$

Esta figura tiene dos imágenes. La primera tiene dos elipses, un dentro de la otra. El radio de la trayectoria entre ellas es de 2 unidades. El segundo es una rosquilla.

163.

Consideremos la región delimitada por los gráficos de $y = f (x), y = 1 + f (x), x = 0, y = 0,$ y $x = a > 0 .$ ¿Cuál es el volumen del sólido que se genera cuando esta región gira alrededor del eje $y ?$ Supongamos que la función se define en el intervalo $[0, a] .$

164.

Considere la función $y = f (x),$ que disminuye de $f (0) = b$ al $f (1) = 0 .$ Establezca las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método de las capas como el de los discos, del sólido generado cuando esta región, con $x = 0$ y $y = 0,$ se gira alrededor del $y .$ Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? (Pista: Dado que $f (x)$ es biunívoca, existe un inverso $f^{−1} (y) .)$