La regla de la cadena - Cálculo volumen 1

3.6 La regla de la cadena

Objetivos de aprendizaje

3.6.1 Indique la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
3.6.2 Aplique la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.
3.6.3 Aplique correctamente la regla de la cadena y las reglas del producto/cociente en combinación cuando ambas son necesarias.
3.6.4 Reconozca la regla de la cadena para una composición de tres funciones o más.
3.6.5 Describa la prueba de la regla de la cadena.

Hemos visto las técnicas de diferenciación de funciones básicas $(x^{n}, sen x, cos x, etc .)$ así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, como $h (x) = sen (x^{3})$ o $k (x) = \sqrt{3 x^{2} + 1} .$ En esta sección estudiamos la regla para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones.

Derivar la regla de la cadena

Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior.

Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: $h (x) = sen (x^{3}) .$ Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de $sen (x^{3})$ en relación con el cambio en $x .$ En consecuencia, queremos saber cómo $sen (x^{3})$ cambia, a medida que $x$ cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Dado que $x$ cambia, $x^{3}$ cambia, lo que lleva a un cambio en $sen (x^{3}) .$ Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de $sen (x^{3}) .$ Primero que nada, un cambio en $x$ , lo que fuerza un cambio en $x^{3}$ sugiere que de alguna manera la derivada de $x^{3}$ está involucrada. Además, el cambio en $x^{3}$ , lo que fuerza un cambio en $sen (x^{3})$ sugiere que la derivada de $sen (u)$ con respecto a $u,$ donde $u = x^{3},$ también forma parte de la derivada final.

Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de $h (x) = sen (x^{3})$ fijando el límite que nos daría la derivada en un valor específico $a$ en el dominio de $h (x) = sen (x^{3}) .$

h^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{sen (x^{3}) - sen (a^{3})}{x - a} .

Esta expresión no parece especialmente útil; sin embargo, podemos modificarla al multiplicar por y dividir entre la expresión $x^{3} - a^{3}$ para obtener

h^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{sen (x^{3}) - sen (a^{3})}{x^{3} - a^{3}} . \frac{x^{3} - a^{3}}{x - a} .

A partir de la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de $x^{3}$ en $x = a .$ Eso es,

\underset{x \to a}{lím} \frac{x^{3} - a^{3}}{x - a} = \frac{d}{d x} {(x^{3})}_{x = a} = 3 a^{2} .

Sin embargo, puede ser un poco más difícil reconocer que el primer término es también una derivada. Podemos ver esto suponiendo que $u = x^{3}$ y observando que a medida que $x \to a, u \to a^{3} :$

\begin{matrix} \underset{x \to a}{lím} \frac{sen (x^{3}) - sen (a^{3})}{x^{3} - a^{3}} & = \underset{u \to a^{3}}{lím} \frac{sen u - sen (a^{3})}{u - a^{3}} \\ = \frac{d}{d u} {(sen u)}_{u = a^{3}} \\ = cos (a^{3}) \end{matrix}

Así, $h^{'} (a) = cos (a^{3}) . 3 a^{2} .$

En otras palabras, si $h (x) = sen (x^{3}),$ entonces $h^{'} (x) = cos (x^{3}) . 3 x^{2} .$ Por lo tanto, si pensamos en $h (x) = sen (x^{3})$ como la composición $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ donde $f (x) =$ sen $x$ y $g (x) = x^{3},$ entonces la derivada $h (x) = sen (x^{3})$ es el producto de la derivada de $g (x) = x^{3}$ y la derivada de la función $f (x) = sen x$ evaluada en la función $g (x) = x^{3} .$ En este punto, prevemos que para $h (x) = sen (g (x)),$ es muy probable que $h^{'} (x) = cos (g (x)) g^{'} (x) .$ Como determinamos anteriormente, este es el caso de $h (x) = sen (x^{3}) .$

Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, exponemos el caso general y lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Al final de la sección se ofrece una prueba informal.

Regla: la regla de la cadena

Supongamos que $f$ y $g$ son funciones. Para todo x en el dominio de $g$ para la cual $g$ es diferenciable en el punto x y $f$ es diferenciable en $g (x),$ la derivada de la función compuesta

h (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))

viene dada por

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

(3.17)

Alternativamente, si $y$ es una función de $u,$ y $u$ es una función de $x,$ entonces

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} .

Medios

Vea una animación de la regla de la cadena.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Aplicar la regla de la cadena

Para diferenciar $h (x) = f (g (x)),$ empiece por identificar $f (x)$ y $g (x) .$
Calcule $f' (x)$ y evalúela en $g (x)$ para obtener $f^{'} (g (x)) .$
Halle $g^{'} (x) .$
Escriba $h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) . g^{'} (x) .$

Nota: Cuando se aplica la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, hay que tener en cuenta que se trabaja desde la función exterior hacia dentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse que tiene dos partes, la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada.

La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas

Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma $h (x) = {(g (x))}^{n},$ tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en $h (x) = {(g (x))}^{n}$ como $f (g (x))$ donde $f (x) = x^{n} .$ Entonces $f^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ Por lo tanto, $f^{'} (g (x)) = n {(g (x))}^{n - 1} .$ Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena,

h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)

Regla: regla de la potencia para composición de funciones

Para todos los valores de x para los que está definida la derivada, si

h (x) = {(g (x))}^{n} .

Entonces

h^{'} (x) = n {(g (x))}^{n - 1} g^{'} (x)

(3.18)

Ejemplo 3.48

Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia

Calcule la derivada de $h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} .$

Solución

Primero, reescriba $h (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}} = {(3 x^{2} + 1)}^{−2} .$

Si aplicamos la regla de la potencia con $g (x) = 3 x^{2} + 1,$ tenemos

h^{'} (x) = −2 {(3 x^{2} + 1)}^{−3} (6 x) .

Al reescribir en la forma original obtenemos

h^{'} (x) = \frac{−12 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} .

Punto de control 3.34

Calcule la derivada de $h (x) = {(2 x^{3} + 2 x - 1)}^{4} .$

Ejemplo 3.49

Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia con una función trigonométrica

Calcule la derivada de $h (x) = {sen}^{3} x .$

Solución

Primero recordemos que ${sen}^{3} x = {(sen x)}^{3},$ por lo que podemos reescribir $h (x) = {sen}^{3} x$ cuando $h (x) = {(sen x)}^{3} .$

Si aplicamos la regla de la potencia con $g (x) = sen x,$ obtenemos

h^{'} (x) = 3 {(sen x)}^{2} cos x = 3 {sen}^{2} x cos x .

Ejemplo 3.50

Halle la ecuación de una línea tangente

Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de $h (x) = \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ en $x = 2 .$

Solución

Como estamos hallando la ecuación de una línea, necesitamos un punto. La coordenada x del punto es 2. Para hallar la coordenada y, sustituya 2 en $h (x) .$ Dado que $h (2) = \frac{1}{{(3 (2) - 5)}^{2}} = 1,$ el punto es $(2, 1) .$

Para la pendiente, necesitamos $h^{'} (2) .$ Para calcular $h^{'} (x),$ primero escribimos $h (x) = {(3 x - 5)}^{−2}$ y aplique la regla de la potencia para obtener

h^{'} (x) = −2 {(3 x - 5)}^{−3} (3) = −6 {(3 x - 5)}^{−3} .

Al sustituir, tenemos $h^{'} (2) = −6 {(3 (2) - 5)}^{−3} = −6 .$ Por lo tanto, la línea tiene la ecuación $y - 1 = −6 (x - 2) .$ Al reescribirla, la ecuación de la línea es $y = −6 x + 13 .$

Punto de control 3.35

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x) = {(x^{2} - 2)}^{3}$ en $x = –2 .$

Combinar la regla de la cadena con otras reglas

Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto.

Ejemplo 3.51

Usar la regla de la cadena en una función coseno general

Calcule la derivada de $h (x) = cos (g (x)) .$

Solución

Piense en $h (x) = cos (g (x))$ cuando $f (g (x))$ donde $f (x) = cos x .$ Dado que $f^{'} (x) = − sen x .$ tenemos $f^{'} (g (x)) = − sen (g (x)) .$ Luego, hacemos el siguiente cálculo.

\begin{matrix} h^{'} (x) & = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) & Aplique la regla de la cadena. \\ = − sen (g (x)) g^{'} (x) & Sustituya f^{'} (g (x)) = − sen (g (x)) . \end{matrix}

Por lo tanto, la derivada de $h (x) = cos (g (x))$ viene dada por $h^{'} (x) = − sen (g (x)) g^{'} (x) .$

En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar.

Ejemplo 3.52

Usar la regla de la cadena en una función coseno

Calcule la derivada de $h (x) = cos (5 x^{2}) .$

Solución

Supongamos que $g (x) = 5 x^{2} .$ Entonces $g^{'} (x) = 10 x .$ Utilizando el resultado del ejemplo anterior,

\begin{matrix} h^{'} (x) & = − sen (5 x^{2}) . 10 x \\ = −10 x sen (5 x^{2}) . \end{matrix}

Ejemplo 3.53

Usar la regla de la cadena en otra función trigonométrica

Calcule la derivada de $h (x) = sec (4 x^{5} + 2 x) .$

Solución

Aplique la regla de la cadena a $h (x) = sec (g (x))$ para obtener

h^{'} (x) = sec (g (x)) tan (g (x)) g^{'} (x) .

En este problema, $g (x) = 4 x^{5} + 2 x,$ por lo que tenemos $g^{'} (x) = 20 x^{4} + 2 .$ Por lo tanto, obtenemos

\begin{matrix} h^{'} (x) & = sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) (20 x^{4} + 2) \\ = (20 x^{4} + 2) sec (4 x^{5} + 2 x) tan (4 x^{5} + 2 x) . \end{matrix}

Punto de control 3.36

Calcule la derivada de $h (x) = sen (7 x + 2) .$

En este punto proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en el Ejemplo 3.51 y el Ejemplo 3.53. Para más facilidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar (analizamos la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas.

Teorema 3.10

Usar la regla de la cadena en funciones trigonométricas

Para todos los valores de $x$ para los que se define la derivada,

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sen (g (x))) = cos (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} sen u = cos u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cos (g (x))) = − sen (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} cos u = − sen u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (tan (g (x))) = {sec}^{2} (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} tan u = {sec}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (cot (g (x))) = − {csc}^{2} (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} cot u = − {csc}^{2} u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (sec (g (x))) = sec (g (x) tan (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} sec u = sec u tan u \frac{d u}{d x} \\ \frac{d}{d x} (csc (g (x))) = − csc (g (x)) cot (g (x)) g' (x)) & \frac{d}{d x} csc u = − csc u cot u \frac{d u}{d x} . \end{matrix}

Ejemplo 3.54

Combinar la regla de la cadena con la regla del producto

Calcule la derivada de $h (x) = {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 2)}^{7} .$

Solución

Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto.

\begin{matrix} h^{'} (x) & = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{5}) . {(3 x - 2)}^{7} + \frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{7}) . {(2 x + 1)}^{5} & Aplique la regla del producto. \\ = 5 {(2 x + 1)}^{4} . 2 . {(3 x - 2)}^{7} + 7 {(3 x - 2)}^{6} . 3 . {(2 x + 1)}^{5} & Aplique la regla de la cadena. \\ = 10 {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{7} + 21 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 1)}^{5} & Simplifique. \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (10 (3 x - 2) + 21 (2 x + 1)) & Saque el factor común {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} . \\ = {(2 x + 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6} (72 x + 1) & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.37

Calcule la derivada de $h (x) = \frac{x}{{(2 x + 3)}^{3}} .$

Compuestos de tres o más funciones

Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.

En términos generales, primero dejamos que

k (x) = h (f (g (x))) .

Entonces, aplicando la regla de la cadena una vez obtenemos

k^{'} (x) = \frac{d}{d x} (h (f (g (x))) = h' (f (g (x))) . \frac{d}{d x} f ((g (x))) .

Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x)) f^{'} (g (x)) g^{'} (x)) .

Regla: regla de la cadena para una composición de tres funciones

Para todos los valores de x en los que la función es diferenciable, si

k (x) = h (f (g (x))),

entonces

k^{'} (x) = h^{'} (f (g (x))) f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces.

Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes (del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente). Además , recuerde que siempre podemos trabajar desde afuera hacia dentro tomando una derivada cada vez.

Ejemplo 3.55

Diferenciación de un compuesto de tres funciones

Calcule la derivada de $k (x) = {cos}^{4} ({7 x}^{2} + 1) .$

Solución

Primero, reescriba $k (x)$ como

k (x) = {(cos (7 x^{2} + 1))}^{4} .

A continuación, aplique la regla de la cadena varias veces.

\begin{matrix} k^{'} (x) & = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (\frac{d}{d x} cos (7 x^{2} + 1)) & Aplique la regla de la cadena. \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sen (7 x^{2} + 1)) (\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 1)) & Aplique la regla de la cadena. \\ = 4 {(cos (7 x^{2} + 1))}^{3} (− sen (7 x^{2} + 1)) (14 x) & Aplique la regla de la cadena. \\ = −56 x sen (7 x^{2} + 1) {cos}^{3} (7 x^{2} + 1) & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.38

Calcule la derivada de $h (x) = {sen}^{6} (x^{3}) .$

Ejemplo 3.56

Uso de la regla de la cadena en un problema de velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por $s (t) = sen (2 t) + cos (3 t) .$ ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo $t = \frac{π}{6} ?$

Solución

Para hallar $v (t),$ la velocidad de la partícula en el tiempo $t,$ debemos diferenciar $s (t) .$ Por lo tanto,

v (t) = s^{'} (t) = 2 cos (2 t) - 3 sen (3 t) .

Al sustituir $t = \frac{π}{6}$ en $v (t),$ obtenemos $v (\frac{π}{6}) = –2 .$

Punto de control 3.39

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo $t$ viene dada por $s (t) = sen (4 t) .$ Calcule su aceleración en el tiempo $t .$

Prueba

En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. En aras de la simplicidad, pasamos por alto algunas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que $g (x) \neq g (a)$ para $x \neq a$ en algún intervalo abierto que contenga $a .$ Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función $h (x)$ para obtener $h^{'} (a) :$

h^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{x - a} .

Reescribiendo, obtenemos

h^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} . \frac{g (x) - g (a)}{x - a} .

Aunque está claro que

\underset{x \to a}{lím} \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = g^{'} (a),

no es obvio que

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = f^{'} (g (a)) .

Para comprobar esto, primero hay que recordar que como g es diferenciable en $a, g$ también es continua en $a .$ Por lo tanto,

\underset{x \to a}{lím} g (x) = g (a) .

A continuación, sustituya $y = g (x)$ y $b = g (a)$ y utilice el cambio de variables en el límite para obtener

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} = \underset{y \to b}{lím} \frac{f (y) - f (b)}{y - b} = f^{'} (b) = f^{'} (g (a)) .

Finalmente,

h^{'} (a) = \underset{x \to a}{lím} \frac{f (g (x)) - f (g (a))}{g (x) - g (a)} . \frac{g (x) - g (a)}{x - a} = f^{'} (g (a)) g^{'} (a) .

□

Ejemplo 3.57

Uso de la regla de la cadena con los valores funcionales

Supongamos que $h (x) = f (g (x)) .$ Si $g (1) = 4, g^{'} (1) = 3,$ y $f^{'} (4) = 7,$ calcule $h^{'} (1) .$

Solución

Utilice la regla de la cadena y luego sustituya.

\begin{matrix} h^{'} (1) & = f^{'} (g (1)) g^{'} (1) & Aplique la regla de la cadena. \\ = f^{'} (4) . 3 & Sustituya g (1) = 4 y g^{'} (1) = 3 . \\ = 7.3 & Sustituya f' (4) = 7. \\ = 21 & Simplifique. \end{matrix}

Punto de control 3.40

Dados $h (x) = f (g (x)) .$ Si $g (2) = −3, g^{'} (2) = 4,$ y $f^{'} (−3) = 7,$ calcule $h^{'} (2) .$

La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz

Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física.

$Para h (x) = f (g (x)),$ supongamos que $u = g (x)$ y de $y = h (x) = f (u) .$ Por lo tanto,

h^{'} (x) = \frac{d y}{d x}, f^{'} (g (x)) = f^{'} (u) = \frac{d y}{d u} y g^{'} (x) = \frac{d u}{d x} .

En consecuencia,

\frac{d y}{d x} = h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} .

Regla: regla de la cadena mediante la notación de Leibniz

Si los valores de $y$ es una función de $u,$ y $u$ es una función de $x,$ entonces

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} .

Ejemplo 3.58

Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 1

Calcule la derivada de $y = {(\frac{x}{3 x + 2})}^{5} .$

Solución

En primer lugar, supongamos que $u = \frac{x}{3 x + 2} .$ Por lo tanto, $y = u^{5} .$ A continuación, calcule $\frac{d u}{d x}$ y $\frac{d y}{d u} .$ Utilizando la regla del cociente,

\frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}

\frac{d y}{d u} = 5 u^{4} .

Finalmente, lo juntamos todo.

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} & Aplique la regla de la cadena. \\ = 5 u^{4} . \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & Sustituya \frac{d y}{d u} = 5 u^{4} y \frac{d u}{d x} = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} . \\ = 5 {(\frac{x}{3 x + 2})}^{4} . \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} & Sustituya u = \frac{x}{3 x + 2} . \\ = \frac{10 x^{4}}{{(3 x + 2)}^{6}} & Simplifique. \end{matrix}

Es importante recordar que, cuando se utiliza la forma de Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse completamente en términos de la variable original del problema.

Ejemplo 3.59

Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 2

Calcule la derivada de $y = tan (4 x^{2} - 3 x + 1) .$

Solución

En primer lugar, supongamos que $u = 4 x^{2} - 3 x + 1 .$ Entonces $y = tan u .$ A continuación, calcule $\frac{d u}{d x}$ y $\frac{d y}{d u} :$

\frac{d u}{d x} = 8 x - 3 y \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u .

Finalmente, lo juntamos todo.

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d u} . \frac{d u}{d x} & Aplique la regla de la cadena. \\ = {sec}^{2} u . (8 x - 3) & Uso \frac{d u}{d x} = 8 x - 3 y \frac{d y}{d u} = {sec}^{2} u . \\ = {sec}^{2} (4 x^{2} - 3 x + 1) . (8 x - 3) & Sustituya u = 4 x^{2} - 3 x + 1 . \end{matrix}

Punto de control 3.41

Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de $y = cos (x^{3}) .$ Asegúrese de que la respuesta final se exprese completamente en términos de la variable $x .$

Sección 3.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, dados $y = f (u)$ y $u = g (x),$ calcule $\frac{d y}{d x}$ utilizando la notación de Leibniz para la regla de la cadena: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} .$

214.

$y = 3 u - 6, u = 2 x^{2}$

215.

$y = 6 u^{3}, u = 7 x - 4$

216.

$y = sen u, u = 5 x - 1$

217.

$y = cos u, u = \frac{− x}{8}$

218.

$y = tan u, u = 9 x + 2$

219.

$y = \sqrt{4 u + 3}, u = x^{2} - 6 x$

En cada uno de los siguientes ejercicios,

descomponga cada función en la forma $y = f (u)$ y $u = g (x),$ y
halle $\frac{d y}{d x}$ en función de $x .$

220.

$y = {(3 x - 2)}^{6}$

221.

$y = {(3 x^{2} + 1)}^{3}$

222.

$y = {sen}^{5} (x)$ grandes.

223.

$y = {(\frac{x}{7} + \frac{7}{x})}^{7}$

224.

$y = tan (sec x)$ grandes.

225.

$y = csc (π x + 1)$

226.

$y = {cot}^{2} x$

227.

$y = −6 {(sen)}^{−3} x$

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{d y}{d x}$ por cada función.

228.

$y = {(3 x^{2} + 3 x - 1)}^{4}$

229.

$y = {(5 - 2 x)}^{−2}$

230.

$y = {cos}^{3} (π x)$ grandes.

231.

$y = {(2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1)}^{3}$

232.

$y = \frac{1}{{sen}^{2} (x)}$ grandes.

233.

$y = {(tan x + sen x)}^{−3}$

234.

$y = x^{2} {cos}^{4} x$

235.

$y = sen (cos 7 x)$ grandes.

236.

$y = \sqrt{6 + sec π x^{2}}$

237.

$y = {cot}^{3} (4 x + 1)$ grandes.

238.

Supongamos que $y = {[f (x)]}^{2}$ y supongamos que $f^{'} (1) = 4$ y $\frac{d y}{d x} = 10$ por $x = 1 .$ Calcule $f (1) .$

239.

Supongamos que $y = {(f (x) + 5 x^{2})}^{4}$ y supongamos que $f (–1) = −4$ y $\frac{d y}{d x} = 3$ cuando $x = −1 .$ Calcule $f^{'} (–1)$ grandes.

240.

Supongamos que $y = {(f (u) + 3 x)}^{2}$ y $u = x^{3} - 2 x .$ Si $f (4) = 6$ y $\frac{d y}{d x} = 18$ cuando $x = 2,$ calcule $f^{'} (4) .$

241.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente para $y = − sen (\frac{x}{2})$ en el origen. Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.

242.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente para $y = {(3 x + \frac{1}{x})}^{2}$ en el punto $(1, 16) .$ Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente.

243.

Calcule las coordenadas $x$ en las que la línea tangente a $y = {(x - \frac{6}{x})}^{8}$ es horizontal.

244.

[T] Halle una ecuación de la línea que sea normal a $g (θ) = {sen}^{2} (π θ)$ en el punto $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) .$ Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea normal.

En los siguientes ejercicios, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar $h^{'} (a)$ en el valor dado para $a .$

$x$	$f (x)$ grandes.	$f' (x)$ grandes.	$g (x)$ grandes.	$g' (x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

245.

$h (x) = f (g (x)); a = 0$

246.

$h (x) = g (f (x)); a = 0$

247.

$h (x) = {(x^{4} + g (x))}^{−2}; a = 1$

248.

$h (x) = {(\frac{f (x)}{g (x)})}^{2}; a = 3$

249.

$h (x) = f (x + f (x)); a = 1$

250.

$h (x) = {(1 + g (x))}^{3}; a = 2$

251.

$h (x) = g (2 + f (x^{2})); a = 1$

252.

$h (x) = f (g (sen x)); a = 0$

253.

[T] La función de posición de un tren de mercancías viene dada por $s (t) = 100 {(t + 1)}^{−2},$ con la $s$ en metros y $t$ en segundos. En el tiempo $t = 6$ s, encontrar:

la velocidad y
aceleración del tren.
Utilizando a. y b. ¿el tren acelera o frena?

254.

[T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde $t$ se mide en segundos y $s$ está en pulgadas:

$s (t) = −3 cos (π t + \frac{π}{4}) .$

Determine la posición del resorte en $t = 1,5$ s.
Calcule la velocidad del resorte en $t = 1,5$ s.

255.

[T] El costo total para producir $x$ cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de $C$ dólares, donde $C = 0,0001 x^{3} - 0,02 x^{2} + 3 x + 300 .$ En $t$ semanas, se estima que la producción sea de $x = 1.600 + 100 t$ cajas.

Calcule el costo marginal $C^{'} (x) .$
Utilice la notación de Leibniz para la regla de la cadena, $\frac{d C}{d t} = \frac{d C}{d x} . \frac{d x}{d t},$ para encontrar la tasa con respecto al tiempo $t$ en el que el costo cambia.
Utilice b. para determinar la velocidad de aumento de los costos cuando $t = 2$ semanas. Incluya las unidades en la respuesta.

256.

[T] La fórmula del área de un círculo es $A = π r^{2},$ donde $r$ es el radio del círculo. Supongamos que un círculo se expande, lo que significa que tanto el área $A$ y el radio $r$ (en pulgadas) se expanden.

Supongamos que $r = 2 - \frac{100}{{(t + 7)}^{2}}$ donde $t$ es el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena $\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d r} . \frac{d r}{d t}$ para encontrar la tasa de expansión del área.
Utilice a. para hallar el ritmo de expansión del área en $t = 4$ s.

257.

[T] La fórmula del volumen de una esfera es $S = \frac{4}{3} π r^{3},$ donde $r$ (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se derrite al sol.

Supongamos que $r = \frac{1}{{(t + 1)}^{2}} - \frac{1}{12}$ donde $t$ es el tiempo en minutos. Utilice la regla de la cadena $\frac{d S}{d t} = \frac{d S}{d r} . \frac{d r}{d t}$ para encontrar la tasa a la que se funde la bola de nieve.
Utilice a. para hallar la tasa de variación del volumen en $t = 1$ min.

258.

[T] La temperatura diaria en verano de Phoenix en grados Fahrenheit puede modelarse mediante la función $T (x) = 94 - 10 cos [\frac{π}{12} (x - 2)],$ donde $x$ son horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p. m.

259.

[T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela mediante la función $D (t) = 5 sen (\frac{π}{6} t - \frac{7 π}{6}) + 8,$ donde $t$ es el número de horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a. m.