Máximos y mínimos - Cálculo volumen 1

4.3 Máximos y mínimos

Objetivos de aprendizaje

4.3.1 Definir los extremos absolutos.
4.3.2 Definir los extremos locales.
4.3.3 Explicar cómo encontrar los puntos críticos de una función en un intervalo cerrado.
4.3.4 Describir cómo utilizar los puntos críticos para localizar los extremos absolutos en un intervalo cerrado.

Dada una función concreta, con frecuencia nos interesa determinar los valores más grandes y más pequeños de la función. Esta información es importante para crear gráficos precisos. Encontrar los valores máximos y mínimos de una función también tiene importancia práctica porque podemos utilizar este método para resolver problemas de optimización, como maximizar el beneficio, minimizar la cantidad de material utilizado en la fabricación de una lata de aluminio o encontrar la altura máxima que puede alcanzar un cohete. En esta sección, veremos cómo utilizar las derivadas para encontrar los valores mayores y menores de una función.

Extremos absolutos

Considere la función $f (x) = x^{2} + 1$ en el intervalo $(− \infty, \infty) .$ Dado que $x \to ± \infty,$ $f (x) \to \infty .$ Por lo tanto, la función no tiene un mayor valor. Sin embargo, como $x^{2} + 1 \geq 1$ para todos los números reales $x$ y $x^{2} + 1 = 1$ cuando $x = 0,$ la función tiene un valor mínimo, 1, cuando $x = 0 .$ Decimos que 1 es el mínimo absoluto de $f (x) = x^{2} + 1$ y se produce en $x = 0 .$ Decimos que $f (x) = x^{2} + 1$ no tiene un máximo absoluto (vea la siguiente figura).

Se representa gráficamente la función f(x) = x2 + 1, y se ve que su mínimo de 1 está en x = 0.

Figura 4.12 La función dada tiene un mínimo absoluto de 1 en

x = 0 .

La función no tiene un máximo absoluto.

Definición

Supongamos que $f$ es una función definida en un intervalo $I$ y supongamos que $c \in I .$ Decimos $f$ tiene un máximo absoluto en $I$ a las $c$ si $f (c) \geq f (x)$ para todo $x \in I .$ Decimos $f$ tiene un mínimo absoluto en $I$ a las $c$ si $f (c) \leq f (x)$ para todo $x \in I .$ Si $f$ tiene un máximo absoluto en $I$ a las $c$ o un mínimo absoluto en $I$ a las $c,$ decimos $f$ tiene un extremo absoluto en $I$ a las $c .$

Antes de continuar, señalemos dos cuestiones importantes con respecto a esta definición. En primer lugar, el término absoluto aquí no se refiere al valor absoluto. Un extremo absoluto puede ser positivo, negativo o cero. En segundo lugar, si una función $f$ tiene un extremo absoluto en un intervalo $I$ a las $c,$ el extremo absoluto es $f (c) .$ El número real $c$ es un punto del dominio en el que se produce el extremo absoluto. Por ejemplo, consideremos la función $f (x) = 1 / (x^{2} + 1)$ en el intervalo $(− \infty, \infty) .$ Dado que

f (0) = 1 \geq \frac{1}{x^{2} + 1} = f (x)

para todos los números reales $x,$ decimos $f$ tiene un máximo absoluto sobre $(− \infty, \infty)$ en $x = 0 .$ El máximo absoluto es $f (0) = 1 .$ Se produce en $x = 0,$ como se muestra en la Figura 4.13(b).

Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, solo un extremo, o ninguno. La Figura 4.13 muestra varias funciones y algunas de las distintas posibilidades con respecto a los extremos absolutos. Sin embargo, el siguiente teorema, llamado teorema del valor extremo, garantiza que una función continua $f$ en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$ tiene un máximo y un mínimo absolutos.

Esta figura tiene seis partes a, b, c, d, e y f. En la figura a, se muestra la línea f(x) = x3, y se observa que no tiene mínimo ni máximo absoluto. En la figura b, se muestra la línea f(x) = 1/(x2 + 1), que está cerca de 0 durante la mayor parte de su longitud y se eleva hasta una protuberancia en (0, 1); no tiene un mínimo absoluto, pero sí un máximo absoluto de 1 en x = 0. En la figura c, se muestra la línea f(x) = cos x, que tiene mínimos absolutos de -1 en ±π, ±3π, ... y máximos absolutos de 1 en 0, ±2π, ±4π, .... En la figura d se muestra la función a trozos f(x) = 2 – x2 para 0 ≤ x < 2 y x – 3 para 2 ≤ x ≤ 4, con máximo absoluto de 2 en x = 0 y sin mínimo absoluto. En la figura e, se muestra la función f(x) = (x - 2)2 en [1, 4], que tiene un máximo absoluto de 4 en x = 4 y un mínimo absoluto de 0 en x = 2. En la figura f, la función f(x) = x/(2 - x) se muestra en [0, 2), con un mínimo absoluto de 0 en x = 0 y ningún máximo absoluto.

Figura 4.13 Los gráficos (a), (b) y (c) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio de

(− \infty, \infty) .

Los gráficos (d), (e) y (f) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio que es un intervalo acotado.

Teorema 4.1

Teorema del valor extremo

Si los valores de $f$ es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado $[a, b],$ entonces hay un punto en $[a, b]$ en los que $f$ tiene un máximo absoluto sobre $[a, b]$ y hay un punto en $[a, b]$ en los que $f$ tiene un mínimo absoluto en $[a, b] .$

La demostración del teorema del valor extremo está fuera del alcance de este texto. Normalmente, se demuestra en un curso de análisis real. Hay un par de puntos clave a tener en cuenta sobre el enunciado de este teorema. Para que se aplique el teorema del valor extremo, la función debe ser continua en un intervalo cerrado y acotado. Si el intervalo $I$ es abierto o la función tiene incluso un punto de discontinuidad, la función no puede tener un máximo absoluto o un mínimo absoluto en $I .$ Por ejemplo, considere las funciones mostradas en la Figura 4.13(d), (e) y (f). Estas tres funciones están definidas en intervalos acotados. Sin embargo, la función del gráfico (e) es la única que tiene tanto un máximo como un mínimo absoluto en su dominio. El teorema del valor extremo no puede aplicarse a las funciones de los gráficos (d) y (f) porque ninguna de estas funciones es continua en un intervalo cerrado y acotado. Aunque la función del gráfico (d) está definida en el intervalo cerrado $[0, 4],$ la función es discontinua en $x = 2 .$ La función tiene un máximo absoluto en $[0, 4]$ pero no tiene un mínimo absoluto. La función en el gráfico (f) es continua en el intervalo semiabierto $[0, 2),$ pero no se define en $x = 2,$ y, por tanto, no es continua en un intervalo cerrado y acotado. La función tiene un mínimo absoluto en $[0, 2),$ pero no tiene un máximo absoluto en $[0, 2) .$ Estos dos gráficos ilustran por qué una función en un intervalo acotado puede no tener un máximo o un mínimo absoluto.

Antes de ver cómo encontrar los extremos absolutos, vamos a examinar el concepto relacionado de extremos locales. Esta idea es útil para determinar dónde se producen los extremos absolutos.

Extremos locales y puntos críticos

Considere la función $f$ se muestra en la Figura 4.14. El gráfico puede describirse como dos montañas con un valle en el centro. El valor máximo absoluto de la función se produce en el pico más alto, en $x = 2 .$ Sin embargo, el que $x = 0$ es también un punto de interés. Aunque $f (0)$ no es el mayor valor de $f,$ el valor $f (0)$ es mayor que $f (x)$ para todo $x$ cerca de 0. Decimos que $f$ tiene un máximo local en $x = 0 .$ Del mismo modo, la función $f$ no tiene un mínimo absoluto, pero sí un mínimo local en $x = 1$ porque $f (1)$ es menor que $f (x)$ para $x$ cerca de 1.

Se muestra la función f(x), que se curva hacia arriba desde el cuadrante III, se ralentiza en el cuadrante II, alcanza un máximo local en el eje y, disminuye hasta alcanzar un mínimo local en el cuadrante I en x = 1, aumenta hasta un máximo local en x = 2 que es mayor que el otro máximo local, y luego disminuye rápidamente a lo largo del cuadrante IV.

Figura 4.14 Esta función

f

tiene dos máximos y un mínimo locales. El máximo local en

x = 2

es también el máximo absoluto.

Definición

Una función $f$ tiene un máximo local en $c$ si existe un intervalo abierto $I$ que contiene $c$ de manera que $I$ está contenida en el dominio de $f$ como $f (c) \geq f (x)$ para todo $x \in I .$ Una función $f$ tiene un mínimo local en $c$ si existe un intervalo abierto $I$ que contiene $c$ de manera que $I$ está contenida en el dominio de $f$ como $f (c) \leq f (x)$ para todo $x \in I .$ Una función $f$ tiene un extremo local en $c$ si $f$ tiene un máximo local en $c$ o $f$ tiene un mínimo local en $c .$

Observe que si $f$ tiene un extremo absoluto en $c$ como $f$ se define en un intervalo que contiene $c,$ entonces $f (c)$ también se considera un extremo local. Si un extremo absoluto de una función $f$ se produce en un punto extremo, no lo consideramos un extremo local, sino que nos referimos a él como un extremo final.

Dado el gráfico de una función $f,$ a veces es fácil ver dónde se produce un máximo o un mínimo local. Sin embargo, no siempre es fácil de ver, ya que las características interesantes del gráfico de una función pueden no ser visibles porque se producen a una escala muy pequeña. Además, es posible que no tengamos un gráfico de la función. En estos casos, ¿cómo podemos utilizar la fórmula de una función para determinar dónde se producen estos extremos?

Para responder esta pregunta, veamos de nuevo la Figura 4.14. Los extremos locales se producen en $x = 0,$ $x = 1,$ y $x = 2 .$ Observe que en $x = 0$ y $x = 1,$ la derivada $f' (x) = 0 .$ A $x = 2,$ la derivada $f' (x)$ no existe, ya que la función $f$ tiene una esquina allí. De hecho, si $f$ tiene un extremo local en un punto $x = c,$ la derivada $f' (c)$ debe cumplir una de las siguientes condiciones: o bien $f' (c) = 0$ o $f' (c)$ es indefinida. Este valor $c$ se conoce como punto crítico y es importante para encontrar los valores extremos de las funciones.

Definición

Supongamos que $c$ es un punto interior en el dominio de $f .$ Decimos que $c$ es un número crítico de $f$ si $f' (c) = 0$ o $f' (c)$ es indefinida. Llamamos al punto $(c, f (c))$ un punto crítico de $f$ . Tenga en cuenta que estos dos términos se utilizan, a menudo, indistintamente en este libro de texto y en otros.

Como se mencionó anteriormente, si $f$ tiene un extremo local en un punto $x = c,$ entonces $c$ debe ser un punto crítico de $f .$ Este hecho se conoce como el teorema de Fermat.

Teorema 4.2

Teorema de Fermat

Si los valores de $f$ tiene un extremo local en $c$ como $f$ es diferenciable en $c,$ entonces $f' (c) = 0 .$

Prueba

Supongamos que $f$ tiene un extremo local en $c$ como $f$ es diferenciable en $c .$ Tenemos que demostrar que $f' (c) = 0 .$ Para ello, demostraremos que $f' (c) \geq 0$ y $f' (c) \leq 0,$ y por lo tanto $f' (c) = 0 .$ Dado que $f$ tiene un extremo local en $c,$ $f$ tiene un máximo o un mínimo local en $c .$ Supongamos que $f$ tiene un máximo local en $c .$ El caso en el que $f$ tiene un mínimo local en $c$ se puede manejar de manera similar. Existe entonces un intervalo abierto $I$ de manera que $f (c) \geq f (x)$ para todo $x \in I .$ Dado que $f$ es diferenciable en $c,$ de la definición de la derivada, sabemos que

f' (c) = \underset{x \to c}{lím} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} .

Como este límite existe, los dos límites unilaterales también existen y son iguales $f' (c) .$ Por lo tanto,

f' (c) = \underset{x \to c^{+}}{lím} \frac{f (x) - f (c)}{x - c},

(4.4)

f' (c) = \underset{x \to c^{-}}{lím} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} .

(4.5)

Dado que $f (c)$ es un máximo local, vemos que $f (x) - f (c) \leq 0$ por $x$ cerca de $c .$ Por lo tanto, para $x$ cerca de $c,$ pero $x > c,$ tenemos $\frac{f (x) - f (c)}{x - c} \leq 0 .$ De la Ecuación 4.4 concluimos que $f' (c) \leq 0 .$ Del mismo modo, se puede demostrar que $f' (c) \geq 0 .$ Por lo tanto, $f' (c) = 0 .$

□

Del teorema de Fermat, concluimos que si $f$ tiene un extremo local en $c,$ entonces $f' (c) = 0$ o $f' (c)$ es indefinida. En otras palabras, los extremos locales solo pueden ocurrir en los puntos críticos.

Note que este teorema no afirma que una función $f$ debe tener un extremo local en un punto crítico. Más bien, afirma que los puntos críticos son candidatos a extremos locales. Por ejemplo, consideremos la función $f (x) = x^{3} .$ Tenemos $f' (x) = 3 x^{2} = 0$ cuando $x = 0 .$ Por lo tanto, $x = 0$ es un punto crítico. Sin embargo, $f (x) = x^{3}$ aumenta en $(− \infty, \infty),$ y por lo tanto $f$ no tienen un extremo local en $x = 0 .$ En la Figura 4.15, vemos varias posibilidades de puntos críticos. En algunos de estos casos, las funciones tienen extremos locales en los puntos críticos, pero en otros casos no los tienen. Note que estos gráficos no muestran todas las posibilidades de comportamiento de una función en un punto crítico.

Esta figura tiene cinco partes: a, b, c, d y e. En la figura a, se muestra una parábola orientada hacia abajo en el cuadrante I; hay una línea tangente horizontal en el máximo local marcado f'(c) = 0. En la figura b, hay una función dibujada con una asíntota en c, lo que significa que la función aumenta hacia el infinito a ambos lados de c; se observa que f'(c) es indefinida. En la figura c, se muestra una versión del gráfico del valor absoluto que ha sido desplazado para que su mínimo esté en el cuadrante I con x = c. Se observa que f'(c) es indefinida. En la figura d, se muestra una versión de la función f(x) = x3, desplazada para que su punto de inflexión esté en el cuadrante I con x = c. Su punto de inflexión en (c, f(c)) tiene una línea horizontal que lo atraviesa, y se observa que f'(c) = 0. En la figura e, se muestra una versión de la función f(x) = x1/3, desplazada para que su punto de inflexión esté en el cuadrante I con x = c. Su punto de inflexión en (c, f(c)) tiene una línea vertical que lo atraviesa, y se observa que f'(c) es indefinido.

Figura 4.15 (a-e) Una función

f

tiene un punto crítico en

c

f' (c) = 0

f' (c)

es indefinida. Una función puede tener o no un extremo local en un punto crítico.

Más adelante en este capítulo veremos métodos analíticos para determinar si realmente una función tiene un extremo local en un punto crítico. Por ahora, vamos a centrarnos en la búsqueda de puntos críticos. Utilizaremos observaciones gráficas para determinar si un punto crítico está asociado a un extremo local.

Ejemplo 4.12

Localización de puntos críticos

En cada una de las siguientes funciones, halle todos los puntos críticos. Utilice una herramienta gráfica para determinar si la función tiene un extremo local en cada uno de los puntos críticos.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$
$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$
$f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}$

Solución

La derivada $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4$ se define para todos los números reales $x .$ Por lo tanto, solo tenemos que hallar los valores de $x$ donde $f' (x) = 0 .$ Dado que $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4 = (x - 4) (x - 1),$ los puntos críticos son $x = 1$ y $x = 4 .$ A partir del gráfico de $f$ en la Figura 4.16, vemos que $f$ tiene un máximo local en $x = 1$ y un mínimo local en $x = 4 .$

Figura 4.16 Esta función tiene un máximo y un mínimo local.
Utilizando la regla de la cadena, vemos que la derivada es

$f' (x) = 3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2} .$

Por lo tanto, $f$ tiene puntos críticos cuando $x = 0$ y cuando $x^{2} - 1 = 0 .$ Concluimos que los puntos críticos son $x = 0, ±1, 1 .$ A partir del gráfico de $f$ en la Figura 4.17, vemos que $f$ tiene un mínimo local (y absoluto) en $x = 0,$ pero no tiene un extremo local en $x = 1$ o $x = −1 .$

Figura 4.17 Esta función tiene tres puntos críticos: $x = 0,$ $x = 1,$ y $x = −1 .$ La función tiene un mínimo local (y absoluto) en $x = 0,$ pero no tiene extremos en los otros dos puntos críticos.
Según la regla del cociente, vemos que la derivada es

$f' (x) = \frac{(1 + x^{2}) (4) - 4 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{4 - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} .$

La derivada está definida en todas partes. Por lo tanto, solo tenemos que encontrar valores para $x$ donde $f' (x) = 0 .$ Resolución de problemas $f' (x) = 0,$ vemos que $4 - 4 x^{2} = 0,$ lo que implica $x = ± 1 .$ Por lo tanto, los puntos críticos son $x = ± 1 .$ A partir del gráfico de $f$ en la Figura 4.18, vemos que $f$ tiene un máximo absoluto en $x = 1$ y un mínimo absoluto en $x = −1 .$ Por lo tanto, $f$ tiene un máximo local en $x = 1$ y un mínimo local en $x = −1 .$ (Tenga en cuenta que si $f$ tiene un extremo absoluto en un intervalo $I$ en un punto $c$ que no es un punto extremo de $I,$ entonces $f$ tiene un extremo local en $c .)$

Figura 4.18 Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos.

Punto de control 4.12

Halle todos los puntos críticos para $f (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 .$

Localización de extremos absolutos

El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Como se muestra en la Figura 4.13, uno o ambos extremos absolutos podrían ocurrir en un punto extremo. Sin embargo, si un extremo absoluto no ocurre en un punto extremo, debe ocurrir en un punto interior, en cuyo caso el extremo absoluto es un extremo local. Por lo tanto, mediante el Teorema de Fermat el punto $c$ en el que se produce el extremo local debe ser un punto crítico. Resumimos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema 4.3

Localización de los extremos absolutos

Supongamos que $f$ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado $I .$ El máximo absoluto de $f$ en $I$ y el mínimo absoluto de $f$ en $I$ debe producirse en los puntos extremos de $I$ o en puntos críticos de $f$ en $I .$

Teniendo esto en cuenta, vamos a examinar un procedimiento para localizar los extremos absolutos.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Localización de extremos absolutos en un intervalo cerrado

Consideremos una función continua $f$ definida en el intervalo cerrado $[a, b] .$

Evalúe $f$ en los puntos finales $x = a$ y $x = b .$
Halle todos los puntos críticos de $f$ que se encuentran en el intervalo $(a, b)$ y evalúe $f$ en esos puntos críticos.
Compare todos los valores encontrados en (1) y (2). A partir de la Localización de los extremos absolutos, estos deben producirse en los puntos extremos o críticos. Por lo tanto, el mayor de estos valores es el máximo absoluto de $f .$ El menor de estos valores es el mínimo absoluto de $f .$

Ahora veamos cómo utilizar esta estrategia para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de las funciones continuas.

Ejemplo 4.13

Localización de extremos absolutos

En cada una de las siguientes funciones, calcule el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el intervalo especificado e indique dónde se producen esos valores.

$f (x) = − x^{2} + 3 x - 2$ en $[1, 3] .$
$f (x) = x^{2} - 3 x^{2 / 3}$ en $[0, 2] .$

Solución

Paso 1. Evalúe $f$ en los puntos finales $x = 1$ y $x = 3 .$

$f (1) = 0 y f (3) = –2$

Paso 2. Dado que $f' (x) = –2 x + 3,$ $f'$ se define para todos los números reales $x .$ Por lo tanto, no hay puntos críticos donde la derivada sea indefinida. Queda por comprobar dónde $f' (x) = 0 .$ Dado que $f' (x) = –2 x + 3 = 0$ a las $x = \frac{3}{2}$ y $\frac{3}{2}$ esté en el intervalo $[1, 3],$ $f (\frac{3}{2})$ es un candidato a extremo absoluto de $f$ en $[1, 3] .$ Evaluamos $f (\frac{3}{2})$ y hallamos

$f (\frac{3}{2}) = \frac{1}{4} .$

Paso 3. Establecemos la tabla siguiente para comparar los valores encontrados en los pasos 1 y 2

$x$ $f (x)$ Conclusión

$1$ $0$

$\frac{3}{2}$ $\frac{1}{4}$ Máximo absoluto

$3$ $−2$ Mínimo absoluto

Gracias a la tabla, hallamos que el máximo absoluto de $f$ en el intervalo [1, 3] es $\frac{1}{4},$ y se produce en $x = \frac{3}{2} .$ El mínimo absoluto de $f$ en el intervalo [1, 3] es $−2,$ y se produce en $x = 3$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.19 Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos.
Paso 1. Evalúe $f$ en los puntos finales $x = 0$ y $x = 2 .$

$f (0) = 0 y f (2) = 4 - 3 \sqrt[3]{4} \approx - 0,762$

Paso 2. La derivada de $f$ está dada por

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{1 / 3}} = \frac{2 x^{4 / 3} - 2}{x^{1 / 3}}$

para $x \neq 0 .$ La derivada es cero cuando $2 x^{4 / 3} - 2 = 0,$ lo que implica $x = ± 1 .$ La derivada es indefinida en $x = 0 .$ Por lo tanto, los puntos críticos de $f$ son $x = 0, 1, −1 .$ El punto $x = 0$ es un punto extremo, por lo que ya evaluamos $f (0)$ en el paso 1. El punto $x = −1$ no está en el intervalo de interés, por lo que solo tenemos que evaluar $f (1) .$ Encontramos que

$f (1) = –2 .$

Paso 3. Comparamos los valores encontrados en los pasos 1 y 2, en la siguiente tabla

$x$ $f (x)$ Conclusión

$0$ $0$ Máximo absoluto

$1$ $−2$ Mínimo absoluto

$2$ $−0,762$

Concluimos que el máximo absoluto de $f$ en el intervalo [0, 2] es cero, y se produce en $x = 0 .$ El mínimo absoluto es -2, y se produce en $x = 1$ como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 4.20 Esta función tiene un máximo absoluto en un punto extremo del intervalo.

$x$	$f (x)$	Conclusión
$1$	$0$
$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{4}$	Máximo absoluto
$3$	$−2$	Mínimo absoluto

$x$	$f (x)$	Conclusión
$0$	$0$	Máximo absoluto
$1$	$−2$	Mínimo absoluto
$2$	$−0,762$

Punto de control 4.13

Halle el máximo absoluto y el mínimo absoluto de $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ en el intervalo $[1, 4] .$

En este punto, sabemos cómo localizar los extremos absolutos de las funciones continuas en intervalos cerrados. También hemos definido los extremos locales y hemos determinado que si una función $f$ tiene un extremo local en un punto $c,$ entonces $c$ debe ser un punto crítico de $f .$ Sin embargo, el que $c$ sea un punto crítico no es una condición suficiente para $f$ para tener un extremo local en $c .$ Más adelante en este capítulo, mostraremos cómo determinar si una función tiene realmente un extremo local en un punto crítico. Sin embargo, primero debemos presentar el teorema del valor medio, que nos ayudará a analizar el comportamiento del gráfico de una función.

Sección 4.3 ejercicios

90.

En precálculo, aprendió una fórmula para hallar la posición del máximo o del mínimo de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c,$ que era $h = - \frac{b}{(2 a)} .$ Demuestre esta fórmula utilizando el cálculo.

91.

Si tiene que hallar un mínimo absoluto en un intervalo $[a, b],$ ¿por qué necesita comprobar los puntos extremos? Dibuje un gráfico que sustente su hipótesis.

92.

Si está examinando una función en un intervalo $(a, b),$ por $a$ y $b$ finito, ¿es posible que no exista un máximo absoluto o un mínimo absoluto?

93.

Cuando compruebe los puntos críticos, explique por qué debe determinar también los puntos en los que $f' (x)$ es indefinida. Dibuje un gráfico que apoye su explicación.

94.

¿Se puede tener un máximo absoluto finito para $y = a x^{2} + b x + c$ en $(− \infty, \infty) ?$ Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos.

95.

¿Se puede tener un máximo absoluto finito para $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ en $(− \infty, \infty)$ asumiendo que a es distinto de cero? Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos.

96.

Supongamos que $m$ es el número de mínimos locales y que $M$ es el número de máximos locales. ¿Se puede crear una función en la que $M > m + 2 ?$ Dibuje un gráfico para apoyar su explicación.

97.

¿Es posible tener más de un máximo absoluto? Utilice un argumento gráfico para demostrar su hipótesis.

98.

¿Es posible que una función no tenga un mínimo o un máximo absoluto? Si es así, construya dicha función. Si no es así, explique por qué no es posible.

99.

[T] Represente gráficamente la función $y = e^{a x} .$ ¿Para cuáles valores de $a,$ en cualquier dominio infinito, obtendrá un mínimo absoluto y un máximo absoluto?

En los siguientes ejercicios, determine dónde se producen los máximos y mínimos locales y absolutos en el gráfico dado. Supongamos que el gráfico representa la totalidad de cada función.

100.

La función graficada comienza en (-4, 60), disminuye rápidamente hasta (-3, -40), aumenta hasta (-1, 10) antes de disminuir lentamente hasta (2, 0), que es el punto en el que aumenta rápidamente hasta (3, 30).

101.

La función graficada comienza en (-2,2, 10), disminuye rápidamente hasta (-2, -11), aumenta hasta (-1, 5) antes de disminuir lentamente hasta (1, 3), punto en el que aumenta hasta (2, 7), y luego disminuye hasta (3, -20).

102.

La función graficada comienza en (-3, -1), aumenta rápidamente hasta (-2, 0,7), disminuye hasta (-1, -0,25) antes de disminuir lentamente hasta (1, 0,25), punto en el que disminuye hasta (2, 0,7), y luego aumenta hasta (3, 1).

103.

La función graficada comienza en (-2,5, 1), disminuye rápidamente hasta (-2, -1,25), aumenta hasta (-1, 0,25) antes de disminuir lentamente hasta (0, 0,2), punto en el que aumenta lentamente hasta (1, 0,25), luego disminuye rápidamente hasta (2, -1,25), y finalmente aumenta hasta (2,5, 1).

En los siguientes problemas, dibuje los gráficos de $f (x),$ que es continua, en el intervalo $[−4, 4]$ con las siguientes propiedades:

104.

Máximo absoluto en $x = 2$ y mínimos absolutos en $x = ± 3$

105.

Mínimo absoluto en $x = 1$ y máximo absoluto en $x = 2$

106.

Máximo absoluto en $x = 4,$ mínimo absoluto en $x = −1,$ máximo local en $x = –2,$ y un punto crítico que no es un máximo o un mínimo en $x = 2$

107.

Máximos absolutos en $x = 2$ y $x = −3,$ mínimo local en $x = 1,$ y mínimo absoluto en $x = 4$

En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos en los dominios de las siguientes funciones.

108.

$y = 4 x^{3} - 3 x$

109.

$y = 4 \sqrt{x} - x^{2}$

110.

$y = \frac{1}{x - 1}$

111.

$y = ln (x - 2)$

112.

$y = tan (x)$ grandes.

113.

$y = \sqrt{4 - x^{2}}$

114.

$y = x^{3 / 2} - 3 x^{5 / 2}$

115.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

116.

$y = {sen}^{2} (x)$ grandes.

117.

$y = x + \frac{1}{x}$

En los siguientes ejercicios, halle los máximos locales o absolutos de las funciones en el dominio especificado.

118.

$f (x) = x^{2} + 3$ en $[−1, 4]$

119.

$y = x^{2} + \frac{2}{x}$ en $[1, 4]$

120.

$y = {(x - x^{2})}^{2}$ en $[−1, 1]$

121.

$y = \frac{1}{(x - x^{2})}$ en $(0, 1)$

122.

$y = \sqrt{9 - x}$ en $[1, 9]$

123.

$y = x + sen (x)$ en $[0, 2 π]$

124.

$y = \frac{x}{1 + x}$ en $[0, 100]$

125.

$y = | x + 1 | + | x - 1 |$ en $[−3, 2]$

126.

$y = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ en $[0, 4]$

127.

$y = sen x + cos x$ en $[0, 2 π]$

128.

$y = 4 sen θ - 3 cos θ$ en $[0, 2 π]$

En los siguientes ejercicios, halle los mínimos y máximos locales y absolutos de las funciones en $(− \infty, \infty) .$

129.

$y = x^{2} + 4 x + 5$

130.

$y = x^{3} - 12 x$

131.

$y = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 18 x^{2}$

132.

$y = x^{3} {(1 - x)}^{6}$

133.

$y = \frac{x^{2} + x + 6}{x - 1}$

134.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

En las siguientes funciones, utilice una calculadora para graficar la función y estimar los máximos y mínimos absolutos y locales. A continuación, resuélvalos explícitamente.

135.

[T] $y = 3 x \sqrt{1 - x^{2}}$

136.

[T] $y = x + sen (x)$

137.

[T] $y = 12 x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} - 90 x^{2} - 120 x + 3$

138.

[T] $y = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

139.

[T] $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

140.

Una empresa que produce teléfonos celulares tiene una función de costos de $C = x^{2} - 1200 x + 36.400,$ donde $C$ es el costo en dólares y $x$ es el número de teléfonos celulares producidos (en miles). ¿Cuántas unidades de teléfono móvil (en miles) minimiza esta función de costo?

141.

Se lanza una pelota al aire y su posición viene dada por $h (t) = −4,9 t^{2} + 60 t + 5 m .$ Calcule la altura a la que la pelota deja de ascender. ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento ocurre eso?

En los siguientes ejercicios, considere la producción de oro durante la fiebre del oro de California (1848-1888). La producción de oro puede ser modelada por $G (t) = \frac{(25 t)}{(t^{2} + 16)},$ donde $t$ es el número de años transcurridos desde el inicio de la fiebre del oro $(0 \leq t \leq 40)$ y $G$ son las onzas de oro producidas (en millones). En la siguiente figura se muestra un resumen de los datos.

El gráfico de barras muestra el oro (en millones de onzas troy) por año, empezando en 1848 y terminando en 1888. En 1848, el gráfico de barras muestra 0,05; en 1849, 0,5; en 1850, 2; en 1851, 3,6; en 1852, 3,9; en 1853, 3,3; en 1854, 3,4; en 1855, 2,6; en 1856, 2,75; en 1857, 2,1; en 1858, 2,2; en 1859, 2,15; en 1860, 2,1; en 1861, 2; en 1862, 1,8; en 1863, 1,1; en 1864, 1,15; en 1865, 0,9; en 1866, 0,85; en 1867, 0,9; en 1868, 0,85; en 1869, 0,9; en 1870, 0,85; en 1871, 0,85; en 1872, 0,75; en 1873, 0,7; en 1874, 0,8; en 1875, 0,75; en 1876, 0,7; en 1877, 0,73; en 1878, 0,9; en 1879, 0,95; en 1880, 1; en 1881, 0,95; en 1882, 0,85; en 1883, 1,1; en 1884, 0,6; en 1885, 0,55; en 1886, 0,65; en 1887, 0,6; y en 1888, 0,55.

142.

Calcule cuándo se produjo el máximo (local y absoluto) de producción de oro, y la cantidad de oro producida durante ese máximo.

143.

Halle el momento en que se produjo la producción mínima (local y absoluta) de oro. ¿Cuál fue la cantidad de oro producida durante este mínimo?

Halle los puntos críticos, máximos y mínimos de las siguientes funciones a trozos.

144.

$y = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x & 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} - 4 & 1 < x \leq 2 \end{matrix}$

145.

$y = {\begin{matrix} x^{2} + 1 & x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x + 5 & x > 1 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos de las siguientes funciones genéricas. ¿Son máximos, mínimos o ninguno? Indique las condiciones necesarias.

146.

$y = a x^{2} + b x + c,$ dado que $a > 0$

147.

$y = {(x - 1)}^{a},$ dado que $a > 1$ y a es un número entero.