Definición y notación

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que $f\left(x\right)$ sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas, donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida.

La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz, a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, $\left[a,b\right].$ Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que $n\to \infty .$ En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración.

Llamamos a la función $f\left(x\right)$ el integrando, y la dx indica que $f\left(x\right)$ es una función con respecto a x, que se denomina variable de integración. Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia, y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración:

Anteriormente, discutimos el hecho de que si $f\left(x\right)$ es continua en $\left[a,b\right],$ entonces el límite $\underset{n\to \infty }{\text{lím}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}$ existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas.

Funciones que no son continuas en $\left[a,b\right]$ puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables.

También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann.

Evaluación de integrales definidas

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x.

Ejemplo 5.8

Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas

Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar ${\displaystyle {\int }_3^6\sqrt{9-{\left(x-3\right)}^2}dx}.$

Solución

La función describe un semicírculo con radio 3. Para hallar

$${\displaystyle {\int }_3^6\sqrt{9-{\left(x-3\right)}^2}dx},$$

queremos hallar el área bajo la curva en el intervalo $\left[3,6\right].$ La fórmula del área de un círculo es $A=\pi r^2.$ El área de un semicírculo es justo la mitad del área de un círculo, o $A=\left(\frac{1}{2}\right)\pi r^2.$ El área sombreada en la Figura 5.16 cubre la mitad del semicírculo, o $A=\left(\frac{1}{4}\right)\pi r^2.$ Por lo tanto,

$$\begin{array}{}\\ \\ {{\displaystyle \int }}_3^6\sqrt{9-{\left(x-3\right)}^2}\hfill & =\frac{1}{4}\pi {\left(3\right)}^2\hfill \\ & =\frac{9}{4}\pi \hfill \\ & \approx \mathrm{7,069.}\hfill \end{array}$$

Figura 5.16 El valor de la integral de la función $f\left(x\right)$ en el intervalo $\left[3,6\right]$ es el área de la región sombreada.

El área y la integral definida

Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que $f\left(x\right)$ sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando $f\left(x\right)$ es negativo?

Área neta señalada

Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función $f\left(x\right)=2-2x^2$ (que se muestra en la Figura 5.17) en el intervalo $\left[0,2\right].$ Utilice $n=8$ y elegir $\{x_i^{*}\text{}}$ como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura $f\left(x_i^{*}\right)$ y de anchura Δx. Cuando $f\left(x_i^{*}\right)$ es positivo, el producto $f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x$ representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando $f\left(x_i^{*}\right)$ es negativo, sin embargo, el producto $f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x$ representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{8}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}=\left(\text{Área de los rectángulos sobre el eje}x\right)-\left(\text{Área de los rectángulos por debajo del eje}x\right)$$

Figura 5.17 Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x.

Si tomamos el límite a medida que $n\to \infty ,$ la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x, menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x, como se muestra en la Figura 5.18. Entonces,

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx}\hfill & =\underset{n\to \infty }{\text{lím}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(c_i\right)\text{Δ}x}\hfill \\ & =A_1-A_2.\hfill \end{array}$$

La cantidad $A_1-A_2$ se denomina área neta señalada.

Figura 5.18 En el límite, la integral definida es igual al área A₁ menos el área A₂, o el área neta señalada.

Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero.

Ejemplo 5.9

Hallar el área neta señalada

Calcule el área neta señalada entre la curva de la función $f\left(x\right)=2x$ y el eje x en el intervalo $\left[\mathrm{-3},3\right].$

Solución

La función produce una línea recta que forma dos triángulos: uno de $x=\mathrm{-3}$ al $x=0$ y el otro de $x=0$ hasta $x=3$ (Figura 5.19). Utilizando la fórmula geométrica del área de un triángulo, $A=\frac{1}{2}bh,$ el área del triángulo A₁, sobre el eje, es

$$A_1=\frac{1}{2}3\left(6\right)=9,$$

donde 3 es la base y $2\left(3\right)=6$ es la altura. El área del triángulo A₂, por debajo del eje, es

$$A_2=\frac{1}{2}\left(3\right)\left(6\right)=9,$$

donde 3 es la base y 6 la altura. Así, el área neta es

$${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-3}}^{3}2xdx}=A_1-A_2=9-9=0.$$

Figura 5.19 El área por encima de la curva y por debajo del eje x es igual al área por debajo de la curva y por encima del eje x.

Análisis

Si A₁ es el área por encima del eje x y A₂ es el área por debajo del eje x, entonces el área neta es $A_1-A_2.$ Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero.

Punto de control 5.9

Halle el área neta señalada de $f\left(x\right)=x-2$ en el intervalo $\left[0,6\right],$ que se ilustra en la siguiente imagen.

Área total

Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de $v\left(t\right)$ represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes.

Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original (Figura 5.20). Utilizando la notación integral, tenemos

$${\displaystyle {\int }_0^{2}70dt}=140.$$

Figura 5.20 El área bajo la curva $v\left(t\right)=75$ nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado.

En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial (Figura 5.21). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^{2}60dt}+{\displaystyle {\int }_2^5\mathrm{-40}dt}\hfill & =120-120\hfill \\ & =\mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

En este caso el desplazamiento es cero.

Figura 5.21 El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero.

Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x, independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total.

Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^2\left|60\right|dt}+{\displaystyle {\int }_2^5\left|\mathrm{–40}\right|dt}\hfill & ={\displaystyle {\int }_0^{2}60dt}+{\displaystyle {\int }_2^{5}40dt}\hfill \\ & =120+120\hfill \\ & =240.\hfill \end{array}$$

Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones.

Definición

Supongamos que $f\left(x\right)$ es una función integrable definida en un intervalo $\left[a,b\right].$ Supongamos que A₁ representa el área entre $f\left(x\right)$ y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A₂ representa el área entre $f\left(x\right)$ y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre $f\left(x\right)$ y el eje x viene dado por

$${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}=A_1-A_2.$$

El área total entre $f\left(x\right)$ y el eje x viene dado por

$${{\displaystyle \int }}_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx=A_1+A_2.$$

Ejemplo 5.10

Hallar el área total

Halle el área total entre $f\left(x\right)=x-2$ y el eje x en el intervalo $\left[0,6\right].$

Solución

Calcule la intersección x como $\left(2,0\right)$ (establezca $y=0,$ resuelva para x). Para hallar el área total, tome el área bajo el eje x sobre el subintervalo $\left[0,2\right]$ y añádalo al área sobre el eje x en el subintervalo $\left[2,6\right]$ (Figura 5.22).

Figura 5.22 El área total entre la línea y el eje x sobre $\left[0,6\right]$ es A₂ más A₁.

Tenemos

$${\displaystyle {\int }_0^6\left|\left(x-2\right)\right|dx}=A_2+A_1.$$

Entonces, utilizando la fórmula del área de un triángulo, obtenemos

$$A_2=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}.2.2=2$$

$$A_1=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}.4.4=8.$$

El área total, entonces, es

$$A_1+A_2=8+2=10.$$

Punto de control 5.10

Halle el área total entre la función $f\left(x\right)=2x$ y el eje x en el intervalo $\left[\mathrm{-3},3\right].$

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas.

Propiedades de comparación de las integrales

A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función $f\left(x\right)$ está por encima de otra función $g\left(x\right),$ entonces el área entre $f\left(x\right)$ y el eje x es mayor que el área entre $g\left(x\right)$ y el eje x. Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si $a<b,a=b,$ o $a>b.$ Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso $a\le b,$ y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales.

Teorema 5.2

Teorema de comparación

1. Si los valores de $f\left(x\right)\ge 0$ por $a\le x\le b,$ entonces
   
   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\ge 0.$$
2. Si $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ para $a\le x\le b,$ entonces
   
   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\ge {\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}.$$
3. Si m y M son constantes tales que $m\le f\left(x\right)\le M$ por $a\le x\le b,$ entonces
   
   $$\begin{array}{cc}\\ \\ m\left(b–a\right)\hfill & \le {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\hfill \\ & \le M\left(b–a\right).\hfill \end{array}$$

Ejemplo 5.13

Comparación de dos funciones en un intervalo dado

Compare $f\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}$ y $g\left(x\right)=\sqrt{1+x}$ en el intervalo $\left[0,1\right].$

Solución

Es necesario graficar estas funciones para entender cómo se comparan en el intervalo $\left[0,1\right].$ Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, $f\left(x\right)$ parece estar por encima de $g\left(x\right)$ en todas partes. Sin embargo, en el intervalo $\left[0,1\right],$ los gráficos parecen estar superpuestos. Tenemos que acercarnos para ver que, en el intervalo $\left[0,1\right],g\left(x\right)$ está por encima de $f\left(x\right).$ Las dos funciones se intersecan en $x=0$ y $x=1$ (Figura 5.23).

Figura 5.23 (a) La función $f\left(x\right)$ aparece sobre la función $g\left(x\right)$ excepto en el intervalo $\left[0,1\right]$ (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación lo muestra más claramente.

Podemos ver en el gráfico que en el intervalo $\left[0,1\right],g\left(x\right)\ge f\left(x\right).$ Comparación de las integrales en el intervalo especificado $\left[0,1\right],$ también vemos que ${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)dx}\ge {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx}$ (Figura 5.24). La zona delgada y sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales en el intervalo $\left[0,1\right].$

Figura 5.24 (a) El gráfico muestra que en el intervalo $\left[0,1\right],g\left(x\right)\ge f\left(x\right),$ donde la igualdad se mantiene solo en los puntos extremos del intervalo. (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación muestra esto más claramente.

Valor promedio de una función

A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto,

Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas.

Supongamos, sin embargo, que tenemos una función $v\left(t\right)$ que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t, y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función $v\left(t\right)$ adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta.

Supongamos que $f\left(x\right)$ es continua en el intervalo $\left[a,b\right]$ y supongamos que $\left[a,b\right]$ se divide en n subintervalos de anchura $\text{Δ}x=(b–a)\text{/}n.$ Elija un representante $x_i^{*}$ en cada subintervalo y calcule $f\left(x_i^{*}\right)$ por $i=1,2\text{,…,}n.$ En otras palabras, considere cada $f\left(x_i^{*}\right)$ como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como

que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos.

Pero sabemos que $\text{Δ}x=\frac{b–a}{n},$ por lo que $n=\frac{b–a}{\text{Δ}x},$ y obtenemos

Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)},$ y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por

Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto, se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por