1. El límite de x a medida que x se acerca a a es a: $\underset{x\to 2}{\text{lím}}x=2.$
2. El límite de una constante es esa constante: $\underset{x\to 2}{\text{lím}}5=5.$

Apliquemos las leyes de los límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos su funcionamiento. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en cada aplicación de una ley límite, deben existir nuevos límites para que esa ley se aplique.

$\begin{array}{ccccc}\underset{x\to \mathrm{-3}}{\text{lím}}\left(4x+2\right)\hfill & =\underset{x\to \mathrm{-3}}{\text{lím}}4x+\underset{x\to \mathrm{-3}}{\text{lím}}2\hfill & & & \text{Aplique la ley de la suma.}\hfill \\ & =4.\underset{x\to \mathrm{-3}}{\text{lím}}x+\underset{x\to \mathrm{-3}}{\text{lím}}2\hfill & & & \text{Aplique la ley del múltiplo constante.}\hfill \\ & =4.\left(\mathrm{-3}\right)+2=\mathrm{-10}.\hfill & & & \text{Aplique los resultados del límite básico y simplifique.}\hfill \end{array}$

Para hallar este límite, tenemos que aplicar las leyes de los límites varias veces. Una vez más, debemos tener en cuenta que al reescribir el límite en términos de otros límites, cada nuevo límite debe existir para que se aplique la ley de los límites.

$\begin{array}{}\\ \\ \underset{x\to 2}{\text{lím}}\frac{2x^2-3x+1}{x^3+4}\hfill & =\frac{\underset{x\to 2}{\text{lím}}\left(2x^2-3x+1\right)}{\underset{x\to 2}{\text{lím}}\left(x^3+4\right)}\hfill & & & \text{Aplique la ley del cociente, asegurándose de que}{\left(2\right)}^3+4\ne 0\hfill \\ & =\frac{2.\underset{x\to 2}{\text{lím}}{x}^2-3.\underset{x\to 2}{\text{lím}}x+\underset{x\to 2}{\text{lím}}1}{\underset{x\to 2}{\text{lím}}{x}^3+\underset{x\to 2}{\text{lím}}4}\hfill & & & \text{Aplique la ley de la suma y la ley del múltiplo constante.}\hfill \\ & =\frac{2.{\left(\underset{x\to 2}{\text{lím}}x\right)}^2-3.\underset{x\to 2}{\text{lím}}x+\underset{x\to 2}{\text{lím}}1}{{\left(\underset{x\to 2}{\text{lím}}x\right)}^3+\underset{x\to 2}{\text{lím}}4}\hfill & & & \text{Aplique la ley de la potencia.}\hfill \\ & =\frac{2\left(4\right)-3\left(2\right)+1}{{\left(2\right)}^3+4}=\frac{1}{4}.\hfill & & & \text{Aplique las leyes básicas de los límites y simplifique.}\hfill \end{array}$

Como 3 está en el dominio de la función racional $f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x+1}{5x+4},$ podemos calcular el límite sustituyendo 3 por la x en la función. Por lo tanto,

Paso 1. La función $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{2x^2-5x-3}$ es indefinida para $x=3.$ De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos $0\text{/}0,$ que es indefinida. Factorizar y cancelar es una buena estrategia:

Paso 2. Para todos $x\ne 3,\frac{x^2-3x}{2x^2-5x-3}=\frac{x}{2x+1}.$ Por lo tanto,

Paso 3. Evalúe utilizando las leyes de los límites:

Paso 1. $\frac{\sqrt{x+2}–1}{x+1}$ tiene la forma $0\text{/}0$ en -1. Empecemos por multiplicar por $\sqrt{x+2}+1,$ el conjugado de $\sqrt{x+2}–1,$ en el numerador y el denominador:

Paso 2. A continuación, multiplicamos el numerador. No multiplicamos el denominador porque esperamos que $\left(x+1\right)$ en el denominador se anule al final:

Paso 3. Entonces lo cancelamos:

Paso 4. Por último, aplicamos las leyes de los límites:

Paso 1. $\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}}{x–1}$ tiene la forma $0\text{/}0$ en 1. Simplificamos la fracción algebraica multiplicando por $2\left(x+1\right)\text{/}2\left(x+1\right):$

Paso 2. A continuación, multiplicamos por los numeradores. No multiplique los denominadores porque necesitamos cancelar el factor $\left(x–1\right)\text{:}$

Paso 3. A continuación, simplificamos el numerador:

Paso 4. Ahora factorizamos -1 en el numerador:

Paso 5. Entonces, cancelamos los factores comunes de $\left(x–1\right)\text{:}$

Paso 6. Por último, evaluamos mediante las leyes de los límites:

Tanto $1\text{/}x$ y $5\text{/}x\left(x-5\right)$ no tienen un límite en cero. Como ninguna de las dos funciones tiene un límite en cero, no podemos aplicar la ley de suma para los límites y debemos utilizar una estrategia diferente. En este caso, encontramos el límite realizando la suma y luego aplicando una de nuestras estrategias anteriores. Observe que

Por lo tanto,

La Figura 2.25 ilustra la función $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}$ y nos ayuda a comprender estos límites.

Figura 2.25 El gráfico muestra la función $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}.$

1. La función $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}$ se define en el intervalo $\left[3,\text{+}\infty \right).$ Como esta función no está definida a la izquierda de 3, no podemos aplicar las leyes de los límites para calcular $\underset{x\to 3^{-}}{\text{lím}}\sqrt{x-3}.$ De hecho, ya que $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}$ es indefinida a la izquierda de 3, $\underset{x\to 3^{-}}{\text{lím}}\sqrt{x-3}$ no existe.
2. Dado que $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}$ se define a la derecha de 3, las leyes de los límites sí se aplican a $\underset{x\to 3^{+}}{\text{lím}}\sqrt{x-3}.$ Aplicando estas leyes de los límites obtenemos $\underset{x\to 3^{+}}{\text{lím}}\sqrt{x-3}=0.$

La Figura 2.26 ilustra la función $f\left(x\right)$ y nos ayuda a comprender estos límites.

Figura 2.26 Este gráfico muestra una función $f\left(x\right).$

1. Dado que $f\left(x\right)=4x-3$ para todas las x en $\left(\text{−}\infty ,2\right),$ sustituya $f\left(x\right)$ en el límite con $4x-3$ y aplique las leyes de los límites:
   
   $$\underset{x\to 2^{–}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\text{lím}}\left(4x-3\right)=5.$$
2. Dado que $f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2$ para todas las x en $\left(2,\text{+}\infty \right),$ sustituya $f\left(x\right)$ en el límite con ${\left(x-3\right)}^2$ y aplique las leyes de los límites:
   
   $$\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}{\left(x-3\right)}^2=1.$$
3. Dado que $\underset{x\to 2^{–}}{\text{lím}}f\left(x\right)=5$ y $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)=1,$ concluimos que $\underset{x\to 2}{\text{lím}}f\left(x\right)$ no existe.