Ejercicios de repaso

Verdadero o falso. En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo.

208.

Una función tiene que ser continua en $x = a$ si el $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ .

209.

Puede utilizar la regla de cociente para evaluar $\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x} .$

210.

Si hay una asíntota vertical en $x = a$ para la función $f (x),$ entonces f es indefinida en el punto $x = a .$

211.

Si $\underset{x \to a}{lím} f (x)$ no existe, entonces f es indefinida en el punto $x = a .$

212.

Utilizando el gráfico, halle cada límite o explique por qué no existe el límite.

$\underset{x \to −1}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 1}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 0^{+}}{lím} f (x)$ grandes.
$\underset{x \to 2}{lím} f (x)$

Un gráfico de una función a trozos con varios segmentos. El primer segmento es una curva cóncava decreciente hacia arriba que existe para x < -1. Termina en un círculo abierto en (-1, 1). El segundo es una función lineal creciente que comienza en (-1, -2) y termina en (0,-1). El tercero es una curva cóncava creciente hacia abajo que existe desde un círculo abierto en (0,0) hasta un círculo abierto en (1,1). El cuarto es un círculo cerrado en (1,-1). El quinto es una línea sin pendiente que existe para x > 1, que parte del círculo abierto en (1,1).

En los siguientes ejercicios, evalúe el límite algebraicamente o explique por qué el límite no existe.

213.

$\underset{x \to 2}{lím} \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}$

214.

$\underset{x \to 0}{lím} 3 x^{2} - 2 x + 4$

215.

$\underset{x \to 3}{lím} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 1}{3 x - 2}$

216.

$\underset{x \to π / 2}{lím} \frac{cot x}{cos x}$

217.

$\underset{x \to −5}{lím} \frac{x^{2} + 25}{x + 5}$

218.

$\underset{x \to 2}{lím} \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} - 4}$

219.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1}$

220.

$\underset{x \to 1}{lím} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

221.

$\underset{x \to 4}{lím} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}$

222.

$\underset{x \to 4}{lím} \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

Utilice el teorema del emparedado en los siguientes ejercicios para demostrar el límite.

223.

$\underset{x \to 0}{lím} x^{2} cos (2 π x) = 0$

224.

$\underset{x \to 0}{lím} x^{3} sen (\frac{π}{x}) = 0$

225.

Determine el dominio tal que la función $f (x) = \sqrt{x - 2} + x e^{x}$ sea continua en su dominio.

En los siguientes ejercicios, determine el valor de c tal que la función siga siendo continua. Dibuje la función resultante para asegurarse de que es continua.

226.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > c \\ 2 x, x \leq c \end{cases}$

227.

$f (x) = {\begin{cases} \sqrt{x + 1}, x > − 1 \\ x^{2} + c, x \leq - 1 \end{cases}$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar el límite.

228.

$\underset{x \to 1}{lím} (8 x + 16) = 24$

229.

$\underset{x \to 0}{lím} x^{3} = 0$

230.

Se lanza una pelota al aire y su posición vertical viene dada por $x (t) = −4,9 t^{2} + 25 t + 5 .$ Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 s después del lanzamiento.

231.

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento según la función $x (t) = t^{2} - 2 t + 4,$ donde x se mide en metros y t se mide en segundos. Halle la velocidad media durante el periodo $t = [0, 2] .$

232.

A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea en $t = 2$ comprobando la velocidad media dentro de $t = 0,01 sec .$