Ecuaciones clave

Condición de normalización en una dimensión	$P (x = − \infty, + \infty) = \int_{− \infty}^{\infty} \| Ψ (x, t) \|^{2} d x = 1$
Probabilidad de encontrar una partícula en un intervalo estrecho de posición en una dimensión $(x, x + d x)$	$P (x, x + d x) = Ψ^{*} (x, t) Ψ (x, t) d x$
Valor esperado de la posición en una dimensión	$〈 x 〉 = \int_{− \infty}^{\infty} Ψ^{*} (x, t) x Ψ (x, t) d x$
Principio de incertidumbre de posición-momento de Heisenberg	$Δ x Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$
Principio de incertidumbre energía-tiempo de Heisenberg	$Δ E Δ t \geq \frac{ℏ}{2}$
Ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo	$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} Ψ (x, t)}{\partial x^{2}} + U (x, t) Ψ (x, t) = i ℏ \frac{\partial Ψ (x, t)}{\partial t}$
Forma general de la función de onda para un potencial independiente del tiempo en una dimensión	$Ψ (x, t) = ψ (x) e^{− i ω t}$
Ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo	$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + U (x) ψ (x) = E ψ (x)$
Ecuación de Schrӧdinger (partícula libre)	$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (x)}{\partial x^{2}} = E ψ (x)$
Energías permitidas (partícula en caja de longitud L)	$E_{n} = n^{2} \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}, n = 1, 2, 3, . . .$
Estados estacionarios (partícula en una caja de longitud L)	$ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sen \frac{n π x}{L}, n = 1, 2, 3, . . .$
Función potencial-energía de un oscilador armónico	$U (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$
Ecuación de Schrӧdinger (oscilador armónico)	$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} ψ (x) = E ψ (x)$
El espectro energético	$E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω, n = 0, 1, 2, 3, . . .$
Funciones de onda de la energía	$ψ_{n} (x) = N_{n} e^{− β^{2} x^{2} / 2} H_{n} (β x), n = 0, 1, 2, 3, . . .$
Barrera de potencial	$U (x) = {\begin{matrix} 0, & cuando x < 0 \\ U_{0}, & cuando 0 \leq x \leq L \\ 0, & cuando x > L \end{matrix}$
Definición del coeficiente de transmisión	$T (L, E) = \frac{\| ψ_{tra} (x) \|^{2}}{\| ψ_{in} (x) \|^{2}}$
Un parámetro del coeficiente de transmisión	$β^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} (U_{0} - E)$
Coeficiente de transmisión, exacto	$T (L, E) = \frac{1}{{cosh}^{2} β L + {(γ / 2)}^{2} {senh}^{2} β L}$
Coeficiente de transmisión, aproximado	$T (L, E) = 16 \frac{E}{U_{0}} (1 - \frac{E}{U_{0}}) e^{− 2 β L}$