أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ينبغي أن تكون قادرًا على

• شرح عدم الدقة العددية المتعلقة بتمثيل الفاصلة العائمة.
• استخدام دالّة round() للتخفيف من أخطاء الفاصلة العائمة في الإخراج.

أخطاء الفاصلة العائمة

تخزن أجهزة الحاسوب المعلومات باستخدام الأصفار والآحاد (0 و 1). يجب تحويل جميع المعلومات إلى سلسلة من الأصفار والآحاد. مثال: يُحوَّل 5 إلى 101. وبما أنه لا يُسمح إلا بقيمتين، 0 أو 1، فإن هذا التنسيق يُسمى ثنائيًا (binary).

تُخزّن Python قيمَ الفاصلة العائمة بالصيغة الثنائية. يؤدي تحويل عدد فاصلة عائمة إلى التمثيل الثنائي الأساسي إلى أنواع محددة من أخطاء الفاصلة العائمة.

يحدث خطأ التقريب (round-off error) عندما تُخزّن قيم الفاصلة العائمة بشكل خاطئ كتقريب. يُسمى الفرق بين تقريب القيمة المستخدمة في الحساب والقيمة الصحيحة (الحقيقية) خطأ التقريب.

مثال: تخزين العدد العشري (0.1)₁₀ ينتج عنه قيم ثنائية تُنتج فعليًا (0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625)₁₀ عند تحويلها مرة أخرى، وهي ليست مساوية تمامًا لـ (0.1)₁₀.

# طباعة الأعداد العشرية بـ 30 خانة عشرية
print(f'{0.1:.30f}') # تطبع 0.1
print(f'{0.2:.30f}') # تطبع 0.2
print(f'{0.4:.30f}') # تطبع 0.4

0.100000000000000005551115123126
0.200000000000000011102230246252
0.400000000000000022204460492503

يحدث خطأ الفيضان (overflow error) عندما تكون القيمة أكبر من أن تُخزَّن. تتراوح قيم الفاصلة العائمة القصوى والدنيا التي يمكن تمثيلها بين $\text{1}\text{.8}\times {10}^{308}$ و $-1.8\times {10}^{308}$ على التوالي. تؤدي محاولة تخزين قيمة فاصلة عائمة خارج النطاق $(-1.8\times {10}^{308},1.8\times {10}^{308})$ إلى خطأ فيضان.

أدناه، يمكن تمثيل $\text{3}{\text{.0}}^{256}$ و $\text{3}{\text{.0}}^{512}$، لكن $\text{3}{\text{.0}}^{1024}$ كبير جدًا ويسبب خطأ فيضان.

print('3.0 to the power of 256 =', 3.0**256)
print('3.0 to the power of 512 = ', 3.0**512)
print('3.0 to the power of 1024 = ', 3.0**1024)

3.0 to the power of 256 = 1.3900845237714473e+122
3.0 to the power of 512 = 1.9323349832288915e+244
3.0 to the power of 1024 =
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 3, in <module>
    print('3.0 to the power of 1024 = ', 3.0**1024)
OverflowError: (34, 'Numerical result out of range')

دالّة round() للفاصلة العائمة

تُستخدم دالّة round() في Python لتقريب عدد فاصلة عائمة إلى عدد معين من المنازل العشرية. تتطلب الدالّة وسيطين (argument). الوسيط الأول هو العدد المراد تقريبه، أمّا الوسيط الثاني فيحدّد عدد المنازل العشرية. إذا لم يُوفَّر الوسيط الثاني، يُقرَّب العدد إلى أقرب عدد صحيح. يمكن استخدام دالّة round() للتخفيف من أخطاء الفاصلة العائمة.

مثال:

• round(2.451, 2) = 2.45
• round(2.451) = 2